數(shù)學(xué)物理方程調(diào)和市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第四章 調(diào)和方程1 方程建立和定解條件 2 格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì) 3 格林函數(shù) 4 用電象法求解特殊區(qū)域狄氏問題 第1頁第1頁二、 拉普拉斯方程邊值問題提法1 第一邊值問題（狄氏問題）2 第二邊值問題（牛曼問題）3、狄氏外問題4、牛曼外問題1 方程建立和定解條件調(diào)和函數(shù)：含有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程連續(xù)函數(shù)。一、方程建立第2頁第2頁三、泊松方程邊值問題泊松方程邊界條件定義在第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件泊松方程與第一類邊界條件，構(gòu)成第一邊值問題(狄里希利問題)泊松方程與第二類邊界條件，構(gòu)成第二邊值問題(諾依曼問題)泊松方程與第三類邊界條件，構(gòu)成第三邊值問題第3頁第3

2、頁 1奧高公式 設(shè) 及 和 是在 上連續(xù)，在 內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)任意函數(shù), 則有下列奧-高公式其中 是 在 點(diǎn) 處外法向量 2 格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì)一、格林公式第4頁第4頁 2格林第一公式 在上述奧-高公式中令 ， ，注意到顯然恒等式：我們就有下列格林第一公式或第5頁第5頁 3格林第二公式 在上述格林第一公式中，互換 位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函數(shù)法求解定解問題時(shí)常要用到。然后兩式消減，我們就得到格林第二公式：原有第6頁第6頁由物理學(xué)家狄拉克首先引進(jìn)用以討論物理學(xué)中一切點(diǎn)量質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)電荷瞬時(shí)力脈沖等定義 d 函數(shù)是指含有下列性質(zhì)函數(shù)：4、d 函數(shù)第7頁第7頁如對一維問題:設(shè)在

3、無窮直線上 區(qū)間內(nèi)有均勻電荷分布，總電量為一個(gè)單位，在區(qū)間外無電荷如圖，則電荷密度函數(shù)為物理意義：集中量密度函數(shù)若 f(x) 在 內(nèi)連續(xù)，由中值定理有對于 有第8頁第8頁對于 在 連續(xù)，有或者表示是任意階可微函數(shù)極限，通常意義下沒故意義，只在積分運(yùn)算中才故意義。當(dāng) 時(shí)，得到點(diǎn)電荷密度函數(shù)此積分應(yīng)理解為第9頁第9頁 相關(guān)d 函數(shù)等式應(yīng)當(dāng)在積分意義下理解。第10頁第10頁令兩邊微商，得由于由傅里葉逆變換，得拉普拉斯變換對二、三維同樣有 函數(shù) 二維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 三維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 第11頁第11頁求證： ，其中 證實(shí):要證實(shí) ，就是要證實(shí)積分意義下例

4、第12頁第12頁 當(dāng) 時(shí)，有三式相加，可得第13頁第13頁 當(dāng) 時(shí)， 不可導(dǎo)，將 V 取為整個(gè)三維空間第14頁第14頁令 ，上式積分與 a 無關(guān)從而有因此即第15頁第15頁二、 泊松方程基本積分公式建立點(diǎn)源泊松方程奇異，不能化為面積分。在 V 中 點(diǎn)挖掉半徑 小球 。小球邊界 。第16頁第16頁在 ， 。和連續(xù)。第17頁第17頁這樣，邊界條件得以進(jìn)入積分之中！上式為泊松方程基本積分公式。令f=0,即得調(diào)和方程基本積分公式：調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)值能夠通過積分表示式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上值和邊界上法向?qū)?shù)來表示。第18頁第18頁1、調(diào)和方程基本解三、調(diào)和函數(shù)基本性質(zhì)2、調(diào)和方程基本積分表示式第1

5、9頁第19頁3、 牛曼內(nèi)問題有解必要條件4、 平均值公式（定理）5、 極值原理取 狄氏問題解唯一擬定，牛曼問題解除了相差一常數(shù)外也是唯一擬定。6、 拉普拉斯方程解唯一性問題調(diào)和函數(shù)最大、最小值只能在邊界上達(dá)到第20頁第20頁 3 格林函數(shù)若u，v均為調(diào)和函數(shù)若v不但為調(diào)和函數(shù)，且滿足由格林公式兩式相加令則第21頁第21頁對泊松問題對拉普拉斯問題因此求解狄氏問題就轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域格林函數(shù)，即第22頁第22頁4 用電像法擬定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解主要困難還在于如何擬定格林函數(shù)本身 一個(gè)詳細(xì)定解問題，需要尋找一個(gè)適當(dāng)格林函數(shù)，對一些詳細(xì)問題能夠給出構(gòu)建格林函數(shù)辦法 這辦法是基于靜電學(xué)鏡像原理來構(gòu)建格

6、林函數(shù)，因此我們稱這種構(gòu)建辦法為電像法（也稱為鏡像法） 在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界象點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)放置適當(dāng)電荷，這兩個(gè)電荷產(chǎn)生電位在曲面邊界上互相抵消。這兩個(gè)電荷在區(qū)域中形成電位就是所要求格林函數(shù)。電象法求格林函數(shù)第23頁第23頁物理模型：若在 處放置一正單位點(diǎn)電荷 則虛設(shè)負(fù)單位點(diǎn)電荷應(yīng)當(dāng)在 于是得到這兩點(diǎn)電荷在 xoy 上半平面電位分布也就是本問題格林函數(shù)，即為 1、 上半平面區(qū)域拉普拉斯方程第一邊值問題求解第24頁第24頁據(jù)此可求解上半平面區(qū)域定解問題例1 定解問題： 【解】 依據(jù)第一邊值問題，構(gòu)建格林函數(shù)滿足 處放置于一個(gè)正和一個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷（或點(diǎn)源） 構(gòu)建格林函數(shù)為 第25頁第25頁邊界外法線方向?yàn)樨?fù)軸，故有 代入到拉普拉斯第一邊值問題解公式，則由得 或由互易性得到上式稱為上半平面拉普拉斯積分公式第26頁第26頁例2 在上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程第一邊值問題 【解】構(gòu)建格林函數(shù)滿足2 、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程第一邊值問題依據(jù)物理模型和無界區(qū)域格林函數(shù)能夠構(gòu)建為第27頁第27頁為了把代入拉普拉斯第一邊值問題解公式需要先計(jì)算即為 即有 第28頁第28頁代入 即得到 這公式叫作半