非壽險(xiǎn)精算課后習(xí)題答案(中精-主編-韓天雄)

1、 第一章1T 2T 3T 4T 5T 6T x 0 10 50 100P(Xx)0.85 0.95 0.995 1.0 7T 8T 9T 15T 第二章2T1從表中可以得出索賠額組中值由題知，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的期望和方差如下：根據(jù)矩估計(jì)法可知：由此可以求得：23T每份保單賠款次數(shù)X服從泊松分布，X的概率密度函數(shù)為： 由極大似然估計(jì)可以得到：而且所以5T韋伯分布的分布函數(shù)為：令 解得韋伯分布的20%和70%分位數(shù)：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)可以知道 ：令 解得 7T指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為，由極大似然估計(jì)得到分布檢驗(yàn)的檢驗(yàn)假設(shè)：賠款額分布服從參數(shù)的指數(shù)分布 ：賠款額分布不服從參數(shù)的指數(shù)分布顯著水平，查自由度為的分

2、布表，得到分位數(shù)14.86，所以拒絕域?yàn)橘r款額落在0100的理論概論為：同理可得 在拒絕域范圍內(nèi)，所以拒絕原假設(shè)，不能用指數(shù)分布模擬個(gè)別理賠分布。8T假設(shè)實(shí)際賠款平均額為，正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)： 為：，假定那么，拒絕域?yàn)楦鶕?jù)樣本數(shù)據(jù)得到： n=1243 u=1200 s=1497.31 即拒絕原假設(shè)，實(shí)際賠款額大于假定的平均賠款額，也就是說有證據(jù)說明該公司假定的平均賠款額太低了。9T的先驗(yàn)分布為Bate(2,200)，損失隨機(jī)變量的分布服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布那么的后驗(yàn)分布為：，即的后驗(yàn)分布均值為參數(shù)的貝葉斯估計(jì)：10T 由此可得： 解得 的后驗(yàn)分布為平方損失下的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)分布的數(shù)學(xué)期望11T1

3、賠款次數(shù)服從二項(xiàng)分布：因?yàn)?因?yàn)槟敲?2當(dāng) 時(shí) 第三章 非壽險(xiǎn)費(fèi)率厘定1T該保單期限為6個(gè)月，所以所投保的車輛是0.5個(gè)危險(xiǎn)單位。由于該保單是在2023年簽訂的，所以2023年的已簽危險(xiǎn)量為0。2023年10月1日參加保險(xiǎn)那么在2023年的有效期間為3/6=0.5，因此2023年已承當(dāng)危險(xiǎn)量為0.5*0.5=0.25。另外，該保單到2023年仍然有效，因而有效危險(xiǎn)量為0.5。2T12023年至2023年在2023年7月1日費(fèi)率下各年均衡已賺保費(fèi)分別為：2023年：1.93570+3.21620+1.25820+2.31280=21895元2023年：1.94230+3.21910+1.2632

4、0+2.31320=24769元2023年：1.95100+3.22200+1.26930+2.31500=28496元那么均衡已賺保費(fèi)之和為：21895+24769+28496=75160元2依題意可知：W=L/ER=54867/75160=0.73 而T=0.6那么調(diào)整因子為A=W/T=0.73/0.6=1.21673T費(fèi)率水平相對(duì)值：2023年之前：12023年10月1日至2023年10月1日：1.12023年10月1日至2023年10月1日：1.1882023年10月1日以后：1.3068那么有日歷年相對(duì)費(fèi)率水平等費(fèi)率因子202331/321+1/321.1=1.0031251.306

5、8/1.003125=1.3027320239/321+1/321.188+22/321.1=1.0746251.3068/1.074625=1.216120239/321.1+22/321.188+1/321.3068=1.16696251.3068/1.1669625=1.1198所以2023年至2023年近似均衡已賺保費(fèi)總額為：204691.30273+235431.2161+283001.11983=86987.39元4T相鄰年間的損失進(jìn)展因子如下所示：事故年1223344520231.531.128871.05761.04520231.4251.16741.055820231.431

6、1.0320231.425將相鄰年間的進(jìn)展因子求算術(shù)平均，即為選定因子12233445選定因子1.452751.10881.05671.045將相鄰年的選定因子連乘，即可得到至最終年齡的進(jìn)展因子15253545最終損失進(jìn)展因子1.77871.22441.104251.045損失預(yù)測如下：事故年最終損失進(jìn)展因子最終損失預(yù)測值2023120231=202320231.04521201.045=221520231.1042520251.10425=223620231.224422301.2244=273020231.778718091.7787=32185T相鄰年間的索賠次數(shù)進(jìn)展因子如下所示：事故年

7、1223344520231.24671.0731.0082120231.2431.0528120231.203771.0920231.1376將相鄰年間的進(jìn)展因子求算術(shù)平均，即為選定因子12233445選定因子1.207771.0721.00411將相鄰年的選定因子連乘，即可得到至最終年齡的進(jìn)展因子15253545最終索賠次數(shù)進(jìn)展因子1.31.07641.00411最終索賠次數(shù)預(yù)測如下事故年最終索賠次數(shù)進(jìn)展因子最終索賠次數(shù)預(yù)測值2023112301=12302023112761=127620231.004113911.0041=1396.720231.076413641.0764=1468.2

