定量投資分析第三章

1、第3章統(tǒng)計學概念和市場收益率3.1引言統(tǒng)計方法為我們提供了強大的分析數(shù)據(jù)，以及從中獲得推斷結論的一組工具。無論我們分析的是資產(chǎn)收益率、盈利增長率、商品價格還是其他金融數(shù)據(jù)，統(tǒng)計工具都能幫助我們量化并表現(xiàn)出這些數(shù)據(jù)的重要特征。在本章中，我們將介紹一些描述與分析數(shù)據(jù)的基本方法。這些方法在統(tǒng)計學的分支中被稱為描述性統(tǒng)計。本章將提供一組在不同投資環(huán)境中應用的實用統(tǒng)計學概念和工具。正如本章的章名所反映的，我們要介紹的一個主題就是描述收益率分布的統(tǒng)計方法。（伊博森協(xié)會（Ibbotson Associates）（)慷慨地提供了本章中所使用的大部分數(shù)據(jù)。我們同樣也采用了Dimson，Marsh和Staunto

2、n（2002）的歷史數(shù)據(jù)和他們對于世界金融市場的研究以及其他的一些數(shù)據(jù)來源。）我們將探討收益率分布的4個性質：收益率集中于何處集中趨勢（central tendency）收益率距其中心位置的偏離有多遠離散度（dispersion）收益率的分布是否是對稱的還是偏向一邊的偏度（skewness）收益率是否容易出現(xiàn)極端結果的情況峰度（kurtosis）這些概念一般也會同樣地被應用到其他類型數(shù)據(jù)的分布之中。本章的內容組織如下。在第2節(jié)給出了一些基本概念的定義之后，在第3節(jié)和第4節(jié)中我們會對數(shù)據(jù)的表述進行討論。第3節(jié)討論的是如何用表格形式來表現(xiàn)數(shù)據(jù)，第4節(jié)討論的是如何用圖像來表現(xiàn)數(shù)據(jù)。接著，我們轉而討論

3、如何對數(shù)據(jù)分布的情況進行定量描述：第5節(jié)重點討論度量數(shù)據(jù)集中到哪里的量化指標，或數(shù)據(jù)中心趨勢的度量。第6節(jié)介紹其他描述數(shù)據(jù)位置的度量指標。第7節(jié)介紹度量數(shù)據(jù)離散度的量化指標。第8節(jié)和第9節(jié)討論其他一些能夠提供數(shù)據(jù)更加精確（詳細）描述的度量指標。第10節(jié)討論如何將第5節(jié)中介紹的概念應用于實際投資中。3.2一些基本概念在開始本章有關統(tǒng)計學的學習之前，先縱覽一下該領域的全貌可能會對我們的學習有所幫助。下面，我們將簡單地介紹一下統(tǒng)計學的研究范圍及其分支學科。我們會解釋總體和樣本的概念。另外，我們將會看到數(shù)據(jù)的不同類型對其度量方式及其在分析時所采用的適當?shù)慕y(tǒng)計方法產(chǎn)生影響。最后，我們將討論基本的數(shù)據(jù)度量

4、類型。3.2.1統(tǒng)計學的本質統(tǒng)計（statistics）這一術語可以有兩種寬泛的含義，一種是指數(shù)據(jù)，另一種是指方法。一家公司最近20個季度的平均每股盈利（earnings per share，EPS）或者最近10年的平均收益率就是統(tǒng)計。我們也可以通過分析歷史的EPS來預測未來的EPS，或者利用公司過去的收益率來推斷其所面臨的風險。我們采用的所有這些收集與分析數(shù)據(jù)的方法也被稱為統(tǒng)計。統(tǒng)計方法包括描述性統(tǒng)計和統(tǒng)計推斷（推斷性統(tǒng)計）。描述性統(tǒng)計（descriptive statistics）研究的是如何有效地概括數(shù)據(jù)以反映包含大量數(shù)據(jù)的集合的重要特征。描述性統(tǒng)計通過對大量的數(shù)據(jù)細節(jié)進行整合，將數(shù)據(jù)轉

5、化為有用的信息。統(tǒng)計推斷（statistical inference）所涉及的是如何通過實際觀測到的小的數(shù)據(jù)集合來對大的數(shù)據(jù)集合的情況進行預測、估計和判斷。統(tǒng)計推斷的基礎是概率論。統(tǒng)計推斷和概率論將在后面的幾章中進行討論。本章的重點只放在描述性統(tǒng)計的討論上。3.2.2總體和樣本在整個統(tǒng)計學的學習中，我們要明確區(qū)分總體和樣本這兩個概念之間的區(qū)別。在這一節(jié)中，我們將在解釋這兩個術語的同時，介紹與其相關的參數(shù)和樣本統(tǒng)計量這兩個術語。（本章會介紹許多統(tǒng)計學的概念和公式。為了使得它們能更易于識別，我們將一些重要的內容用項目符號列舉出來。）總體的定義。一個總體（population）是指一組特定數(shù)據(jù)中的所

6、有元素。任何對于總體特征的描述性度量指標均被稱為參數(shù)（parameter）。雖然對總體進行刻畫的參數(shù)可能會有很多，但是投資分析師們一般只關注其中的一部分，如投資收益率的均值、極差以及方差。即使我們能夠觀測總體中的所有元素，這樣做需要花費的高昂的時間和資金成本也會令我們望而卻步。例如，如果總體是全球無線通信的全體用戶，而分析師想要了解他們的購買計劃，那么分析師將會發(fā)現(xiàn)，如果要觀測整個總體的情況，花費將是巨大的。這時，分析師可以通過從總體中取出一個樣本來對該問題進行分析。樣本的定義。一個樣本（sample）就是總體的一個子集。在抽取一個樣本時，分析師往往希望該樣本能夠反映總體的特征。在統(tǒng)計學領域中

