2021年中考數(shù)學專題習講義-胡不歸-阿氏圓問題

1、胡不歸-阿氏圓問 問題概述已知定點 A、B，求找一點 P， aPA+PB 值最(a 大于 不為 1 的數(shù)；點 P 在線上運動型稱為“胡不歸”問題，點 圓周上運動型稱為“阿氏圓”問題. 方法原理1.兩之間，線段最短2.三角兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； 3.垂段最短；解題思路構造出新的線段，使其等于 aPA；構造方法：1.作，使 sin=a；一般 殊直角三角形；12、和時，作相應 30、45和 60，構造出特2.構造三角形與已知三角形相似，借助相似比將 轉化；注意系 a 滿足 0 時接構造 時要先提取系數(shù)（ PA+PB2PA+ 2 PB= 22PA+PB）.一胡歸題1.造含特殊的直角角

2、形，將“轉化已知：如圖A 為直 l 上一點B 為直外一點；要求：在直線 l 上一點 P，得12PA+PB 最小【分】利 sin30=12構造出 PA，當 B、P 和 H 共 2線時， 取最小值 BH，又 BHAH BH 取得最小值【解】過 A 作線 AM使A=30（B、M 位于 l 異 側），過點 B 作 AM 于 H，直線 l 于點 ，則點 P 即所求，此時 1 PA+PB 最，小值即為1 / 1 1 1 1 線段 BH 的長.【小】構方法可總結為：一作角，二作垂線；2.系數(shù) a 為22、32時，作 45和 角典型例 （1）如圖 ，直線 y=x-3 與 x 軸于點 A與 交于點 ，點 P 為

3、 x 軸一動點，連接 PB，當 點坐標為_時， PA+PB 取最小值，最小值_；（2）如圖 2，直線 y=3x+3 與 x 軸于點 ，與 y 軸交點 ，點 P 為 y 軸一動點，連接 PA，當 P 點坐標為時，2PA+PB 得最小值，最小值_.圖 1圖 【分】）據(jù)模型構造 PA 找 點，助 30的直角三角形解出 OP 長 BH 長，從而2求出 P 點標和 PA+PB 最小值；2（2）2PA+PB=2（PA+PB），與（）類似的方法求.【解】）圖，過點 A 作射線 AC與 正半軸交于點C，使，點 B 作 BHAC ，交 軸于 P，則 1 PA，此時 PA+PB 取得最小 值，即為 BH 長；已知

4、，OP= =3,則 P（，0）又 OC= OA =，BC=3+，BH=BC= 3 ，即 PA+PB 的最小值為 33 2；（2）如圖，過點 B 作射 BC， 的正半軸交于2 / 點 C，使OBC=45，過點 A 作 于 ，交y 軸點 P，此時 PB 取得最小值，BCO=45，AH= AC=2，2PA+PB=2AH=4， OP=OA=1，P，1；即當 P 點坐（，1 時，2PA+PB 取得最小值 4 【小】 1.作角時，以定點定邊向“異側”作射線；2.（2）中提取系數(shù) 2 之后答的最小值不要忘記乘 2.典型例 如圖， 為方形 ABCD 對線 BD 上動點AB2則 APCP 的最小值為（ ）A 2

5、 B 2 6C4 D3 【分】由 AP=CPBPCP=2AP+BP=2（PA+ 角形和等面積法可解出該最小.12PB），從而轉化為胡不歸模型，結合特殊直角三【解】方形 為對稱圖形， AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+ PB），即求 PA+ 1 PB 的最 值，連接 AE，作DBE=30， AC 于 E過 作 BE， 垂足為 F，在 eq oac(,Rt)PBF 中PBF=30 PF= 1 ，PA+12PB 的小值即為 AF 長，得PAO=30OP=AO3=63，AP=2OP=236，BP=OB-OP= 2 -63， PF=BP= - 6 ，AP+PF= 2 226，AP+BP+CP 的

6、最值為 2 6 ，選 B.【小】求 AF 也可放到 中，用等面積法計算；2.點 P 為 的費馬點”，興趣的讀者可查閱相關資.變式訓 如圖條直的公路 l 穿過原路邊有一消防站 離公路 千的地方有一居民點 B、 B 的線距離是 13 千.一天，居民點 著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最速度是 80 千米小，而在草地的最快速度是 40 千米小時，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng) 時可到達居民點 消車可從路的任意位置進入草地行)B小135A3 / 變式訓 如圖，菱形 的角線 AC 上一動點 ，BC6ABC150，則線段 APBP 的最小值為_2.造相似三形，借相似比將“轉化 典型例 如圖 eq o

