CHAP4 隨機變量的數(shù)字特征

1、CHAP4 隨機變量的數(shù)字特征14.1 數(shù)學(xué)期望定義4.1 設(shè)離散型隨機變量的分布律為若則稱 的和為隨機變量的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望或均值，記為 即 4.1.1 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望例 設(shè)X服從參數(shù)為p 的（0-1）分布，E(X). 解 X 的分布律為 因此例 X b (n, p), 求 E(X)解：X 的分布律為令l=k -1例 求E(X ),其中解 X 的分布律為解例4.1.2 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義4.2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f (x)若則稱積分的值為隨機變量的數(shù)學(xué)期望，即記為注意 不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期

2、望不存在!Augustin-Louis Cauchy1789 - 1857例 設(shè)XU(a, b),求E(X)解 X 的密度函數(shù)為即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間(a, b)的中點例 求隨機變量X的分布，其中解 X 的密度函數(shù)為4.1.3 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例 某項任務(wù)完成所需時間X（單位：天）服從正態(tài)分布N(100,25),獎金辦法規(guī)定：該項任務(wù)若在 100天完成，則得獎金10000元；若在100天至115天內(nèi)完成，則得獎金1000元；若完成時間超過115天，則罰款5000元，試求完成該項任務(wù)獲得的平均獎金數(shù) 解 設(shè)Y為完成該項任務(wù)所獲獎金數(shù)，由題意知， Y是X的函數(shù)，即，得故Y 的分布律為 Y -50

3、00 1000 10000概率0.0013 0.4987 0.5E(Y)5492.2元定理4.1 設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)：Yg (X)（g是連續(xù)函數(shù)）（1）X是離散型隨機變量，它的分布律為則有（2）X是連續(xù)型隨機變量，它的密度函數(shù)為f (x)則有推論4.1 設(shè)Z是隨機變量X,Y的函數(shù), Z=g (X, Y)（g是連續(xù)函數(shù)），那么，Z是一個一維隨機變量（1）若二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律為，則有（2）若二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為 f (x ,y),且例 設(shè)隨機變量XU (a, b)，求E (Y ) .解 X的密度函數(shù)為例 設(shè)，求注意到，解例例 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度

4、函數(shù)為求a，E(X)，E(Y)，和E(XY)得a1從而(X,Y)的密度函數(shù)為例 設(shè)(X,Y)服從0,a0,a上的均勻分布,求E|X-Y|.aay=xXY0 x-y0 x-y0S1S2解4.1.4 數(shù)學(xué)期望的幾個重要性質(zhì)（3）設(shè)X，Y是兩個隨機變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y)（1）設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C（2）設(shè)X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X)（4）設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有E(XY)=E(X)E(Y)注意 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定獨立X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpiX Y P -1 0

5、1但是解例4.2 方 差4.2.1 方差與標(biāo)準(zhǔn)差定義4.3 設(shè)X是一隨機變量，若存在，則稱為X的方差，記為D(X)或Var(X)，即是與隨機變量X具有相同量綱的量，稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為 隨機變量X的方差表達了X的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度它是衡量X取值分散程度的一個尺度對于離散型隨機變量X，若其分布律為則對于連續(xù)型隨機變量X，若其密度函數(shù)為f(x)則定理4.2 若隨機變量X的方差存在，則有證明例 設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望解 稱為的標(biāo)準(zhǔn)化變量例 設(shè)隨機變量X(1,p)，其分布律為解 例 設(shè)解例 設(shè)解 X 的密度函數(shù)為4.2.2 方差的性質(zhì)（1）設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0（3）設(shè)X，Y是兩

6、個隨機變量，則有特別，若X，Y相互獨立，則有（2）設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù)，則有（4）D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C，即顯然，這里C=E(X)分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4.3.1 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念與性質(zhì)定義4.4 若EX-E(X)Y-E(Y)存在，則稱其為隨機變量X與Y的協(xié)方差，記為Cov(X, Y)即Cov(X, Y) EX-E(X)Y-E(Y)定理4.3 對于任意兩個隨機變量X與Y， 假設(shè)Cov(X, Y)，D(X), D(Y)都存在，則下列各式成立定義4.5稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。 相關(guān)系數(shù)是一個無量綱的量。定理4.4 設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)存在，則4.3.2 相互獨立與不相關(guān)的關(guān)系定理4.5 設(shè)隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)存在，若X