7、，關于采用適當?shù)姆椒▉硎沟贸槌龅臉颖灸軌蜻_到較好地反映總體目的的研究被稱為抽樣（調查）。在本章的后面部分，我們會介紹一些具體的抽樣方法。之前，我們在提到數(shù)據(jù)的時候已經(jīng)涉及了統(tǒng)計學的相關內容。正如參數(shù)是描述總體特征的度量指標，樣本統(tǒng)計量（簡稱為統(tǒng)計量）是描述樣本特征的度量指標。樣本統(tǒng)計量的定義。一個樣本統(tǒng)計量（或統(tǒng)計量，sample statistic or statistic）是由樣本計算得來的，用來描述樣本特征的一個量。我們在本章的大部分內容都會在這個定義下解釋和介紹統(tǒng)計量的用途。這個概念同樣在統(tǒng)計推斷中也是非常重要的，因為它涉及如何應用樣本統(tǒng)計量來對于未知總體參數(shù)進行估計的問題。3.2.3

8、度量尺度為了選擇一個恰當?shù)慕y(tǒng)計方法來描述和分析數(shù)據(jù)，我們需要區(qū)分不同的度量尺度（measurement scales）或者說是測量標準。所有數(shù)據(jù)都會用下面四種度量尺度之一進行度量：名義型、順序型、區(qū)間型或者比率型。名義尺度（nominal scales）代表最簡單的度量標準：它對數(shù)據(jù)進行分類但不進行排序。如果我們根據(jù)共同基金不同的投資策略用整數(shù)對其進行編號，那么數(shù)字1可能代表小市值價值型基金，數(shù)字2代表大市值價值型基金，諸如此類，對于每種類型的基金我們都會用一個數(shù)字來進行表示。這種名義尺度將基金根據(jù)各自的類型進行分類，但并沒有進行排序。順序尺度（ordinal scales）代表稍強一點的度量

9、標準。順序尺度將數(shù)據(jù)分成根據(jù)某種特征排序的不同類別。舉個例子來說，晨星和標準普爾為共同基金進行的評級服務用的就是順序尺度，根據(jù)共同基金的相對業(yè)績表現(xiàn)，將最差的一類基金評為一星，然后隨著業(yè)績向好的方向發(fā)展，依次評為二星、三星、四星和五星。順序尺度也可以用數(shù)字來區(qū)分不同的類別。例如，在對平衡型共同基金5年的累積收益率進行排序時，我們可以將數(shù)字1分配給業(yè)績最好的前10%的基金，以此類推，從而數(shù)字10代表表現(xiàn)最差的后10%的基金。因為順序尺度能夠揭示出排名1的基金比排名2的基金業(yè)績更好，所以順序尺度比名義尺度要求更高。但是，該尺度并沒有告訴我們排名1的基金和排名2的基金之間業(yè)績的差別與排名3和排名4，

10、或者排名9和排名10的基金業(yè)績之間的差別有什么不同。間隔尺度（interval scales）不僅提供數(shù)據(jù)的排序，還保證相鄰賦值之間的差別是相同的。因此，這些賦值之間是可以進行有意義的加減運算的。例如，攝氏和華氏的尺度就是這類區(qū)間型度量尺度。溫度在10和11之間的差別與40和41之間的差別是相同的，而且我們可以準確地得到12=9+3。但是，間隔尺度的零點并不表示我們所度量的東西不存在；它不是一個真正的零點或者自然的零。零攝氏度對應的是水的冰點，而不是指沒有溫度。由于缺乏真正的零點，所以我們不能通過間隔尺度來計算有意義的比率。舉例來說，50雖然比10大5倍，但是這并不意味著溫度高5倍。同樣，問卷

11、中的量常會用間隔尺度來進行度量。如果一個投資者被要求用從1（極端風險厭惡）到7（極端風險喜好）中的一個數(shù)來度量其風險厭惡程度，那么回答為1和回答為2的投資者之間的風險厭惡差別，與回答為6和回答為7的投資者之間的風險厭惡差別有時就被假設為相同的。當我們做出上述假設時，該數(shù)據(jù)就是由間隔尺度進行度量的。比率尺度（ratio scales）代表要求最高的度量標準。該尺度不僅具有區(qū)間度量尺度的所有特征，而且擁有一個真正的零點作為數(shù)據(jù)的原點。對于用比率尺度進行度量的數(shù)據(jù)，我們計算出的比率是有意義的，而這些比率間的加減運算同樣也是有意義的。因此，我們可以應用所有的統(tǒng)計工具來對以比率尺度度量的數(shù)據(jù)進行處理。收

12、益率和貨幣一樣，都是以比率尺度來度量的量。如果我們有兩倍的貨幣量，那么我們就有兩倍的購買力。注意該度量是有一個自然的零值的（零意味著沒有貨幣）。例3-1 識別度量尺度說明下列各項指標所使用的度量尺度：（1）債券發(fā)行的信用評級。（債券發(fā)行的信用評級度量了債券發(fā)行者履行債券所承諾支付的本金和利息的能力。例如，評級機構標準普爾，給予每一個發(fā)行的債券分配如下的某一個級別，以信用質量的降序排列的具體級別分別為（或者以違約概率的升序排列）：AAA，AA+，AA，AA-，A+，A，A-，BBB，BBB-，BB+，BB，BB-，B，CCC+，CCC-，CC，C，CI，D。想要了解更多關于信用風險的信息，參見F

