2021-2022學(xué)年河南省南陽市星江中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

1、2021-2022學(xué)年河南省南陽市星江中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 函數(shù)的定義域是，對(duì)任意，則不等式的解集為（ ）A B C D參考答案：A試題分析：令函數(shù),因,故函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),且,所以不等式等價(jià)于,故,應(yīng)選A. 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)及綜合運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題的重要工具,也高考和各級(jí)各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).解答本題時(shí)要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,先構(gòu)造出函數(shù),再運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷該函數(shù)的單調(diào)性為增函數(shù),將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為.最后借助

2、函數(shù)的單調(diào)性從而使得問題獲解,本題具有一定的難度,難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)的解析表達(dá)式,這里題設(shè)中的條件起到了的重要作用.2. 已知函數(shù)，則（ ） A .0 B .3 C .1 D .參考答案：C略3. 已知斜率為3的直線l與雙曲線C： =1（a0，b0）交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P（6，2）是AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率等于（）ABC2D參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出斜率，從而得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，再求離心率【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則代入雙曲線方程，相減可得，點(diǎn)P（6，2）是AB的中點(diǎn)，x1

3、+x2=12，y1+y2=4，直線l的斜率為3，=3，a2=b2，c2=2a2，e=故選A4. “”是“直線與直線互相垂直”的 (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件參考答案：A略5. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn ,，則的值為（ ）A 40 B 52 C. 56 D64參考答案：D6. 設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限參考答案：A【分析】先求出，再求得解.【詳解】因?yàn)?所以，所以點(diǎn)位于第一象限.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水

4、平.7. 己知(，)，sin=，則tan(+)的值為( ) A、7 B、7 C、 D、參考答案：答案:A 8. 已知=（5，6），=（sin，cos），已知向量且，則tan=（）A B C D參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【專題】平面向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示，直接代入公式求解即可【解答】解：=（5，6），=（sin，cos），5cos=6sin，tan=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示，平行問題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別9. 在平面四邊形ABCD中， ，且

5、，現(xiàn)將沿著對(duì)角線BD翻折成，則在折起至轉(zhuǎn)到平面BCD內(nèi)的過程中，直線與平面BCD所成角最大時(shí)的正弦值為( )A B C. D參考答案：D設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，由于ABAD，CBCD，所以ACBD，因此在折疊過程中，AC在平面ACD內(nèi)的射影是CO，所以是直線AC與平面BCD所成的角，由已知可得OAOA，OC2，易知在中，當(dāng)時(shí)，最大，且故選D10. 已知集合，則 （ ）A. B. C. D. 參考答案：C略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 設(shè)關(guān)于x的方程x2ax1=0和x2x2a=0的實(shí)根分別為x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 參考答案：（）

6、考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由x2ax1=0得ax=x21，由x2x2a=0得2a=x2x，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)得圖象，繼而得出關(guān)系式求解即可解答：解：由x2ax1=0得ax=x21，由x2x2a=0得2a=x2x，由可得2a=2x，作出函數(shù)y=x2x和y=2x的函數(shù)圖象如下圖：x1x3x2x4x2x=2x整理得：，即，即解得：x=1或x=當(dāng)x=1時(shí)，a=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)中零點(diǎn)與系數(shù)的關(guān)系，在考試中經(jīng)常作為選擇填空出現(xiàn)，屬于中檔題12. 在平面四邊形中，已知，則的值為 參考答案：1013. 從集合1，2，3，4中任取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)的槪率

7、為參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【分析】先求出基本事件總數(shù)n=6，再利用列舉法求出這兩個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這兩個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)的槪率【解答】解：從集合1，2，3，4中任取兩個(gè)不同的數(shù)，基本事件總數(shù)n=6，這兩個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)的槪率p=故答案為：14. 已知是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，且。若的最小值為1，則橢圓的離心率為 . 參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì). H5解析：設(shè)則，所以所以【思路點(diǎn)撥】設(shè)則，從而得，所以.15. 如圖所示，