8、120231.312241.3=1591.26TG=40000/500000=0.08V=(200000+20000+50000)/1000000+45000/900000=0.32Q=0.05那么目標(biāo)損失率T=(1-V-G)/(1+G)=(1-0.32-0.05)/(1+0.08)=0.58337T計(jì)算所需數(shù)據(jù)如下表所示：級(jí)別當(dāng)前級(jí)別相對(duì)數(shù)根底費(fèi)率水平下均衡已賺保費(fèi)損失率新的級(jí)別相對(duì)數(shù)1171350.7954121.353791.851.02541.2891531.652743.031.1361.4287f=7135+5119+4526/(7135+51191.28915/1.35+4526

9、1.42868/1.65)=1.0526沖銷因子為1/f=1/1.0526=0.9500285(2)各級(jí)別下的新費(fèi)率級(jí)別1 1.21.151.0526=1.452588級(jí)別2 1.4525881.28915=1.8726級(jí)別1 1.4525881.4287=2.07528第四章 非壽險(xiǎn)費(fèi)率校正2T由EX3=+E(X1)+E(X2) Cov (X1,X3)= Cov (X1,X1)+ Cov (X1,X2) Cov (X2,X3)= Cov (X1,X2)+ Cov (X2,X2)可得：4=+2 2=+ 3=+2 聯(lián)立以上各式，求得=1所以第三年的信度保費(fèi)為1+X1+X23T依題意可設(shè)X1、X2

10、分別為兩份保單的賠款的隨機(jī)變量，那么由它們?nèi)甑挠^測值可計(jì)算得到：=(3+5+7)/3=5 =(6+12+9)/3=9結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì) =(5+9)/2=7=(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(6-9)2+(12-9)2+(9-9)2)/(3-1) 2)=6.5a=(5-7)2+(9-7)2)/(2-1)-6.5/3=35/6信度因子z=n/(n+v/a)=3/(3+6.56/35)=0.729那么兩份保單的Buhlmann保費(fèi)的估計(jì)值分別為：P1=(1-0.729)7+0.7295=5.542P2=(1-0.729)7+0.7299=8.4585T設(shè)X1、X2分別為兩份保單賠款次數(shù)的隨

11、機(jī)變量，那么= (7+13+11+9)/4=10 = (14+17+16+17)/4=16結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì) =(10+16)/2=13=(7-10)2+(13-10)2+(11-10)2+(9-10)2+(14-16)2+(17-16)2+(16-16)2+(17-16)2)/(4-1)2)=13/3a=(10-13)2+(16-13)2)/(2-1)-13/3/4=203/12信度因子z=n/(n+v/a)=4/(4+1312/(2033)=0.9398那么兩份保單的信度保費(fèi)的估計(jì)值分別為：P1=1000(1-0.9398)13+0.939810)=10180.6P2=1000(1-0.939

12、8)13+0.939816)=15819.17Tr=2,n1=n2=3x11=9000/30=300 x12=12000/50=240 x13=18200/70=260m11=30 m12=50 m13=70m1=m11+m12+m13=150=9000+12000+18200/150=261.33x21=25000/100=250 x22=26000/130=200 x23=30000/120=250m21=100 m22=130 m23=120m2=m21+m22+m23=350=(25000+26000+30000)/350=231.43結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì) =(261.33150+231.4

13、3350)/(150+350)=240.4=(30*(300-261.33)2+50*(240-261.33)2+70*(260-261.33)2+100*(250-231.43)2+130*(200-231.43)2+120*(250-231.43)2)/(3-1)+(3-1)=68004.7625a=(150*(261.33-240.4)2+350*(231.43-240.4)2-(2-1)*68004.7625)/(500-(1502+3502)/500) =123.1728那么第一組的信度因子和第四年的信度保費(fèi)分別為：Z1=m1/(m1+v/a)=150/(150+68004.7625

14、/123.1728)=0.2136P1=80(1-0.2136)240.4+0.2136261.33)=19589.65第二組的信度因子和第四年的信度保費(fèi)分別為：Z2=m2/(m2+v/a)=350/(350+68004.7625/123.1728)=0.388P1=100(1-0.388)240.4+0.388231.43)=23691.96410T轉(zhuǎn)移概率矩陣： 一年后等級(jí) 0% 30% 50% 初始0%1- 0等級(jí)30% 1- 0 50% 0 1- 11T無賠款發(fā)生的概率P0=P(X=0|=0.9512假設(shè)有10000個(gè)投保人投保，且全部享受最高折扣率優(yōu)待，那么一年后仍然享有50%折扣率的人數(shù)為10000人，在30%折扣率上的人數(shù)有10000-9512=488人。假設(shè)都續(xù)保，那么一年后各個(gè)折扣率等級(jí)的人數(shù)分別為：0%折扣率：4881-0.9512=24人30%折扣率：95121-0.9512=464人50%折扣率：95120.9512+4880.9512=9512人從該NCD系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣可得方程組如下：求得穩(wěn)定分布： 那么假設(shè)10000投保人年年續(xù)保，那么在0%、30%、50%折扣率等級(jí)上的穩(wěn)定人數(shù)為25人、487人和9488人。假