13、abozzi（2004a）。）（2）每股現(xiàn)金紅利。（3）對沖基金分類類別。（對沖基金指的是一種具有合法組織結構的投資機構，它所受的監(jiān)管要小于其他的集資投資機構，如共同基金。根據(jù)它們所采用的投資策略的類型可將對沖基金劃分成不同的類別。）（4）債券到期年限。解：（1）信用評級是以順序尺度來度量的。一個評級將發(fā)行的債券歸到一個類別之中，并且該類別是根據(jù)其期望違約概率來進行排序的。但是AA-和A+之間期望違約概率的差別并不必然與BB-和B+之間期望違約概率的差別相同。也就是說，用字母來表示的信用評級并不是以間隔尺度來度量的。（2）每股現(xiàn)金紅利是以比率尺度來度量的。對于該變量，0表示完全沒有紅利；這是一

14、個真正的零點。（3）對沖基金分類類別是以名義尺度來度量的。每個類別中包含的是以相同投資策略進行投資的對沖基金。然而，與債券的信用評級不同，對沖基金分類規(guī)則中并沒有涉及對其進行排序。因此，該分類規(guī)則并不是以順序尺度來度量的。（4）債券到期年限是以比率尺度來度量的。3.3用頻數(shù)分布匯總數(shù)據(jù)在這一節(jié)中，我們討論一種最簡單的匯總數(shù)據(jù)的方法頻數(shù)分布。頻數(shù)分布的定義。一個頻數(shù)分布（frequency distribution）是指一種表格列示數(shù)據(jù)的方法，它用較少的區(qū)間對數(shù)據(jù)總體進行概括。頻數(shù)分布為我們對大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析提供了幫助，并且其能夠應用于任何尺度度量的數(shù)據(jù)之上。收益率是分析師和投資組合經(jīng)理用來進

15、行投資決策的最基本要素，我們可以使用頻數(shù)分布來對其進行匯總與描述。當我們分析收益率時，我們的出發(fā)點是持有期收益（也被稱為總收益）。持有期收益公式（holding period return formula）。在時刻t（從t-1到t）的持有期收益Rt為：式中，Pt表示時刻t的每股價格；Pt-1表示時刻t-1的每股價格，該時刻緊接在時刻t之前；Dt表示在時刻t-1到時刻t之間收到的現(xiàn)金分配。因此，時刻t的持有期收益為資本利得（或者損失）加上現(xiàn)金分配再除以期初的價格。（對于普通股來說，現(xiàn)金分配為紅利；對于債券來說，現(xiàn)金分配為息票支付。）我們可以簡單地通過對于時間指標t的間隔單位的不同解釋，來利用式（

16、3-1)對任何資產(chǎn)的日、周、月或者年的持有期收益分別進行定義。如式(3-1)所定義的持有期收益具有兩個重要的特征。首先，它是一個與時間有關的量。例如，如果我們觀測到的價格之間的時間間隔是以月為單位的話，那么收益率就是一個月度的數(shù)字。其次，收益率是沒有貨幣單位的。例如，如果貨幣是用歐元來計量的話，那么式（3-1)的分子與分母都將以歐元來表示，結果該比率將不含有任何單位，因為分子和分母的單位可以相互約去。無論價格是以何種貨幣來計量的，這一結果都將成立。（然而我們要注意，如果在持有期收益中的價格和現(xiàn)金分配不是以同一本國貨幣來表述的話，我們一般需要在計算持有期收益之前先將這些變量都轉化為本國貨幣。由于

17、匯率會在持有期間內波動，所以一個資產(chǎn)的持有期收益以不同貨幣作為單位進行計算時，往往會得出不同的結果。）在注意到上述事項之后，我們現(xiàn)在來討論標準普爾500指數(shù)持有期收益的頻數(shù)分布。（我們使用伊博森協(xié)會提供的標準普爾500在1926年1月至2002年12月的總收益序列。）首先，我們考察年度收益率；然后我們再看月度收益率。通過式（3-1)，我們可以計算出標準普爾500在1926年1月至2002年12月的年度收益率，共77個年度觀測值。月度數(shù)據(jù)包括1926年1月至2002年12月，共924個月度觀測值。我們可以將建立頻數(shù)分布的基本步驟敘述如下：建立一個頻數(shù)分布。1.將數(shù)據(jù)以升序排列。2.計算出數(shù)據(jù)的極

18、差。定義極差=最大值-最小值。3.確定頻數(shù)分布包含的區(qū)間數(shù)k。4.確定區(qū)間的寬度（極差/k）。5.通過不斷地在數(shù)據(jù)最小值上加上區(qū)間寬度來確定各個區(qū)間的端點，該過程在到達包含最大值的區(qū)間時停止。6.計算落入每個區(qū)間中觀測值的個數(shù)。7.建立一個列示落入從小到大排列的每個區(qū)間中觀測值數(shù)量的表格。在第4步中，當對區(qū)間寬度進行四舍五入時，我們采用上舍入（round up）而不是下舍出（round down）（如1.11的上舍入為2，而下舍出為1），以保證最后的那個區(qū)間中包含數(shù)據(jù)的最大值。正如上述步驟所明確表述的，一個頻數(shù)分布將數(shù)據(jù)歸入到一系列區(qū)間之中。（區(qū)間有時也被稱為組別（classes）、范圍（ra

19、nges）或者箱體（bins）。）一個區(qū)間（interval）是指一對數(shù)值，在這對數(shù)值的范圍之內會包含落入其中的觀測值。每個觀測值只會落入一個區(qū)間之中，并且整個區(qū)間應該包含數(shù)據(jù)中所有觀測值。實際落入一個給定區(qū)間的觀測值數(shù)量被稱為絕對頻數(shù)（absolute frequency），或者簡稱為頻數(shù)。頻數(shù)分布是反映一組區(qū)間以及各個區(qū)間相對應的頻數(shù)度量指標的一個列表。為了說明操作的基本步驟，假設我們有12個觀測值，以升序排列為：-4.57，-4.04，-1.64，0.28，1.34，2.35，2.38，4.28，4.42，4.68，7.16和11.43。最小的觀測值為-4.57，而最大的觀測值為+11.

