橢圓中與焦點三角形有關(guān)的問題

1、l 2 橢圓中與焦三角形有關(guān)問題l 2 一內(nèi)和容析本節(jié)課起源于兩個常見習題，在焦點三角形中很典型，教者試圖利用課堂有限的四十分鐘引導生做 一些探究，體會發(fā)現(xiàn)的樂趣。規(guī)律在大綱中指的是定律、定理、法則等，一般在書上以黑體字出現(xiàn)，是前人研究的成果。而知識 形成和解題教學中，引導學生多角度挖掘知識，充分發(fā)揮典型題的探索價值往往能夠使學生發(fā)許多書本 上沒有的規(guī)律。讓學生自主參與教學全過程，不僅培養(yǎng)了學生的自主學習能力。而且培養(yǎng)了學的創(chuàng)新精 神和實踐能力，使他們體會到做學問的快樂。費賴登塔力曾經(jīng)說過個動的最好方法是做學習只有通過自身的操作活動和再現(xiàn)創(chuàng) 造性的做才可能是有效的。通過引發(fā)創(chuàng)新思維的問題，讓學

2、生學會自主學習。培養(yǎng)他們的獨立考能力， 這是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的重要手段。學生具有了這種能力就會不斷獲取新知識，創(chuàng)造就有了根基 二目和標析1.知識上，能一起探究焦點三角的有用結(jié)論，能理解、會應用，體會到一些有用的結(jié)論將會解析幾何 的解題帶來幫助；2.行動上，筆不離手，認識到有的計算是解答解析幾何問題的必備。三教問診分從學生的認知基礎(chǔ)和認知結(jié)構(gòu)看，第一，在高一學生雖然對已經(jīng)學習了三角知識和基本不等式但是 對于利用三角和基本不等式處理關(guān)聯(lián)的知識掌握參差不齊，甚至大部分學生沒有這種意識；第，如何把 一個素未謀面的具體問題利用坐標法轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決這是一個關(guān)鍵，由于學生積累的驗還不 夠，這也是一個教學

3、難點。第二，學生會感到結(jié)論太多，學過會忘記。從教師這方面看，首先這部分內(nèi)容教材中出現(xiàn)不多，但其實是各類考試的熱點，經(jīng)久不衰，題靈活 多樣。鑒于知識儲備及學生的差異，高效的組織教學將是一個突出的問題；其次學生雖然已對簡單的焦 點三角形有所認識，但不可能從根本上去理解，在完成探究任務的同時，還要結(jié)合一些典型案的處理， 使學生經(jīng)歷較完整的自主發(fā)現(xiàn)的全過程，在過程中讓學生體會坐標法的基本思想，對教師駕馭堂、靈活 應變能力提出了較高的要求。四教過設(shè)第部：前分。學活：學生輕閉雙眼，隨著舒緩的音樂，回想以前學過的焦三角形，回憶它的研究方法。 教活：分鐘快結(jié)束時，點明研究需要的知識：橢圓定義、三角形中的的()

4、弦定理、內(nèi)角和定理、面積公式等。第部：十鐘（）題入 1. （教師動）橢圓上一點與兩個焦點構(gòu)成的三角形，稱作為焦點三形。當場在 G 和度 上輸入焦三角形，有 350000 條之有關(guān)的詞條；設(shè)意：這個三角形有關(guān)的問題是解析幾何研究的熱點，經(jīng)久衰，題型靈活多樣。2.問：題 ：橢圓x y 9 4的焦點為 F 、 ， P 為上動點，當 PF 為鈍角時，點 P 橫標的取值范圍是_。設(shè)意：習入，陌，且學明本課容很強實價。 （）題分與導1l 2 5問分：l 2 5問 1. 橢圓x y 9 4的焦點為 F 、 ， 其上一點，當 PF1 2為直角時，點 P 的坐是_。問 2. 而題為鈍角，究竟鈍角和直角有何聯(lián)系？

5、解題的關(guān)鍵在于點動現(xiàn) PF1 2的大小與點 的置有關(guān)竟有何聯(lián)系了大家探索的焦點。設(shè)意：一看未的題化幾“經(jīng)備經(jīng)”可解的題是學規(guī)題 策，個務可一而，可水石。性一當點 從至左運動時， PF1 2由銳角變成直角，又變成鈍角，過了 Y 軸之后，對稱地由鈍角變成直角再變成銳角，并且發(fā)現(xiàn)當點 與軸端點重合時， PF1 達到最大?！靶砸皇鞘材?？能明？提示節(jié)我們研究的是焦三角形，在三角形中，求角的最值往往可轉(zhuǎn)化為求什么的最 ” 生思考后回答：求某個三角函數(shù)的最值。問 3：解三形中我們常用的理論依據(jù)是什么？問 ：竟轉(zhuǎn)化為求哪種三角函數(shù)的最值，經(jīng)大家演算、試驗，悟出“欲 PF1 的最大值，只需求 cos PF1 2

6、的最小值”（面對 PF1 = PF 2 PF 2 F | 2 1 PF | PF 如何求最小值，有的同學嘗試后發(fā)現(xiàn)若用兩次均值不等式，則兩次不等號方向相反，達不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢 學生們發(fā)現(xiàn)子變化的部分是 2 PF | 2 1 ，分母變化的部分是2 PF | 1 ，二者的關(guān)系是| PF | PF | 22 PF 4a 2 PF | 于目標式可分成兩部分2 2 | PF ，最后對 PF 1 2利用均值不等式，即可大功告成。設(shè)意：課教和業(yè)滲兩 7：3 是們直力研的題本很地體了 角基不式應。從而求得當 PF PF | 1 點 與軸端點重合時 PF1 有最小值為2b a 2 F

