2021-2022學(xué)年河南省洛陽(yáng)市澗河路小學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

1、2021-2022學(xué)年河南省洛陽(yáng)市澗河路小學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若，則（ ）A2B2C3D3 參考答案：Bf（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，且g（2）=3, f（3）=2,f（x）為偶函數(shù),f（3）=f（3）=2故答案為：B2. 已知函數(shù)f（x）=，則關(guān)于方程f（|x|）=a，（aR）實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為（）A2B3C4D5參考答案：D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用【分析】由題意可得求函數(shù)y=f（|x|）的圖象和直

2、線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)作出函數(shù)y=f（|x|）的圖象，平移直線y=a，即可得到所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到結(jié)論【解答】解：方程f（|x|）=a，（aR）實(shí)根個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f（|x|）和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由y=f（|x|）為偶函數(shù)，可得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)作出函數(shù)y=f（|x|）的圖象，如圖，平移直線y=a，可得它們有2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)交點(diǎn)不可能有5個(gè)交點(diǎn)，即不可能有5個(gè)實(shí)根故選：D3. 已知點(diǎn)P是雙曲線=1（a0，b0）左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，且?=0，線段PF2的垂直平分線恰好是該雙曲線的一條漸近線，則離心率為( )ABC2D參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【專(zhuān)題】計(jì)算題；圓

3、錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】在三角形F1F2P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF2，點(diǎn)O恰好平分線段F1F2，根據(jù)三角形的中位線定理得出ONPF1，從而得到PF1F2正切值，可設(shè)PF2=btPF1=at，再根據(jù)雙曲線的定義可知|PF2|PF1|=2a，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立等式求得a和b的關(guān)系，則離心率可得【解答】解：在三角形F1F2P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF2，點(diǎn)O恰好平分線段F1F2，ONPF1，又ON的斜率為，tanPF1F2=，在三角形F1F2P中，設(shè)PF2=btPF1=at，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF2|PF1|=2a，btat=2a，在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4

4、c2，b2t2+a2t2=4c2，由消去t，得，又c2=a2+b2，a2=（ba）2，即b=2a，雙曲線的離心率是=，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)雙曲線定義和基本知識(shí)的掌握，屬于中檔題4. 若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱(chēng)這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為yx2，值域?yàn)椋?,4）的“同族函數(shù)”共有（）A、7個(gè)B、8個(gè)C、9個(gè)D、10個(gè)參考答案：C 由題意，問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個(gè)數(shù)：函數(shù)解析式為，值域?yàn)椋敲炊x域內(nèi)的元素可為，則定義域可為下列的9種：，因此“同族函數(shù)”有9個(gè).5. 復(fù)數(shù) （i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐

5、標(biāo)是 A.(3,3) B.(-1,3) C(3,-1) D.(2,4)參考答案：B略6. 給出下列命題： 若直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線平面； 長(zhǎng)方體是直四棱柱； 兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3參考答案：B【分析】由線面平行的判定定理即可判定；由長(zhǎng)方體與直棱柱的定義即可判定；構(gòu)建特殊的例子，如圖即可判定.【詳解】該直線與平面可能相交，位于平面兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離也是相等的，故錯(cuò)誤；顯然長(zhǎng)方體的側(cè)棱是垂直于底面的，故正確；兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐不一定是正棱錐，例如把如圖所示的正方形折疊成三棱錐就不是正棱錐，故錯(cuò)誤.

6、故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，直棱錐和正棱錐的定義，屬于簡(jiǎn)單題.7. 函數(shù)f（x）的圖象如圖，f（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排列正確的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)的圖象【分析】由圖象可知，函數(shù)f（x）隨著x增加函數(shù)值增加的越來(lái)越慢，即導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，據(jù)此即可得出答案【解答】解：由圖象可知，函數(shù)f（x）隨著x增加函數(shù)值增加的越來(lái)越慢，而f（3）f（2）可看作過(guò)點(diǎn)（2，f（2）與點(diǎn)（3，f（3）的割線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾

7、何意義可知0f（3）f（3）f（2）f（2）故選B8. 已知，若（其中為虛數(shù)單位），則 （ ） A B C D參考答案：C略9. 若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足，則的最小值是（ ）A B C. D參考答案：C10. 定義在上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi).參考答案：二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 參考答案：12. 已知在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則三棱錐OPAB的體積不小于的概率為參考答案：【考點(diǎn)】幾何概

8、型【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，利用對(duì)應(yīng)的體積比值求出對(duì)應(yīng)的概率【解答】解：如圖所示，AD、BC、PC、PD的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，當(dāng)點(diǎn)O在幾何體CDEFGH內(nèi)部或表面上時(shí)，V三棱錐OPAB；在幾何體CDEFGH中，連接GD、GE，則V多面體CDEFGH=V四棱錐GCDEF+V三棱錐GDEH=，又V四棱錐PABCD=，則所求的概率為P=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體體積的計(jì)算問(wèn)題，也考查了幾何概型的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目13. 在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 參考答案：20.=，令=0，得r=3。故常數(shù)項(xiàng)為=20.14. 設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意，有，