20、43，因此，極差為+11.43-（-4.57）=16。如果我們設定k=4，那么區(qū)間寬度為16/4=4。表3-1顯示了不斷增加區(qū)間寬度4而得到的區(qū)間的端點（步驟5）。因此，所得到的區(qū)間分別為-4.57,-0.57)，-0.57,3.43)，3.43,7.43)和7.43,11.43)。（-4.57,-0.57)的記法是指-4.57觀測值）表3-2匯總了步驟5到步驟7的結果。注：這里的區(qū)間之間不會相互重疊，所以每個觀測值只能唯一地落入其中的某一區(qū)間之中。我們首先討論如何對19262002年區(qū)間段的標準普爾500年收益率建立頻數(shù)分布。在這個區(qū)間中，標準普爾500收益率的最小值為-43.34%（在19

21、31年），最大值為+51.99%（在1933年）。因此，該數(shù)據(jù)的極差近似為+54%-(-43%）=97%?，F(xiàn)在的問題是我們用來歸類觀測值的區(qū)間數(shù)k應該選擇多少。雖然在統(tǒng)計學的文獻中有一些對于k選擇的建議，但是設置一個有用的k值經(jīng)常涉及對于數(shù)據(jù)仔細的觀察與審慎的判斷。那么我們應該要包含多少具體細節(jié)呢？如果我們使用過少的區(qū)間，那么我們將匯總得過于粗略，從而失去數(shù)據(jù)相關的特征。而如果我們使用過多的區(qū)間，那么我們可能根本就沒有起到匯總的效果。我們可以通過比較劃分不同區(qū)間寬度所產(chǎn)生的效果，來選擇一個適當?shù)膋值。大量的空白區(qū)間可能意味著我們過分想要將數(shù)據(jù)進行分類，以至于反映了過多的細節(jié)。我們可以從一個相對

22、較小的區(qū)間寬度開始著手，來觀察它是否使得大部分區(qū)間是空白的，以及判斷與區(qū)間寬度相關的k值是否取得過大。如果區(qū)間大部分都是空白的或者k值非常大，那么我們可以考慮逐步增大區(qū)間寬度（減小k值），直至產(chǎn)生一個能有效匯總數(shù)據(jù)分布的頻數(shù)分布。對于標準普爾500年度序列來說，1%的收益率區(qū)間寬度將形成97個區(qū)間，并且其中很多區(qū)間是空白的，因為我們只有77個年度觀測值。我們需要記住建立頻數(shù)分布的目的在于匯總數(shù)據(jù)。假如為了解釋簡單，我們想要使用以整數(shù)而不是分數(shù)百分比表述的區(qū)間寬度。一個2%的區(qū)間寬度可能會比1%的區(qū)間寬度擁有更少的空白區(qū)間，并且能更有效地匯總數(shù)據(jù)。一個2%的區(qū)間寬度將會有97/2=48.5個區(qū)間

23、，我們可以將其四舍五入成49個區(qū)間。總區(qū)間的寬度將為2%49=98%。我們可以肯定，如果我們從最小的整數(shù)-44%開始，不斷增加2%的區(qū)間，最終區(qū)間的端點將位于-44.0%+98%=54%，該區(qū)間就包含了樣本中最大的收益率53.99%。在通過這種方式建立該頻數(shù)分布過程中，我們也得到以數(shù)值0%結束和以0%開始的兩個區(qū)間，這樣就使得我們可以計算數(shù)據(jù)中負的和正的收益率的數(shù)量。不需要太多的工作量，我們就找到了匯總數(shù)據(jù)的有效方法。我們將使用2%的區(qū)間，從-44%Rt-42%開始（在表中給出的是-44.0%到-42.0%）一直到52%Rt54%結束。表3-3給出了標準普爾500年度總收益率的頻數(shù)分布。表3-

24、3中包含了其他3種表示數(shù)據(jù)的有用方法。一旦建立了頻數(shù)分布，我們就可以計算相對頻數(shù)、累積頻數(shù)（也被稱為累積絕對頻數(shù)）和累積相對頻數(shù)。表3-3 19262002年標準普爾500年度總收益率的頻數(shù)分布表在原書P95注：每個區(qū)間的下限取的是不嚴格不等號（），而每個區(qū)間的上限取的是嚴格不等號（）。相對頻數(shù)的定義。相對頻數(shù)（relative frequency）是指每個區(qū)間的絕對頻數(shù)除以整個樣本觀測值的數(shù)量。累積相對頻數(shù)（cumulative relative frequency）將隨著區(qū)間從第一個到最后一個的移動，對于相應的相對頻數(shù)進行累積（加總）。該指標告訴我們低于每個區(qū)間上限的觀測值占總觀測值的比例

25、。仔細觀測表3-3中給出的頻數(shù)分布，我們可以看到，第1個收益率區(qū)間-44%到-42%，只有一個觀測值；其相對頻數(shù)為1/77或1.30%。因為低于-42%的觀測值只有一個，所以該區(qū)間的累積頻數(shù)為1。因此，累積相對頻數(shù)為1/77或1.30%。第2個收益率區(qū)間有0個觀測值；因此，其累積頻數(shù)為0加上1，而其累積相對頻數(shù)為1.30%（從前一個區(qū)間得來的累積相對頻數(shù)）。我們可以通過在前一個累積頻數(shù)的基礎上加總（絕對）頻數(shù)來求得其他區(qū)間的累積頻數(shù)。累積頻數(shù)告訴我們小于每個收益率區(qū)間上限的觀測值的數(shù)量。正如表3-3所顯示的，該樣本在各個收益率區(qū)間中頻數(shù)的取值為07中的一個數(shù)。收益率為-10%-8%的區(qū)間中最多