7、1 有最大值。此題結(jié)果為 5 5 , 問 5由面分，能得 PF1 與心 的關(guān)嗎性二 ：知橢圓方程為 2 y 2 a 2 b 2兩焦點分別為F , F 1 設(shè)焦點三角形 F1 中2l 2 l 2 PF 1 則 2（當且僅當動點為短軸端點時取號）設(shè)意：一的掘可讓題單，用值更“看一步其一步題 ：知 F 、 F 是圓1 2 2 a 0) a 2的兩個焦點，橢圓上一點 使 F 1 2，求橢圓離心率 的值范圍。思路：由焦點三角形性質(zhì)二， e 2 . e 變 式 1 ： 已 知 橢 2 2 a 0) a b 的 兩 焦 點 分 別 為F , F 1 若 上 在 P使 F 120 1 0,求橢圓的離心率 e

8、的值范圍。簡：橢點三角形性質(zhì)可知cos120 2 即12 2, 于是得到 的范圍是 ,1 追：時等？變 2：橢圓x 2 4 的兩個焦點F 、 F1 2試橢上是否存在點P使 PF 1 2？存在，求出點P的縱坐標；否則說明理由。簡：種做法：方一設(shè) 1, 2 ，可以得到 m 4，故mn 6，所以 P 的坐標的絕對值P，故 P 的縱坐標為 3 或3.方二cos e11，但橢圓離心率為 ，在范圍內(nèi)，故不存在。2兩解，案一，因設(shè)意：個習，層進練 2 直為問引入 ”下伏，承啟的用 （）題入 2一很通錯）題 ： 是橢圓x 5 4上的點F ， 是圓的焦點， PF 1 23，則 F1 2的面積等于_。多數(shù)同學：利

9、用橢圓定義和余弦定理列出方程組，消元，求出| PF | |1 3，代入面積公式。1 l 2l 2 3 1 l 2l 2 3 問大家然積可求，那么 PF PF 1 也一定可求，請大家計算一下 PF PF | 1 2的值同學們利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一個以 PF PF 1 2為根的一元二次方程，發(fā)現(xiàn)此方程判別式小于 ，無實根，究竟怎么回事，同學們陷入思考中。兩種解法，兩種結(jié)果，誰對準錯，難以定奪，同們自發(fā)地探索起分歧的原因。經(jīng)討論、交流、思考，發(fā)現(xiàn)題目出錯，利用剛才探索出的規(guī)律，當 與軸端點重合時， PF1 有最大值，查表求得是 57 ，因此，給定橢圓上不存在點 ， PF 1 3問 ：知橢圓 C：x

10、 a 2 b (ab0)，F(xiàn) 、F 是兩個焦點，對于給定的角， 探在 C 上在點 ， PF 1 2的條件。盡讓生到存點 P 的條可應到 BF 1 2。(B 為圓軸一個點設(shè)意：學養(yǎng)仔審的慣就須課開訓。 問 2怎改動使面是個題改動一P 是圓x 2 5 上的點 F 是圓的焦點，若 PF 1 26，則 F1 的面積等于。改動二 是圓 242上的點F 是圓的焦點，若 PF ，則 F 1 2的面積等于。問 3改的依是么（ PF BF 1 2 1 2 為軸一個端點）設(shè)意：己題體題如來要什。題 ： F 、 F 是圓 1 2 2 0) a 2 的兩個焦點， P 是圓上一點，且 PF 1 ，求橢圓的面積。 解 ：

11、 設(shè) ， 1 2， 由 余 弦 定 理 得m 2 mn cos 由橢圓定義得 F F 2 2a4c由得：mn 2( a 2 ) 2 1 S 1 sin mn 22 1 cos 2 2性三 若F1、F2是橢圓 2 2 0) a 2 的兩個焦點，P是橢圓上一點，且 PF 1 ，則S 2 2。4繼看 ：已知F1、F2是橢圓 2 2 a 0) a 2的兩個焦點，橢圓上一點P使 PF 1 2，求橢圓離心率e的取值范圍。思路二：利用焦點三角形性質(zhì)，從面積角度考慮不妨設(shè)短軸一端點為B則 PF 2 2S BF 1 2 a2 2 2 a 2故 當，用式解學編的目將易反的 如把形殊， F F ,我可得：1 1 2性四過圓焦點的所有弦中通(垂直于焦點的)最短，通徑為a2。 題 已知橢圓 ： a a 橢圓 C 的程；的右頂點為 A C 的點且垂直長軸的弦長1 這是 09 年江高理試。示分準設(shè)意：高角出，一體實價。問：察個點位還哪可。定點可以是長軸頂。恒、中心、短軸頂點，甚至可能是坐標軸上任一點或橢圓內(nèi)的一點。 【堂試F 、F 是圓 C 1 2 0) a 2的兩個焦點， p 為圓 C 上的一點，且PF PF 。 PF 1 2的面積為 9，則b （09 上）F F 是橢圓的兩個焦點足 1 MF 的點M總在橢圓內(nèi)部橢離心率的取值