解析版上海市閘北區(qū)2013年高考二模理科數(shù)學(xué)試題

1、2013年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、填空題（54分）本大題共有9題，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得6分，否則一律得零分1（6分）（2013閘北區(qū)二模）設(shè)為虛數(shù)單位，集合A=1，1，i，i，集合，則AB=1，i考點：虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；交集及其運算專題：計算題分析：利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡集合B，再利用交集即可得到AB解答：解：對于集合B：由i10=i2=1，1i4=11=0，（1+i）（1i）=1+1=2，=B=1，0，2，iAB=1，i故答案為1，i點評：熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則和交集的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2（6分）（2013閘北區(qū)二模）函數(shù)的反函數(shù)為考點

2、：反三角函數(shù)的運用專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：由原函數(shù)的解析式求得 x=arcsin（），再把x、y互換，并注明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域），即可得原函數(shù)的反函數(shù)解答：解：函數(shù)，=sinx，y（0，1），即=sinx，x=arcsin（），故原函數(shù)的反函數(shù)為 ，故答案為 點評：本題主要考查求一個函數(shù)的反函數(shù)的方法，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，屬于中檔題3（6分）（2008四川）（1+2x）3（1x）4展開式中x2的系數(shù)為6考點：二項式定理專題：計算題分析：利用乘法原理找展開式中的含x2項的系數(shù)，注意兩個展開式的結(jié)合分析，即分別為第一個展開式的常數(shù)項和第二個展開式的x2的乘積、第一

3、個展開式的含x項和第二個展開式的x項的乘積、第一個展開式的x2的項和第二個展開式的常數(shù)項的乘積之和從而求出答案解答：解：（1+2x）3（1x）4展開式中x2項為C3013（2x）0C4212（x）2+C3112（2x）1C4113（x）1+C3212（2x）2C4014（x）0所求系數(shù)為C30C42+C312C41（1）+C3222C4014=624+12=6故答案為：6點評：此題重點考查二項展開式中指定項的系數(shù)，以及組合思想，重在找尋這些項的來源4（6分）（2013閘北區(qū)二模）一個袋中裝有大小相同的黑球、白球和紅球共10個已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少

4、得到1個白球的概率是從袋中任意摸出2個球，記得到白球的個數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望E=1考點：離散型隨機變量的期望與方差專題：概率與統(tǒng)計分析：由條件從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是可得到黑球的個數(shù)；利用“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的”的對立事件“從袋中任意摸出2個球都不是白球”即可得出；由題意白球的個數(shù)隨機變量的取值為0，1，2，利用古典概型的概率計算公式和數(shù)學(xué)期望的計算公式即可得出E解答：解：從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是，黑球的個數(shù)為=4設(shè)白球的個數(shù)為x個，則紅球的個數(shù)為6x設(shè)“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，則其對立事件為“從袋中任意摸出2個球

5、都不是白球”，由題意得P（A）=1=1=解得x=5可知白球的個數(shù)為5個，則紅球的個數(shù)為1個由題意白球的個數(shù)隨機變量的取值為0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=隨機變量的分布列見右圖E=1故答案為1點評：正確理解概率的意義、互為對立事件的概率之間的關(guān)系、古典概型的概率計算公式和數(shù)學(xué)期望計算公式是解題的關(guān)鍵5（6分）（2013閘北區(qū)二模）半徑為r的球的內(nèi)接圓柱的最大側(cè)面積為2r2考點：球內(nèi)接多面體；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）專題：空間位置關(guān)系與距離分析：由題意圓柱的底面為球的截面，由球的截面性質(zhì)可得出圓柱的高為h、底面半徑為R與球的半徑為r的關(guān)系，再用h和R表示出圓柱的側(cè)面積，利用基

6、本不等式求最值即可解答：解：如圖為軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為R，側(cè)面積為S，則（ ）2+R2=r2，即h=2 S=2Rh=4R=4 4 =2r2，取等號時，內(nèi)接圓柱底面半徑為 r，高為 r故答案為：2r2點評：本題考查球與圓柱的組合體問題、以及利用基本不等式求最值問題，難度一般6（6分）（2013閘北區(qū)二模）設(shè)M（x，y，z）為空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，點M在xOy平面上的射影P的極坐標(biāo)為（，）（極坐標(biāo)系以O(shè)為極點，以x軸為極軸），則我們稱三元數(shù)組（，z）為點M的柱面坐標(biāo)已知M點的柱面坐標(biāo)為，則直線OM與xOz平面所成的角為考點：柱坐標(biāo)刻畫點的位置；直線與平面所成的角專題：空間位置關(guān)系與距