26、有7個觀測值。頻數(shù)第二多的區(qū)間為收益率18%20%的6個觀測值。從累積頻數(shù)一列中，我們可以看到，負收益率的觀測值為23個。所以正收益率的觀測值一定等于77-23，即54個。我們可以將正的和負的收益率的數(shù)目分別表示成總數(shù)的一個百分比，并通過該指標來感受投資于股票市場所存在的內在風險。在77年的區(qū)間中，標準普爾500具有負的年收益率的時間占總體的29.9%（即23/77）。這一結果顯示在表3-3的第5列，它給出了累積相對頻數(shù)的結果。頻數(shù)分布不僅告訴我們大部分觀測值集中在何處，還告訴我們數(shù)據(jù)分布是否是對稱的、有偏的或者尖峰的。在標準普爾500的例子中，我們可以看到，超過一半的數(shù)據(jù)都是正的，而且大部分

27、的年收益率都超過10%（54個正的年收益率中只有11個（大約20%）集中在0到10%之間）。表3-3允許我們對于區(qū)間數(shù)的選擇，特別是與股票收益率有關的區(qū)間數(shù)的選擇問題，給出了進一步的重要結論。從表3-3的頻數(shù)分布中，我們可以看到，落在-44%至-16%和38%至54%之間的結果只有5個。股票收益率數(shù)據(jù)經(jīng)常會出現(xiàn)非常大或非常小的結果。我們可以通過選擇一個較小的k值，使得頻數(shù)分布尾部的收益率區(qū)間減少。但是這么做會使得我們失去關于股票市場極端差或者極端好這兩種情況的信息。一位風險管理者可能需要知道最差的可能結果，因此，他可能想要關于分布尾端（極端值）部分的詳細信息。此時，一個具有較大k值的頻數(shù)分布就

28、會對他有用。而一個投資組合經(jīng)理或者投資分析師同樣也可能對于尾部的詳細信息感興趣；然而，如果一個經(jīng)理或者分析師想要獲得關于大部分觀測值主要集中在何處的信息，那么他可能會希望區(qū)間的寬度更大一些，例如4%（從-44%開始，共25個區(qū)間）。標準普爾500月度收益率的頻數(shù)分布看上去與年度收益率有較大不同。從1926年1月至2002年12月的月度收益率序列共924個觀測值。收益率從最小的-30%左右到最大的43%左右。對于這么大規(guī)模的月度數(shù)據(jù)，我們必須對其進行匯總以獲得對于數(shù)據(jù)總體分布的一個感受，所以我們將數(shù)據(jù)分為37個2%寬度的等間距收益率區(qū)間。通過這樣的匯總方式所獲得的好處是巨大的。表3-4列出了最終

29、獲得的頻數(shù)分布。絕對頻數(shù)出現(xiàn)在第二列中，而在其后面的是相對頻數(shù)一列。相對頻數(shù)一列中的數(shù)據(jù)都被近似到小數(shù)點后兩位。而累積絕對頻數(shù)和累積相對頻數(shù)分別出現(xiàn)在第4列和第5列中。表3-4 1926年1月至2002年12月標準普爾500月度總收益率的頻數(shù)分表在原書P97注：每個區(qū)間的下限取的是不嚴格不等號（），而每個區(qū)間的上限取的是嚴格不等號（0對于i=1，2，n。調和平均數(shù)是對于觀測值的倒數(shù)（形式為1/Xi的項）進行求和后再求平均（即將總和除以其觀測值的數(shù)目n），最后將平均數(shù)求倒數(shù)后得到的。調和平均數(shù)可以看做一種特殊形式的加權平均數(shù)，其觀測值的權重與其大小成反比例。調和平均數(shù)是關于均值相對專門的一個概念

30、。當我們對比率進行平均（每單位的數(shù)量）且該比率被重復地應用于一個固定值來得到一個變化的單位數(shù)量時，該調和平均數(shù)的計算是恰當?shù)?。這個概念最好通過一個例子來進行說明。一個廣為人知的應用來源于一種投資策略，即成本平均，其涉及在每個區(qū)間中投資固定數(shù)目的一筆金額。在這個應用中，我們進行平均的比率是在購買當天的每股價格，而且我們將這些價格去除一個常數(shù)金額，并得出一系列不同的股數(shù)值。假設一個投資者在n=2個月內每個月購買1000歐元的股票，該股票的價格在這兩個購買時點分別為10歐元和15歐元。那么購買該股票的平均價格是多少？如果我們在每個時點投資不同的金額，那么我們就不能應用調和平均數(shù)的計算公式。但是，我們

31、仍可以使用加權平均數(shù)的計算公式來進行類似于上面的計算。一個關于調和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和算術平均數(shù)之間的數(shù)學關系是除非數(shù)據(jù)集的所有觀測值都相同，否則調和平均數(shù)就將嚴格小于幾何平均數(shù)，而幾何平均數(shù)嚴格小于算術平均數(shù)。在我們給出的例子中，調和平均價格確實嚴格小于算術平均價格。3.6位置的度量：分位數(shù)至今為止，我們已經(jīng)討論了集中趨勢測度?，F(xiàn)在我們來考察描述數(shù)據(jù)位置的一種方法，該方法被用來識別出這樣的一個臨界值，小于等于該臨界值的觀測值數(shù)量占到整個數(shù)據(jù)中某個具體比率。例如，一個投資組合25%、50%和75%的年收益率的值分別小于或者等于值-0.05、0.16和0.25。這些數(shù)值提供了關于投資組合收益率分