8、在一個(gè)(且)的正方形網(wǎng)格內(nèi)涂色,要求兩條對(duì)角線的網(wǎng)格涂黑色，其余網(wǎng)格涂白色.若用表示涂白色網(wǎng)格的個(gè)數(shù)與涂黑色網(wǎng)格的個(gè)數(shù)的比值，則的最小值為 .參考答案：16. 設(shè)滿足則的最小值是 參考答案：217. 設(shè)函數(shù)f(x)x32ex2mxlnx，記g(x)，若函數(shù)g(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知函數(shù)(1)若方程在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（2）如果函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)、且.求證：（其中正常數(shù)）.參考答案：解：（1）由，求導(dǎo)數(shù)得到：，故在有唯一的極值

9、點(diǎn)，且知故上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足：故所求m的取值范圍為.（2）又有兩個(gè)實(shí)根則兩式相減得到：于是，故要證：，只需證：只需證：令，則只需證明：在上恒成立.法一:又則于是由可知.故知上為增函數(shù)，則從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.法二: 令,所以的對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，上為增函數(shù)，則從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.略19. 在直角坐標(biāo)系xoy中，不共線的四點(diǎn)A，B，C，D滿足，且，求：（1）的坐標(biāo)；（2）四邊形ABCD的面積參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用【分析】（1）由，且A，B，C，D不共線，可得ABC

10、D為平行四邊形，記AC與BD的交點(diǎn)為O，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解（2）由（1）可求|，|的值，從而可求cosBAD=，結(jié)合范圍0BAD可求sinBAD的值，利用三角形面積公式即可求解【解答】解：（1）因?yàn)?，且A，B，C，D不共線，所以四邊形ABCD為平行四邊形，記AC與BD的交點(diǎn)為O，則=（2，3），=（1，1）6分（2）由（1）可知，|=，|=，cosBAD=，因?yàn)閟in2BAD+cos2BAD=1，且0BAD，所以sinBAD=，故平行四邊形ABCD的面積為：|sinBAD=14分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量夾角的求法，考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，三角形面積公

11、式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查20. （本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：的離心率為，焦距為2.（）求橢圓E的方程；（）如圖，動(dòng)直線l：交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2，且，M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，M的半徑為，OS，OT是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.參考答案：解：（I）由題意知 ，所以 ，因此 橢圓的方程為.（）設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知，且，所以 .由題意可知圓的半徑為由題設(shè)知，所以由此直線的方程為.聯(lián)立方程得，因此 .由題意可知 ，而，令，則，因此 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以 ，因

12、此，所以 最大值為.綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.21. 生蠔即牡蠣（oyster），是所有食物中含鋅最豐富的，在亞熱帶、熱帶沿海都適宜蠔的養(yǎng)殖，我國(guó)分布很廣，北起鴨綠江，南至海南島，沿海皆可產(chǎn)蠔.蠔乃軟體有殼，依附寄生的動(dòng)物，咸淡水交界所產(chǎn)尤為肥美，因此生蠔成為了一年四季不可或缺的一類美食.某飯店從某水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購(gòu)進(jìn)一批生蠔，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計(jì)質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示.質(zhì)量（g）5,15)15,25)25,35)35,45)45,55)數(shù)量6101284（）若購(gòu)進(jìn)這批生蠔500kg，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批生蠔的數(shù)量（所得結(jié)果保留整數(shù)）；（）以頻率

13、估計(jì)概率，若在本次購(gòu)買的生蠔中隨機(jī)挑選4個(gè)，記質(zhì)量在5,25)間的生蠔的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 參考答案：（）由表中數(shù)據(jù)可以估計(jì)每只生蠔的質(zhì)量為，購(gòu)進(jìn)，生蠔的數(shù)量約有（只）.（）由表中數(shù)據(jù)知，任意挑選一個(gè)，質(zhì)量在間的概率，的可能取值為0，1，2，3，4，則，的分布列為01234或.22. 已知數(shù)列an中，a1=4，an+1=，nN*，Sn為an的前n項(xiàng)和（）求證：nN*時(shí)，anan+1；（）求證：nN*時(shí)，2Sn2n參考答案：【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和【分析】（I）n2時(shí)，作差：an+1an=，可得an+1an與anan1同號(hào)，由a2a10，即可證明：nN*時(shí)，anan+1（II）2=6+an，可得=an2，即2（an+12）（an+1+2）=an2，因此an+12與an2同號(hào)，可得Sn=a1+a2+an4+2（n1）即可證明左邊由： =，可得：an2+2利用等比數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)即可證明右邊【解答】證明：