數(shù)學物理方程調(diào)和市公開課獲獎課件

1、第四章 調(diào)和方程1 方程建立和定解條件 2 格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì) 3 格林函數(shù) 4 用電象法求解特殊區(qū)域狄氏問題 第1頁第1頁二、 拉普拉斯方程邊值問題提法1 第一邊值問題（狄氏問題）2 第二邊值問題（牛曼問題）3、狄氏外問題4、牛曼外問題1 方程建立和定解條件調(diào)和函數(shù)：含有二階偏導數(shù)并且滿足拉普拉斯方程連續(xù)函數(shù)。一、方程建立第2頁第2頁三、泊松方程邊值問題泊松方程邊界條件定義在第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件泊松方程與第一類邊界條件，構成第一邊值問題(狄里希利問題)泊松方程與第二類邊界條件，構成第二邊值問題(諾依曼問題)泊松方程與第三類邊界條件，構成第三邊值問題第3頁第3

2、頁 1奧高公式 設 及 和 是在 上連續(xù)，在 內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)任意函數(shù), 則有下列奧-高公式其中 是 在 點 處外法向量 2 格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì)一、格林公式第4頁第4頁 2格林第一公式 在上述奧-高公式中令 ， ，注意到顯然恒等式：我們就有下列格林第一公式或第5頁第5頁 3格林第二公式 在上述格林第一公式中，互換 位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函數(shù)法求解定解問題時常要用到。然后兩式消減，我們就得到格林第二公式：原有第6頁第6頁由物理學家狄拉克首先引進用以討論物理學中一切點量質(zhì)點點電荷瞬時力脈沖等定義 d 函數(shù)是指含有下列性質(zhì)函數(shù)：4、d 函數(shù)第7頁第7頁如對一維問題:設在

3、無窮直線上 區(qū)間內(nèi)有均勻電荷分布，總電量為一個單位，在區(qū)間外無電荷如圖，則電荷密度函數(shù)為物理意義：集中量密度函數(shù)若 f(x) 在 內(nèi)連續(xù)，由中值定理有對于 有第8頁第8頁對于 在 連續(xù)，有或者表示是任意階可微函數(shù)極限，通常意義下沒故意義，只在積分運算中才故意義。當 時，得到點電荷密度函數(shù)此積分應理解為第9頁第9頁 相關d 函數(shù)等式應當在積分意義下理解。第10頁第10頁令兩邊微商，得由于由傅里葉逆變換，得拉普拉斯變換對二、三維同樣有 函數(shù) 二維： 處有一個單位點電荷，密度分布函數(shù)為 三維： 處有一個單位點電荷，密度分布函數(shù)為 第11頁第11頁求證： ，其中 證實:要證實 ，就是要證實積分意義下例

4、第12頁第12頁 當 時，有三式相加，可得第13頁第13頁 當 時， 不可導，將 V 取為整個三維空間第14頁第14頁令 ，上式積分與 a 無關從而有因此即第15頁第15頁二、 泊松方程基本積分公式建立點源泊松方程奇異，不能化為面積分。在 V 中 點挖掉半徑 小球 。小球邊界 。第16頁第16頁在 ， 。和連續(xù)。第17頁第17頁這樣，邊界條件得以進入積分之中！上式為泊松方程基本積分公式。令f=0,即得調(diào)和方程基本積分公式：調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點值能夠通過積分表示式用這個函數(shù)在區(qū)域邊界上值和邊界上法向?qū)?shù)來表示。第18頁第18頁1、調(diào)和方程基本解三、調(diào)和函數(shù)基本性質(zhì)2、調(diào)和方程基本積分表示式第1

5、9頁第19頁3、 牛曼內(nèi)問題有解必要條件4、 平均值公式（定理）5、 極值原理取 狄氏問題解唯一擬定，牛曼問題解除了相差一常數(shù)外也是唯一擬定。6、 拉普拉斯方程解唯一性問題調(diào)和函數(shù)最大、最小值只能在邊界上達到第20頁第20頁 3 格林函數(shù)若u，v均為調(diào)和函數(shù)若v不但為調(diào)和函數(shù)，且滿足由格林公式兩式相加令則第21頁第21頁對泊松問題對拉普拉斯問題因此求解狄氏問題就轉化為求此區(qū)域格林函數(shù)，即第22頁第22頁4 用電像法擬定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解主要困難還在于如何擬定格林函數(shù)本身 一個詳細定解問題，需要尋找一個適當格林函數(shù)，對一些詳細問題能夠給出構建格林函數(shù)辦法 這辦法是基于靜電學鏡像原理來構建格

6、林函數(shù)，因此我們稱這種構建辦法為電像法（也稱為鏡像法） 在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點關于邊界象點，在這兩個點放置適當電荷，這兩個電荷產(chǎn)生電位在曲面邊界上互相抵消。這兩個電荷在區(qū)域中形成電位就是所要求格林函數(shù)。電象法求格林函數(shù)第23頁第23頁物理模型：若在 處放置一正單位點電荷 則虛設負單位點電荷應當在 于是得到這兩點電荷在 xoy 上半平面電位分布也就是本問題格林函數(shù)，即為 1、 上半平面區(qū)域拉普拉斯方程第一邊值問題求解第24頁第24頁據(jù)此可求解上半平面區(qū)域定解問題例1 定解問題： 【解】 依據(jù)第一邊值問題，構建格林函數(shù)滿足 處放置于一個正和一個負點電荷（或點源） 構建格林函數(shù)為 第25頁第25頁邊界外法線方向為負軸，故有 代入到拉普拉斯第一邊值問題解公式，則由得 或由互易性得到上式稱為上半平面拉普拉斯積分公式第26頁第26頁例2 在上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程第一邊值問題 【解】構建格林函數(shù)滿足2 、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程第一邊值問題依據(jù)物理模型和無界區(qū)域格林函數(shù)能夠構建為第27頁第27頁為了把代入拉普拉斯第一邊值問題解公式需要先計算即為 即有 第28頁第28頁代入 即得到 這公式叫作半