32、布的簡要信息。統(tǒng)計學家使用詞匯分位數(shù)（或分位點）（quantile or fractile）來作為對于該值（小于等于該值的數(shù)據(jù)為一給定的比率）最一般的術語。下面，我們會討論最常用的一些分位數(shù)四分位數(shù)、五分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)，以及它們在投資中的一些應用。3.6.1四分位數(shù)、五分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)我們知道中位數(shù)將一個分布分成相等的兩個部分。我們可以定義其他將一個分布分成更小尺寸的分割線。四分位數(shù)（quartiles）將一個分布分成4等分，而五分位數(shù)（quintiles）將其分成5等分，十分位數(shù)（deciles）分成10等分，百分位數(shù)（percentiles）分成一百等分。給定一組觀測值

33、，第y個百分位數(shù)是指這樣的一個值，小于等于該值的觀測值占總觀測值的比例為y%。百分位數(shù)經(jīng)常被使用，其他的一些度量指標可以類似地由百分位點進行定義。例如，第1個四分位數(shù)（Q1）將一個分布分成兩塊，該分割點使得25%的觀測值小于等于它。因此，第1個四分位點也就是第25個百分位點。同樣的，第2個四分位點表示第50個百分位點，第3個四分位點表示第75個百分位點（因為75%的觀測值小于等于它）。當處理實際數(shù)據(jù)時，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)我們需要去近似估計百分位數(shù)的值。例如，如果我們對于第75個百分位數(shù)的值感興趣，而且我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中沒有使得樣本中正好有75%的觀測值小于等于它的觀測值存在。我們就可以運用下面的方法來幫

34、助我們確定或者估計該百分位數(shù)。這種方法首先要求在該組觀測值中確定百分位數(shù)的位置，然后確定（或者估計）出與那個位置相關的具體數(shù)值。假使Py是這樣的一個數(shù)值，它使得分布的y%小于等于該值，或者說它就是第y個百分位點。（例如，P18就是使得分布中18%的觀測值小于等于它的這樣一個數(shù)值；或者說有100-18=82%的觀測值比P18大。）一個由n個按升序排列數(shù)據(jù)組成的數(shù)組的百分位點位置的計算公式為：式中，y是百分點（在該點我們將分布進行分割）；Ly是按升序排序數(shù)組中位于百分數(shù)Py處的值（L）。Ly該值可能是一個整數(shù)，也可能不是一個整數(shù)。通常，隨著樣本容量的增大，百分位數(shù)位置的計算將會變得越來越精確；而在

35、小樣本的情況下，它可能只是一個近似。作為一個Ly不是整數(shù)的例子，假設我們要確定2002年由表3-8給出的16個歐洲股票市場收益率的第3個四分位數(shù)（Q3或者P75）。按照式（3-8)，第3個四分位數(shù)的位置為L75=(16+1）75/100=12.75，或者位于表3-9按收益率升序排列的第12項和第13項之間的值。表3-9中第12項為2002年葡萄牙的股票收益率-28.29%。第13項為2002年瑞士的股票收益率-25.84%。為了反映12.75中的0.75，我們得出這樣的結論：P75位于-28.29%和-25.84%之間75%的距離上?？偨Y如下：當位置Ly是一個整數(shù)時，該位置與一個實際的觀測值相

36、對應。例如，如果意大利沒有被包含在樣本中，那么n+1將等于16，于是L75=12，故第3個四分位數(shù)將為P75=X12，其中，Xi是有在按升序排列的數(shù)據(jù)中的第i個（i=L75）位置上的觀測值的數(shù)值（即P75=-28.29）。當Ly不是一個整數(shù)時，Ly位于兩個與其最接近的整數(shù)之間（一個大于它，一個小于它），那么我們可以通過在這兩個位置之間進行線性插值（linear interpolation）來確定Py。插值指的是通過兩個已知的且在所求未知量附近的數(shù)值（一個大于它，一個小于它）來對于未知量進行估計的一種方法；而術語線性指的是一種利用直線來進行的估計?；氐接嬎愎善笔找媛实腜75值的例子中，我們之前求

37、得Ly=12.75；其相鄰的比它小的整數(shù)為12，而相鄰的比它大的整數(shù)為13。利用線性插值方法，P75X12+(12.75-12）（X13-X12）。如上所述，在第12個位置上的數(shù)值是葡萄牙的股票收益率，所以X12=-28.29%；而X13=-25.84%，代表著第13個位置上的瑞士的股票收益率。因此，我們的估計為P75X12+(12.75-12）（X13-X12）=-28.29+0.75-25.84-(-28.29)=-28.29+0.75(2.45）=-28.29+1.84=-26.45%。用語言來表達就是，P75被包含在一個下界為-28.29、上界為-25.84的區(qū)間中。因為12.75-1

38、2=0.75，所以利用線性插值，我們將從-28.29%至-25.84%之間距離的75%處的點作為我們P75的估計值。當Ly不是一個整數(shù)時，我們采用這種方式：取包含Py的最接近的位于Ly之上和之下的兩個整數(shù)來確定所使用觀測值的位置，然后對于該位置上的兩個觀測值利用線性插值來對于Py進行估計。例3-9舉例說明了歐洲主要股票指數(shù)中成分股紅利收益率的不同分位數(shù)的計算方法。例3-9 計算百分位數(shù)、四分位數(shù)和五分位數(shù)DJ EuroSTOXX 50是一個由歐洲最大的50家上市公司按市值加權所計算得到的指數(shù)。表3-17列出了該指數(shù)中50個成分股在2003年中期的紅利收益率情況，數(shù)據(jù)按升序排列。表3-17在原文