7、ac(,，)ABC 在直角坐標系中AB=AC2 ，0，D 為線 AO 上一，一動點 P 從 A 出發(fā)，運動路徑為線段 AD、DC， 點 P 在 AD 上運速度是在 CD 上的 3 倍整個運動時間最少， 則點 D 的標應為_【分】設 CD 上度為 v 上速度為 3v，則全程時間 AD3vCDv=1 ( ) v ，當13AD+CD 最小時總間最少分析條件知 CO=AC過點 作 DHAC 于 H構 eq oac(,造)ADH 和ACO 相似，則 DH=坐標.13AD，又 CD=BD，需 DH+BD 最，此時 B、D、H 共線且 BHAC，借助相似易得點 D【解】如，作 DHAC 于 ，交 AO 于

8、D，此時整個運動時間最少，易證 eq oac(,，)AOC 則OD OC=12 ，OD= OC，D（0，）【小】首表示出時間和各段路程的關系； 2.找出圖中含有兩邊之比等于系 a 的角形； 3.構造相似三角形求解.變式訓 4 / 如圖拋線 y= x x+3 與 x 軸于點 A點 B與 y 軸交于點 點 點 關于 x 軸對稱，點 P 是 x 軸的一個動點，設點 P 的標為m，0，過點 P 作 x 軸垂線 l 交物線于點 Q （1）求直線 BD 的解式；（2）當點 P 在段 OB 上動時，直線 l 交 BD 于點 ，當DQB 面最大時，在 x 軸找一點 E使 QE+ EB 的最小，求 E 的標和最

9、小值二阿圓題一般構“子母”型似三角，借助相似將“ aPA”轉化 典型例 如圖， eq oac(,Rt)ABC 中ACB=90，BC=4 為直角邊 AC 上一 點，且 CD=2， CD 繞著點 C 順針旋轉（0），D為 點 D 的應點，連接 和 BD，則 AD+ 的最小_.2【分D在以 C 為圓心半為 2 的圓上運動 eq oac(,，)CDB 中CD=12BC據(jù)此在 CB 上截 CF=12CD=1構造CFD eq oac(,，) 將12BD轉化為 DF即求 AD+DF的最小值，、D 共時其值最小，由勾股定理易求該【解】在段 CB 上截 CF=12CD=1，CFCD 2，又DCB， eq oac

10、(,)CFD eq oac(,，)CDB D 12,即 12BD，使AD+ BD最小，則需 AD+DF 最，此時 A、D、F2三點共線，AD+DF 的小值即 AF 長， RtACF 中AF=AC 2 CF 2=32 = ，即 AD+ BD的最小值是 10 . 2變式訓 5 / 如圖 1，拋物線 y=ax6ax+6（a0與 軸交于點 （8，0），與 y 軸于點 B，在 x 軸有一動 點 E（m，0）（0m8）過 E 作 x 軸垂線交直線 AB 于 N，交拋物線于點 P，過點 P 作 PM AB 于 M（1）分別求出直線 AB 和拋物線函數(shù)表達式（2）設PMN 的積為 S ，AEN 的積為 S ，

11、 ：S =36：25，求 m 的 （3圖 2件下將線段 OE 繞點 逆時旋轉得到 OE轉為90 連接 EA、EB在 x 軸找一點 Q，使 ，出 坐標求 + AE的最小值變式訓 在平面直角坐標系中A（2，0（4，0，C（0），D，2），P 是AOC 外部的第一限 內一動點，且CPA135，則 2PDPB 的最小值是 中考真題6 / 1 1 1.如，AB 為O 的徑，點 C 是O 的一點， D 是 AC 上的一點，動點 P 從點 C 沿 CA 以 2cm/s 的度向點 D 動沿 DO 以 1cm/s 的速度向點 O 運動點 P 在整個運 過程中的時間為 t，則 t 的最值是 2.如，二次函數(shù) y=