7、離分析：根據(jù)題意：“M點的柱面坐標(biāo)為，”作出立體圖形，如圖所示利用長方體模型進(jìn)行計算即可在長方體OM中，PON=，ON=6，MN=1，直線OM與xOz平面所成的角為MOQ，利用長方體的性質(zhì)得到對角線的長，再在直角三角形MOQ中，求出sinMOQ，從而得出則直線OM與xOz平面所成的角的大小解答：解：根據(jù)題意作出立體圖形，如圖所示在長方體OM中，PON=，ON=6，MN=1，直線OM與xOz平面所成的角為MOQ，在直角三角形OPN中，OP=ONcos=3，PN=ONsin=3，OM=，在直角三角形MOQ中，sinMOQ=則直線OM與xOz平面所成的角MOQ為故答案為：點評：本題考查直線與平面所成

8、的角和線面角，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造長方體，屬于中檔題7（6分）（2013閘北區(qū)二模）設(shè)y=f（x）為R上的奇函數(shù)，y=g（x）為R上的偶函數(shù)，且g（x）=f（x+1），g（0）=2則f（x）=2sin（只需寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可）考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)f（x）、g（x）的奇偶性可推出f（x）的周期，由f（x）的周期性、奇偶性即可找到滿足條件的一個函數(shù)解答：解：因為f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，所以f（x+1）=g（x）=g（x）=f（x+1）=f（x1），所以f（x+1）=f（x1），令t=x+1，則x=t1，所以f（t）=f（

9、t2）=f（t4），所以f（x）是一個周期為4的周期函數(shù)，同時為奇函數(shù)，而滿足條件，故答案為：2sin點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性及函數(shù)解析式的求解，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是運用函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)f（x）的周期8（6分）（2013閘北區(qū)二模）某商場在節(jié)日期間舉行促銷活動，規(guī)定：（1）若所購商品標(biāo)價不超過200元，則不給予優(yōu)惠；（2）若所購商品標(biāo)價超過200元但不超過500元，則超過200元的部分給予9折優(yōu)惠；（3）若所購商品標(biāo)價超過500元，其500元內(nèi)（含500元）的部分按第（2）條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予8折優(yōu)惠某人來該商場購買一件家用電器共節(jié)省330元，則該件家電在商場

10、標(biāo)價為2000考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由購買一件家用電器共節(jié)省330元可知，該家電的標(biāo)價應(yīng)超過200元，進(jìn)一步分析應(yīng)超過500元，根據(jù)兩段價格的優(yōu)惠和等于330元列式即可求得該家電在商場的標(biāo)價解答：解：由題意知，若該家電大于200元但不超過500元，優(yōu)惠的錢數(shù)為3003000.9=30元，因為該家電優(yōu)惠330元，所以該家電一定超過500元，設(shè)該家電在商場的標(biāo)價為x元，則優(yōu)惠錢數(shù)為（3003000.9）+（x500）（10.8）=330解得：x=2000所以，若某人來該商場購買一件家用電器共節(jié)省330元，則該件家電在商場標(biāo)價為2000元故答案為2000點評：本題考查

11、了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是明確如何計算優(yōu)惠數(shù)額，每一段的優(yōu)惠數(shù)等于標(biāo)價數(shù)減去實際支付數(shù)，屬中檔題9（6分）（2013閘北區(qū)二模）設(shè)，x1，2），且，則函數(shù)的最大值為0考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；函數(shù)的值域?qū)ｎ}：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；平面向量及應(yīng)用分析：先根據(jù)數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，得出x與a的關(guān)系式，再將其代入函數(shù)f（x）的解析式，化簡后畫出函數(shù)的簡圖，數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值解答：解：，且，x2+2（ax）=0，a=，x1，2），則函數(shù)=，故f（x）=，x1，2），作出其函數(shù)的圖象，如圖所示由圖可得，當(dāng)x=1時，函數(shù)的最大值為0故答案為：0點

12、評：本小題主要考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于難題二、選擇題（18分）本大題共有3題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得6分，否則一律得零分10（6分）（2013閘北區(qū)二模）命題“對任意的xR，f（x）0”的否定是（）A對任意的xR，f（x）0B對任意的xR，f（x）0C存在x0R，f（x0）0D存在x0R，f（x0）0考點：命題的否定專題：規(guī)律型分析：根據(jù)命題“xR，p（x）”的否定是“x0R，p（x）”，即可得出答案解答：解：根據(jù)命題“x