39、P122利用表3-17中的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）計算第10個和第90個百分位數(shù)。（2）計算第1個、第2個和第3個四分位數(shù)。（3）給出中位數(shù)的值。（4）有多少個五分位數(shù)，這些五分位數(shù)分別與哪些百分位數(shù)相對應？（5）計算第1個五分位數(shù)。解：（1）在這個例子中，n=50。利用式（3-8)，Ly=(n+1）y/100是第y個百分位數(shù)所處的位置，因此，對于第10個百分位數(shù)來說，我們有L10=(50+1）（10/100）=5.1L10在第5個和第6個觀測值X5=0.26和X6=1.09之間。紅利收益率的第10個百分位數(shù)（第1個十分位數(shù)）的估計值為對于第90個百分位數(shù)，L90=(50+1）（90/100）

40、=45.9L90位于第45個觀測值X45=5.15和第46個觀測值X46=5.66之間。故第90個百分位數(shù)（第9個十分位數(shù)）的估計值為（2）第1個、第2個和第3個四分位數(shù)分別對應于P25、P50和P75。L25=(51）（25/100）=12.75L25位于第12和第13個數(shù)據(jù)X12=1.51和X13=1.75之間。P25=Q1X12+(12.75-12）（X3-X12）=1.51+0.75（1.75-1.51）=1.51+0.75（0.24）=1.69%L50=(51）（50/100）=25.5L50位于第25和第26個數(shù)據(jù)之間，但是由于X25=X26=2.65，故我們不需要插值。P50=Q

41、2=2.65%L75=(51）（75/100）=38.25L75位于第38和第39個數(shù)據(jù)X38=3.88和X39=4.06之間。P75=Q3X38+(38.25-28）（X39-X38）=3.88+0.25（4.06-3.88）=3.88+0.25（0.18）=3.93%（3）中位數(shù)是第50個百分位數(shù)，2.65%。這與我們通過求第n/2=50/2=25項和第（n+2）/2=52/2=26項的平均數(shù)的結果是相同的。這一方法與之前樣本容量為偶數(shù)的樣本中位數(shù)的求解過程所得的結果是一致的。（4）有4個五分位點，它們分別對應P20、P40、P60和P80。（5）第1個五分位點是P20。L20=(50+1

42、）（20/100）=10.2L20位于第10個和第11個觀測值X10=1.39和X11=1.41之間故第1個五分位數(shù)的估計值為P20X10+(10.2-10）（X11-X10）=1.39+0.2（1.41-1.39）=1.39+0.2（0.02）=1.394%或1.39%3.6.2分位數(shù)在投資中的應用在這一節(jié)中，我們將對分位數(shù)在投資中的應用進行討論。分位數(shù)在投資組合業(yè)績評價和投資策略研發(fā)中都有應用。投資分析師每天使用分位數(shù)來對于業(yè)績進行排序例如，對于投資組合的業(yè)績。投資經(jīng)理的業(yè)績也經(jīng)常以與同等類型投資經(jīng)理的業(yè)績相比所處的分位數(shù)的形式來表示。另外，晨星共同基金星級評級也將同類風格共同基金百分位數(shù)

43、的業(yè)績與某個星級的數(shù)字相聯(lián)系。另外一個使用分位數(shù)的領域是在投資研究方面。分析師根據(jù)某一分位數(shù)來定義一個以該分位數(shù)命名的組類。例如，分析師們經(jīng)常將一組收益率低于作為截斷點的第10個百分位數(shù)的公司作為收益率最低的10%的公司。基于某些特征將數(shù)據(jù)分成幾類，使得分析師們能評估特定特征對于某些感興趣數(shù)據(jù)的影響情況。例如，金融實證研究常根據(jù)股票市值對上市公司進行排序并將其分成10類。第1類包含的是那些擁有最小市值公司投資組合，而第10類包含的是那些擁有最大市值公司的投資組合。將上市公司分成10類使得分析師們能夠比較小市值公司和大市值公司業(yè)績表現(xiàn)之間的差別。我們可以用鮑曼（Bauman）、柯諾瓦（Conov

44、er）和米勒（Miller）（1998）作為一個在投資研究中使用分位數(shù)，特別是四分位數(shù)的例子來加以說明。他們的研究比較了國際成長股和價值股之間的業(yè)績表現(xiàn)情況。通常，價值股被定義為那些市場價格相對其每股盈利、每股賬面價值或者每股紅利較低的股票。而另一方面，成長股的市場價格卻相對于那些指標較高。鮑曼他們的分類標準是按照一些估值度量指標：價格-盈利比（市盈率P/E），價格-現(xiàn)金流比（P/CF），價格-賬面價值比（市凈率，P/B）和紅利收益率（D/P）。他們將總樣本中在19861996年間每年6月20日擁有最低市盈率的四分之一股票（價值股類）定義為四分位數(shù)組1，而將每年擁有最高市盈率的四分之一股票（成

45、長股類）定義為四分位數(shù)組2。擁有第二大的市盈率的股票形成四分位數(shù)組3，而擁有第二小的市盈率的股票形成四分位數(shù)組2。作者們對于每個基本面因子重復這個分類過程。對于每個四分位數(shù)組類，他們將其以等權重的方式形成一個投資組合。由此，他們能夠比較不同價值/成長四分位數(shù)組類間的業(yè)績表現(xiàn)情況。下面的表3-18是由他們研究中的表1復制而來的。表3-18給出了每個四分位數(shù)組類以及每個估值因子的中位數(shù)、均值收益率和標準差。從四分位數(shù)組1到四分位數(shù)組4，按P/E、P/CF和P/B分類時，都呈現(xiàn)逐漸增加的趨勢；而按D/P分類時，呈現(xiàn)出逐漸下降的趨勢。而無論選擇標準是什么，國際價值股在樣本區(qū)間內總是表現(xiàn)優(yōu)于成長股。鮑曼