12、ax 的像經(jīng)過點 （-1），B（0，- 軸交于點 D。）、C（2）其對稱軸與 x（1）求二次函數(shù)的表達式及其點坐標；1（2）P 為 y 軸的一動點，連接 PD PD 的最小值為_，此時 P 點坐標為_2（3）M（s，t）為拋物線對稱軸的一個動點。平面內存在點 ，使 、B、M、N 為點的四邊形為菱形，則這樣的點 N 有個；3.如，在 中，CA=CE， CAE=30， 經(jīng)點 C且圓的直徑 AB 在段 AE 上 （1）試說明 CE 是 的線。（2）若ACE 中 AE 邊上高為 h,用含 的代式表示O 的直 AB;（3）設點 D 是線 AC 上任意點（不含端點），連接 OD當 CD+OD 的小值為 6

13、 時2O 的 AB 的長求7 / 3 5 5 3 5 5 4.如，拋物線 y= （x+2）4（k 常數(shù)，且 k）與 x 軸從至右依次交于 A，B 兩點與 y 軸于點 C，經(jīng)過點 B 的線 y= x+b 拋物線的另一交點為 D（1）若點 D 的坐標為5，求物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內的拋物線有點 P，使得以 A，B，P 頂點的三角形 eq oac(,與)ABC 相似求 k 的；（3）在（）的條件下，設 F 為段 BD 上一點（不含端點），連接 AF，一動點 M 從 A 出，線 段 以每 1 個位的速度運到 再沿線段 FD 以每 單位的速度運動到 D 后停當 點 F 的標是多少時，點 M

14、 在個運動過程中用時最少？5.如 ，平面直角坐標系中，直線 與 、 軸分交于點 B（4，0）、C（0，3），點 A 為 x 軸 負半軸上一點，AMBC 于點 M 交 軸點 N滿足 4CN=5ON已知拋物線 y=ax+bx+c 經(jīng)點 A、B C（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2連接 AC點 D 在段 BC 上的拋物線上接 DC若BCD 和ABC 面滿足 = S ， eq oac(,S) 求點 D 的標；（3）如圖 2，E 為 OB 中，設 F 為段 BC 上一點（不含端點），連接EF一動點 P 從 E 出發(fā)沿線 段 以每 1 個位的速度運到 沿線段 FC 以秒 個單的速度運動到 C 后止3點 P

15、在個運動過程中用時最少，請直接寫出最少時間和此時點 F 的標8 / 6.已拋物線 ( x 3)( x a 與 軸左至右依次相交于 A、B 兩點，與 y 軸于點 C，經(jīng)過點 的線 3 與拋物線的另一個交點為 D。（1）若點 D 的坐標為 2，則物線的函數(shù)關系式為 。（2）若在第三象限內的拋物線有一點 P使得以 A、B、P 頂點的三角形與 相，求點 P 的 坐標。（3）在（）的條件下，設點 E 是段 AD 上一（不含端點），連接 ，動點 Q 從點 B 出發(fā)沿線段 以每 1 個位的速度運動到點 ，再沿線段 ED 以每秒 個位運動到點 D 停，問當點 E 的標為多少時，點 Q 運的時間最少？9 / 1

16、 11 1 1 11 1 11 1 1 11 7.如 1，拋物線 yax(a3)x3（a0與 x 交于點 ，0），與 y 軸于點 B， x 軸 有一動點 E（m，0）m4）過點 E 作 x 軸垂線交直線 AB 于 N，交拋物線于點 P，過點 P 作 PMAB 于點 M（1）求 a 的和直線 的函表達式；C 6（2）設 的周長為 C ，AEN 的周長為 若 ，求 m 値；C 52（3）如圖 2，在2）的條件下將線段 OE 繞 逆時針旋轉得到 OE，旋轉角為(0290)，連接 E、EB，求 EA EB 最小值3yPyPBMBMOEAxONEEAx 1胡不歸-阿圓問題 變訓 1-1 2 . 提示：求

17、 PA+ PB 的最小值，80 40PA+ PB= （ PA+PB） 80 40 40 2變訓 1-26提示：PA+PB+PD=PA+2PB=2( 變訓 2-112PA+PB)解：（1當 y=0 時， x2+252x+3=0，解得 x =6 = A1，0）、B，當 x=0 ，y=3則 ，3）10 / 1 1 1 3 1 1 1 3 點 D 與點 關于 x 軸對稱， 點 D 為（設直線 BD 的析式為 y=kx+b，將 D和 B（6分別代入得 k ，解得：k=12，b=3，直線 BD 解析式為 y=12x（2設 P（m，0）， Q（m，-m+m+3 ） M m3QBD 的面積= QM26 m2+