13、R，p（x）”的否定是“x0R，p（x）”，命題：“對任意的xR，f（x）0”的否定是“x0R，f（x0）0”故選D點評：掌握全稱命題的否定是特稱命題是解題的關(guān)鍵11（6分）（2013閘北區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（axbx）（a1b0），若f（x）取正值的充要條件是x1，+），則a，b滿足（）Aab1Bab1Cab10Dab10考點：充要條件專題：證明題分析：由axbx0，可得函數(shù)的定義域為（0，+），然后由定義法證函數(shù)為增函數(shù)，進(jìn)而可得f（x）f（1），只需f（1）0，解之可得解答：解：由axbx0，得（）x1=（）0，由于（）1，所以x0，故f（x）的定義域為（0，+），任取x1，x2

14、（0，+），且x1x2f（x1）=lg（ax1bx1），f（x2）=lg（ax2bx2）而f（x1）f（x2）=（ax1bx1）（ax2bx2）=（ax1ax2）+（bx2bx1）a1b0，y=ax在R上為增函數(shù)，y=bx在R上為減函數(shù)，ax1ax20，bx2bx10，（ax1bx1）（ax2bx2）0，即（ax1bx1）（ax2bx2）又y=lgx在（0，+）上為增函數(shù)，f（x1）f（x2）f（x）在0，+）上為增函數(shù)，一方面，當(dāng)ab1時，由f（x）0可推得，f（x）的最小值大于0，而當(dāng)x1，+），f（x）0，故只需x1，+）；另一方面，當(dāng)ab1時，由f（x）在0，+）上為增函數(shù)，可知當(dāng)x1

15、，+）時，有f（x）f（1）0，即f（x）取正值，故當(dāng)ab1時，f（x）取正值的充要條件是x1，+），故選B點評：本題考查充要條件的判斷，涉及函數(shù)定義域和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題12（6分）（2013閘北區(qū)二模）在xOy平面上有一系列的點P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn），對于所有正整數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=x2（x0）的圖象上，以點Pn為圓心的Pn與x軸相切，且Pn與Pn+1又彼此外切，若x1=1，且xn+1xn則=（）A0B0.2C0.5D1考點：數(shù)列的極限；數(shù)列的函數(shù)特性；圓與圓的位置關(guān)系及其判定專題：計算題；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：由圓Pn與P（n+1）相切，且

16、P（n+1）與x軸相切可知Rn=yn，R（n+1）=y（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和進(jìn)而得到=整理可得，=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求xn，進(jìn)而可求極限解答：解：圓Pn與P（n+1）相切，且P（n+1）與x軸相切，所以，Rn=yn，R（n+1）=y（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和，即=yn+yn+1整理可得，=2=2n1=故選C點評：本題主要考查了數(shù)列在實際中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是尋求相切的性質(zhì)三、解答題（本題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟13（14分）（2005山東）已知向量和，（，2），且，求的值考點：

17、兩角和與差的余弦函數(shù)；向量的模；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用專題：綜合題分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出+，然后表示出+的模，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、兩角和的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，讓模等于，列出關(guān)于cos（+）的方程，兩邊平方即可得到cos（+）的值，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式化簡cos（+），得到的值，然后根據(jù)的范圍求出+的范圍，進(jìn)而判斷出cos（+）的正負(fù)，開方即可求出值解答：解：，=由已知，得又，所以2，點評：此題考查學(xué)生會求向量的模，靈活運用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道綜合題

18、14（14分）（2013閘北區(qū)二模）某糧倉是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉的“梁”現(xiàn)測得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60（1）請指出所有互為異面的且相互垂直的“梁”，并說明理由；（2）若不計糧倉表面的厚度，該糧倉可儲存多少立方米糧食？考點：異面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積專題：空間位置關(guān)系與距離分析：（1）利用平行線的性質(zhì)、異面直線所成的角、平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得出；（2）利用線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理及四棱錐和直棱錐的條件計算公式即可得出解答：解：（1）EF與AD，EF與BC，DE與BF，AE與