9、則（） ；（）若記，那么 參考答案：答案:（）； （） 0 15. 已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)參考答案：1【分析】利用恒成立可得實(shí)數(shù)的值【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以恒成立即，整理得到恒成立，故，填.【點(diǎn)睛】含參數(shù)的偶函數(shù)（或奇函數(shù)），可通過(guò)取自變量的特殊值來(lái)求參數(shù)的大小，注意最后檢驗(yàn)必不可少，也可以利用（或）恒成立來(lái)求參數(shù)的大小.16. 右方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為l5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為168，則x+y的值為 參考答案：1317. 已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_. 參考答

10、案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. 已知函數(shù)f（x）=+alnx（a0，aR）（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間（0，e上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若在區(qū)間（0，e上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e上的最小值小于0即可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉

11、區(qū)（0，e上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)f（x），然后討論研究函數(shù)在（0，e上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）=+=，當(dāng)a=1，f（x）=，令f（x）=0，得x=1，又f（x）的定義域?yàn)椋?，+），f（x），f（x）隨x的變化情況如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）極小值所以x=1時(shí)，f（x）的極小值為1f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（6分（2）f（x）=，（a0，aR）令f（x）=0，得到x=，若在區(qū)間0，e上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e

12、上的最小值小于0即可（i）當(dāng)x=0，即a0時(shí)，f（x）0對(duì)x（0，+）成立，f（x）在區(qū)間（0，e上單調(diào)遞減，故f（x）在區(qū)間（0，e上的最小值為f（e）=+alne=+a，由+a0，得a；（ii）當(dāng)x=0，即a0時(shí)，若e，則f（x）0對(duì)x（0，e成立，f（x）在區(qū)間（0，e上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間（0，e上的最小值為f（e）=+alne=+a0，顯然，f（x）在區(qū)間（0，e上的最小值小于0不成立若1e，即a時(shí)，則有x（0，）（，e）f（x）0+f（x）極小值f（x）在區(qū)間0，e上的最小值為f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1lna）0，得1lna0，解得ae，即a（e，+）綜上

13、，由（1）（2）可知：a（，）（e，+）19. 四棱臺(tái)被過(guò)點(diǎn)的平面截去一部分后得到如圖所示的幾何體，其下底面四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，.（）求證：平面平面；（）若與底面所成角的正切值為2，求二面角的余弦值.參考答案：（）平面，.在菱形中，KS5UKS5UKS5U又，平面，平面，平面平面.（）平面與底面所成角為，設(shè),交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，,.，同理，.設(shè)平面的法向量，則，設(shè)平面的法向量，則，設(shè)二面角為，.20. 如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為點(diǎn)在邊所在直線上 （I）求邊所在直線的方程； （II）求矩形外接圓的方程； （III）若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與矩

14、形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程參考答案：解：（I）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切， 所以，即故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支略21. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AC1平面ABC，D是AA1的中點(diǎn)（1）求證：CD平面AB1；（2）在側(cè)棱BB1上確定一點(diǎn)E，使得二面角的大小為參考答案：（1）證：面面，,面，即有；又，為中點(diǎn)，則.面.（2）如圖所示以點(diǎn)為

15、坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，過(guò)C點(diǎn)平行于AB的直線為y軸,CA1為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，設(shè)，且，即有，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.由條件易得面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由可得，令，則有，則 ，得.所以，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為.22. （16分）已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b（a，b為常數(shù)），其圖象是曲線C（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f（x0）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A處作曲線C的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處作曲線C的切線l2，設(shè)切線l1

16、，l2的斜率分別為k1，k2問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 專(zhuān)題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；（2）由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f（x0）=0同時(shí)成立，則存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題；（3）假設(shè)存在常數(shù)，依據(jù)曲線C在點(diǎn)A處的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，曲線C在點(diǎn)B處的切線l2，得到關(guān)于的方程，有解則存在，無(wú)解則不存在解答：解：（1

17、）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x3+x22x+b則f（x）=3x2+5x2=（3x1）（x+2）令f（x）0，解得2x，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2，）；（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f（x0）=0同時(shí)成立，則即x3+x2+（3x25x1）x+b=0存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，令y=2x3+x2+x，則y=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=或x=，則函數(shù)y=2x3+x2+x在（，），（，+）上是增函數(shù)，在（，）上是減函數(shù)，由于x=時(shí)，y=；x=時(shí)，y=；故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：（，）（，+）；（3）設(shè)點(diǎn)A（x0，f（x0），則在點(diǎn)A處的切線l1的切線方程為yf（x0）=f（x0）（xx0），與曲線C聯(lián)立得到f（x）f（x0）=f（x0）（xx0），即（x3+x2+ax+b）（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（xx0），整理