18、 m+3 m+3 ）= 2 2 2 32（m2）+24當 m=2 時QBD 的面積有最大值，此時 Q（2，6 如圖 1 所：過點 E 作 BD，垂足為 F在 Rt OBD 中，OD=3，則 BD=3，tan EBF=tanOBD= BD55EF=BEQE+EB=QE+EF 當點 Q 一條直線上時，QE+ EB 有最小值過點 Q QFBC，垂足 F，QF交 OB 與點 設 QF 解析式為 y=2x+b，將點 的坐標代入得：4+b=6解得 b=10 ，QF的解析式 y=2x+10 12x3 立解得 F（265，-25），當 y=0 時x=5點 E的坐標 的標QE+55EB 有最小值值=QF=(2

19、(6 5 5變訓 3-1解：（1把點 A（8，0）代入拋物線 26ax+6，得 64a48a+6=0 a= ，811 / 3 b 3 6 3 3 3 3 b 3 6 3 3 3 y= x2+ 894x+6 與 y 軸交點，令 x=0得 B（0，6設 為 將 A，B，6）代入得， ，解得： b ，直線 AB 的析式為 y=（2E（m，0），34x+6N（m，34m+6 ） P m2+8 m+6PE，ANEABO，AN ，解得：AN= m ) ，PM，PMN=又PNM=NMP NEASS3625，PM65，PM= AN=125又 PM= m+83294mm+6 6+34m= m2+3m 81232

20、m= m2+3m整理得： m12m+32=0， 8解得：m=4 m=80m8m=4.（3在（2的條件下，m=4，E（4，0，設 Q，0）由旋轉的性質可知 OE=OE=4，若OQEA則 90， d0，12 / 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 d448，解得：d=2Q（2，0由可知，當 Q 為2，0）時， OQEOEA，且相似比為OE 2 4 AE 12，12AE，BE+ AE=BE，2當 E旋轉到 BQ 在直線上時，BE+QE最小，即為 BQ 長度， B（0，6），Q（2，BQ=36 10，BE+ AE的小值為 2 2變訓 3-21042.示2PDPB=2（PD +121PB），

21、即 PD + PB 的小值；2如圖，由CPA 135，點 在以 O 為圓心，OA 長為半徑的劣 運動，取 中點 M，易知OMPOPB，則 121PB，則 + PB =PD +PM ，點 P 為2DM 弧 AC 的交點時，PD+PM 取最小值，即為 長，由點之間距離公式易得 DM=2 中真2.1.23.：當 DOAB 時2OD+CD 最小值，即 t 有最小值，AB 的直徑， ，AB=8cm，AC=43cm，在 RtAOD ，AD=2OD，t=CD CD 2 3，即 t 的最小值是 3s 2.：（1由題意 34a b , 3解 3 ，拋物線解析式為 y=9 3頂點（ ，）28xx ，（2）如圖 1

22、 ，連接 AB，作 DH 于 H，交 于 P此時 PB+PD 最小213 / 1 1 1 3 3OC= =h AB=2OC= h1 1 1 1 3 3OC= =h AB=2OC= h1 1 理由：OA=1，OB= 3 ，tan ABO=，ABO=30PH= PB2 PB+PD=PH+PD=DH2此時 PB +PD 最短（垂線段最短）在 RtADH 中 2AHD=90，AD=32，HAD=60，sin60=DHAD，DH=， PB+PD 最小值為 ； （3 A 為圓心 為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點， B 為圓心 AB 為半畫弧與對稱軸也有兩個交點，線 AB 的 垂直平分線與對稱軸有一個交點，所以

23、滿足條件的點 有 5 個，即滿足條件的點 N 有 5 個，故答案為 3.（1）連接 OC，如圖 1，CA=CE，CAE=30E=，COE=2，CE 是O 的切線；（2過點 C 作 CHAB H連接 如圖 由題可得 CH=h RtOHC 中，CH=OCsinCOH， OC22h 23 433 3 3(3) OF 平O 于 F接 AFDF圖 3AOF=2AOC = （18060214 / 1 1 31 38 31 1 31 38 3OA=OF=OCAOF 、COF 等邊三角形， AF=AO=OC=FC四邊形 AOCF 是菱形，由對稱性得 DF=DO過點 D H， OA=OC ，12DC， CD+O