19、CF，由已知EFAB，ABAD，EFAD同理，有EFBC過點E作EKFB交AB點K，則DEK為異面直線DE與FB所成的角，DE=FB=4，AK=2（4cos60）=4，DEK=90，即DEBF，同理AECF（2）過點E分別作EMAB于點M，ENCD于點N，連接MN，則AB平面EMN，平面ABCD平面EMN，過點E作EOMN于點O，則EO平面ABCD由題意知，AE=DE=AD=4，AM=DN=4cos60=2，O為MN中點，即四棱錐EAMND的高，同理，再過點F作FPAB于點P，ENFQCD于點Q，連接PQ，原多面體被分割為兩個全等的四棱錐和一個直棱柱，且MP=1622=12，答：該糧倉可儲存立

20、方米的糧食點評：熟練掌握平行線的性質(zhì)、異面直線所成的角、平行四邊形的判定和性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理及四棱錐和直棱錐的條件計算公式是解題的關(guān)鍵15（16分）（2013閘北區(qū)二模）和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，空間曲面的方程是一個三元方程F（x，y，z）=0設(shè)F1、F2為空間中的兩個定點，|F1F2|=2c0，我們將曲面定義為滿足|PF1|+|PF2|=2a（1）試建立一個適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系Oxyz，求曲面的方程；（2）指出和證明曲面的對稱性，并畫出曲面的直觀圖考點：軌跡方程專題：計算題；證明題；新定義；圓錐

21、曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（1）以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，以與xoy平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y，z），根據(jù)兩點間的距離公式，以a、c為參數(shù)建立關(guān)于x、y、z的等式，再移項、平方，化簡整理得二次方程為（2）根據(jù)空間關(guān)于原點、坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面對稱的公式，分別對（1）求出的方程加以驗證，可得曲面是關(guān)于原點對稱、關(guān)于三條坐標(biāo)軸對稱，也關(guān)于三個坐標(biāo)平面對稱的圖形因此不難作出它的直觀圖，如圖所示解答：解：（1）以兩個定點F1，F(xiàn)2的中點為坐標(biāo)原點O，以F1，F(xiàn)2所在的直線為y軸，以線段F1F2以與xoy平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐

22、標(biāo)系Oxyz，如圖所示則F1（0，c，0），F(xiàn)2（0，c，0），設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y，z），可得|F1F2|=2c0，移項得兩邊平方，得，兩邊平方，整理得令，得因此，可得曲面的方程為（2）對稱性：由于點（x，y，z）關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點（x，y，z）也滿足方程，說明曲面關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱； 由于點（x，y，z）關(guān)于x軸的對稱點（x，y，z）也滿足方程，說明曲面關(guān)于x軸對稱；同理，曲面關(guān)于y軸對稱；關(guān)于z軸對稱由于點（x，y，z）關(guān)于xOy平面的對稱點（x，y，z）也滿足方程，說明曲面關(guān)于xOy平面對稱；同理，曲面關(guān)于xOz平面對稱；關(guān)于yOz平面對稱由以上的討論，可得曲面的直觀圖如右圖所示點

23、評：本題給出空間滿足到兩個定點距離之和為定值的點，求該點的軌跡著重考查了橢圓的定義、軌跡方程求法和曲線與方程的性質(zhì)等知識，屬于中檔題16（16分）（2013閘北區(qū)二模）設(shè)數(shù)列an與bn滿足：對任意nN*，都有，其中Sn為數(shù)列an的前n項和（1）當(dāng)b=2時，求數(shù)列an與bn的通項公式；（2）當(dāng)b2時，求數(shù)列an的前n項和Sn考點：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）通過已知表達(dá)式，求出，當(dāng)b=2時，說明是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，然后求數(shù)列an與bn的通項公式；（2）當(dāng)b2時，利用，推出，通過b=0，1，0，1分別求解數(shù)列

24、an的前n項和Sn另解通過求出a1，b=0，1與b0，1，利用是以為首項，為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列的和即可解答：解：由題意知a1=2，且，兩式相減得即（1）當(dāng)b=2時，由知于是=又，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列故知，再由，得（2）當(dāng)b2時，由得=若b=0，若b=1，若b0、1，數(shù)列是以為首項，以b為公比的等比數(shù)列，故，b=1時，符合上式所以，當(dāng)b0時，當(dāng)b=0時，另解：當(dāng)n=1時，S1=a1=2當(dāng)n2時，若b=0，若b0，兩邊同除以2n得令，即由得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)b0時，點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，等比數(shù)列的判定，考查分析問題解決問題的能力17（18分）（2013閘北區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1為到定點的距離與到定直線的距離相等的動點P的軌跡，曲線C2是由曲線C1繞坐標(biāo)原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30形成的（1）求曲線C1與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，以及曲線C2的方程；（2）過定點M0（m，0）（m2）的直線l2交曲線C2于A