概率4-3相關(guān)系數(shù)

1、定義4.4 相關(guān)系數(shù) correlation coefficient 設(shè) 是二維隨機(jī)變量, 若 存在, 且為隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù), 即 則稱 定理4.5 相關(guān)系數(shù)性質(zhì) 的充要條件是: 存在非零常數(shù)k, 常數(shù)c使得:當(dāng) 時(shí), X, Y以概率1成立線性關(guān)系.根據(jù)相關(guān)系數(shù) 的值, 定義: 正線性相關(guān):負(fù)線性相關(guān):不相關(guān):當(dāng)方差不為0時(shí), 不相關(guān)等價(jià)表達(dá)為:或若則例1 設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布律為求 解 隨機(jī)變量 與 的邊緣分布律為由此得:所以:定理4.6 如果X與Y相互獨(dú)立, 則X與Y不相關(guān).反之, 若X與Y不相關(guān), 不能推出X與Y相互獨(dú)立定理4.7 設(shè) 服從二維正態(tài)分布, 即則X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于X與

2、Y不相關(guān).證明: 計(jì)算得由定理3.7即得.課堂練習(xí): 設(shè) 的聯(lián)合密度函數(shù)為試證隨機(jī)變量 與 既不獨(dú)立也不相關(guān).解 因注意到積分區(qū)域是個(gè)全對(duì)稱區(qū)域, 所以所以,其它,所以,隨機(jī)變量 與 不相關(guān).同理有即隨機(jī)變量 不是獨(dú)立的.其它 是公共連續(xù)點(diǎn), 顯然有:4.4 矩與協(xié)方差矩陣 定義:k階原點(diǎn)矩:k階中心矩:(k, l)階聯(lián)合原點(diǎn)矩:(k, l)階聯(lián)合原點(diǎn)矩:注: 期望為一階原點(diǎn)矩, 方差為二階中心矩. 協(xié)方差為(1, 1)階聯(lián)合中心矩.例1 已知求X的各階矩. 解:由分部積分公式得:例2 已知求X的各階中心矩. 解: 利用結(jié)論當(dāng) 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y), 稱列向量為(X,Y)的期望向量.稱矩

3、陣 為(X,Y)的協(xié)方差矩陣. 顯然, 這是個(gè)對(duì)稱陣. 借助于期望向量和協(xié)方差矩陣, 可以把二維正態(tài)分布的密度函數(shù)表達(dá)成簡(jiǎn)單形式, 并進(jìn)而推廣到n維正態(tài)分布.若則:其中:一般地:n維隨機(jī)變量 的期望向量為:協(xié)方差矩陣為:其中:由此, n維正態(tài)分布的密度函數(shù)定義為: 4.6 兩個(gè)不等式 正態(tài)分布的 準(zhǔn)則: 等價(jià)地:問: 隨機(jī)變量X的期望方差分別為 是否有:猜測(cè): 隨 的增大而增大, 隨k的增大而減小. 定理4.8 切比雪夫不等式設(shè)X是任意一個(gè)隨機(jī)變量, 對(duì)任意一個(gè)有:切比雪夫不等式可以等價(jià)地表示成:記 又得到另一形式: 當(dāng)k=3時(shí) 這個(gè)上界非常粗糙. 切比雪夫不等式主要在理論研究中發(fā)揮重要作用.證明:設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量, 密度函數(shù)為例3 設(shè)隨機(jī)變量X的方差為0, 證明X服從退化分布.證明: 記對(duì)任意一個(gè)有:所以即由 任意性得:定理4.9 柯西-許瓦茲不等式 設(shè)(X,Y)是任一二維隨機(jī)變量, 則: 請(qǐng)與下列不等式作比較:證明:即得:判別式例4: 證明 證: 對(duì)中心化