24、D=DH+FD F 三點共時， 2DH+FD （ CD+OD最小，2此時 FH=OFsin2OF=6，則 OF=4，AB=2OF=83當 CD+OD 最小值為 6 時，O 的直徑 AB 的為 83 24.：（1拋物線 y=k8（x+2 ）， y=0解得 或 x=4，A（，0）， B（4，0直線 33x+b 經(jīng)過點 B ，0）， 4+b=0 ，解 b= ， 直線 BD 析式為：y=x+ 當 x= 5 時， 3，D（，3 3）點 D5 3）在拋物線 y=k8（x+2 ）（x上，k8（5+2 ）=3 ，k= 拋物線的函數(shù)表達式為： y= 939（x+2（x），即 x 3x（2由拋物線解析式，令 x=

25、0，得 y= 15 / k k kAB CBk k kAB CBC（0，），OC=k為點 在第一象限內的拋物線上，所以ABP 鈍角因此若兩個三角形相似，只可能是 ABC 或ABC PAB ABC APB，則有BAC=PAB 答圖 2 示設 P，過點 P 作 x 軸于 N，則 ON=x，PN=ytan tanPAB即： =2yx ，y=k2x+k ，P（x，x+k，代入拋物線解析式得（x+2（x4x+k整理得：x26x16=0，解得：x=8 或 x=2（與點 重合舍去）， P（8，5k）ABC APB，=，即 6=625 k，k= 5；若ABCPAB則有ABC=PAB，如答 2 所示設 P，過點

26、 P 作 x 軸于 N，則 ON=x，PN=ytanPAB，k4yx ，y=k4x+k2P（x， x+ ），代入拋物線解析式 4 2k8（x+2（x），k8（x+2 ）（x）=k4x+k2，整理得：x24x12=0，解得：x=6 或 x=2（與點 重合舍去）， P（6，2k）ABC PAB， =AP AB，解得 k= 2，k0， ，綜上，k= 5或 2（3方法一：如圖 3，D 3）過點 作 DNx 于點 N則 DN=3，ON=5，BN=4+5=9，tanDBA=33， DBA=30過點 作 x 則KDF=DBA=30過點 作 FGDK 于點 G則 12DF由題意動點 動的路徑為折線 AF+DF

27、，運動時間：t=AF+12DF，t=AF+FG，即運動的時間值等于折 的長度值由垂線段最短可知，折線 長16 / FD4 OA ON OA3 3 3 93 3 33 9 3 3 1 3 3 3 3 34 4 4 4 2 42 5 2 5 1 92 2 3 33 335 3233 3FD4 OA ON OA3 3 3 93 3 33 9 3 3 1 3 3 3 3 34 4 4 4 2 42 5 2 5 1 92 2 3 33 335 3233 3度的最小值為 DK x 軸之間的垂線段點 A AHDK 于點 H t =AH 與直線 交點為所求之 F 點A 點橫坐標為2直線 解析式為y=x+ 3，

28、y=（2）+ 3=2，F(xiàn)2）綜上所述，當點 F 坐為（2）時，點 M 在個運動過程中用時最少，方法二：作 DKABDKAH 直線 BD 于點 FBDH=30FH=DFsin30= 當且僅當 DK AF+FH2最小，點 M 在個運動中用時為：1FD2=AF+FHl ：y=x+ 3，F(xiàn) ，F(xiàn)（ ）5.：（1）， ，4CN=5ON， OAN= NCMAONCOB， = ，即 =3 OC OB 3434，解得 OA=1，A 設拋物線解析式為 y=a（x+1）（x，把 ，3）代入得 1（4）=3，解 a= ，拋物線解析式為 y= （x+1）（x4） = + ；4 4 4 4（2設直線 BC 解析式為 y

29、=mx+n ，把 C，3），B（4，0）代入 ，解得 4 m ，直線 BC 的析式為 y= 作 y 軸交 于 如圖 1設 x+ 則 x+3，4 4 4 4DQ= x+ x+3 x2+3x = S （ x2+3x x2+6x， S S x2+6x= eq oac(,=) eq oac(,=) （4+1）3，整理 x24x+3=0 ，解 x =1 =3 點坐標為（1， 或（3，3）； （3點 P 在個運動過程中所用的最少時間為 3 秒，此時點 F 坐標為（2 ）提示：即使得 小，過2 5點 C CGAB過點 E 作 EHCG 于 ，交 BC 于 F此時 BCO，F(xiàn)H= CF56.：（1y=a（x+3）（x1），點 的坐標為（，0、點 兩的坐標為1，0），直線 y=3x+b 過點 A，3，y=x33，當 x=2 時y=3，則 D 的坐標為23）， D 拋物線上， a（2+3