46、、柯諾瓦和米勒也根據(jù)股票市值的大小將公司分入4個四分位數(shù)組類之一。在此基礎上，他們考察了在不同四分位數(shù)組類中股票的收益率情況。表3-19是從他們論文中的表7復制而來。如表中所示，小公司的投資組合具有市值中位數(shù)為46600000美元，而大公司的投資組合具有的市值中位數(shù)為2472300000美元。大公司的市值是小公司的50多倍，但是它們的股票平均收益率卻小于小公司平均收益率的一半（小公司22.0%，大公司10.8%）?？偟膩砜?，鮑曼等人發(fā)現(xiàn)兩種效應：第一，國際價值股（如作者們所定義的）的表現(xiàn)要優(yōu)于國際成長股；第二，國際小市值股票的表現(xiàn)要優(yōu)于國際大市值的股票。作者下一步是考察在控制公司規(guī)模的情況下，

47、價值股和成長股表現(xiàn)情況如何。這一步涉及構建16個不同的價值型/成長型和公司規(guī)模的投資組合（44=16），并觀察這兩個基本面因素相互間的交互作用。他們發(fā)現(xiàn)除了市值非常小的情況之外，國際價值股票的表現(xiàn)始終優(yōu)于國際成長股。對于投資組合經(jīng)理來說，這些發(fā)現(xiàn)告訴我們在哪個具體研究的時間區(qū)間內將國際市場上的價值股推薦給投資者比推薦成長股更能獲得有利的收益率。3.7離散度的度量正如著名的研究者費雪 布萊克（Fisher Black）所寫的，投資中的重要問題在于估計期望收益率。（布萊克（Black）（1993）。）很少有人會忽視投資中期望收益率或者平均收益率的重要性：平均收益率告訴我們收益率和投資的結果會集中出

48、現(xiàn)在哪里。然而為了完全地理解投資，我們也需要去了解收益率在均值附近的分散情況。離散度（dispersion）是反映集中趨勢附近變化程度的一個度量。如果平均收益率表示的是回報，那么離散度表達的就是風險。在這一節(jié)中，我們將考察最常用的離散度度量指標：極差、平均絕對偏差、方差和標準差。所有這些都是度量絕對離散度（absolute dispersion）的指標。絕對離散度是指不需要與任何參考點或基準進行比較而得到的反映數(shù)據(jù)變動程度的量。這些度量指標將在整個投資實踐中得到使用。收益率的方差和標準差經(jīng)常被用來作為風險的度量指標。這一方法最早起源于諾貝爾獎得主哈里?馬克維茨（Harry Markowitz）

49、的開創(chuàng)性工作。而另一位諾貝爾經(jīng)濟學獎得主威廉?夏普（William Sharpe）則提出了夏普比率，這是一個經(jīng)過風險調整后的業(yè)績度量指標。該指標利用了收益率的標準差作為風險的度量。其他度量數(shù)據(jù)離散度的指標平均絕對偏差和極差同樣也在數(shù)據(jù)分析中非常有用。3.7.1極差我們先前在討論構建頻數(shù)分布過程中就已經(jīng)遇到過極差。作為所有度量離散度指標中最簡單的指標，極差可以對區(qū)間型或者比率型數(shù)據(jù)進行計算。差的定義。極差（range）是指一個數(shù)據(jù)集中最大值與最小值之差。作為極差的一個例子，從1926年1月至2002年12月標準普爾500最大的月收益率為42.56%（出現(xiàn)在1933年4月），最小的收益率為-29.

50、73%（出現(xiàn)在1931年9月），因此收益率的極差為72.29%42.56%-(-29.73%)。另外一種代替極差定義的方法是報告最大值和最小值。這種替代的方法能比式（3-9)的定義提供更多的信息。極差的一個優(yōu)點在于計算簡單。而其缺點在于極差僅僅使用了分布中的兩個信息，它無法告訴我們數(shù)據(jù)是如何分布的（即分布的形狀是怎樣的）。因為極差是最大值和最小值之差，它只能反映出極端大和極端小的情況，而不能表現(xiàn)出分布總體的情況。（我們可能遇到的另一個度量離散度的距離指標為四分位距，它關注于數(shù)據(jù)的中間部分，而不是極端值。四分位距（interquartile range，IQR）是數(shù)據(jù)集中第3個和第1個四分位數(shù)之

51、差：IQR=Q3-Q1。IQR代表包括中間50%數(shù)據(jù)的區(qū)間長度。其他情況不變，四分位距越大則表示數(shù)據(jù)離散度越大。）3.7.2平均絕對偏差離散度的度量指標可以利用分布中所有的觀測值來進行計算，而不是僅僅使用最大和最小值。但問題是我們應該如何來度量離散度呢？我們最初關于算術平均數(shù)的討論中介紹了離開均值的距離或偏差的概念，并將其作為統(tǒng)計學中使用的一個基本信息。我們可以通過考察偏離均值偏差的算術平均來計算出度量數(shù)據(jù)離散度的指標，但是在這過程中我們遇到一個問題：偏離均值的偏差之和總是等于0。如果我們計算偏差的平均數(shù)的話，這個結果將同樣為0。因此，我們需要尋找一個將負的偏差值從正的偏差值中除去的方法。一種

52、方法為考察偏離均值的絕對偏差，以計算出平均絕對偏差值。平均絕對偏差計算公式（mean absolute deviation formula）。對于一個樣本的平均絕對偏差（mean absolute deviation，MAD）為：式中，X-表示樣本均值；n表示樣本中觀測值的數(shù)目。在計算MAD中，我們忽略了偏離均值偏差的符號。例如，如果Xi=-11.0且=4.5，差別的絕對值為。平均絕對偏差由于利用樣本中所有的觀測值，所以其比極差更適合作為度量離散度的指標。MAD的一個技術性缺陷在于它相對于我們下面介紹的度量指標方差，在數(shù)學上難以處理。（在一些分析性的工作中（如最優(yōu)化），對于微分的可積運算是重要

53、的。方差可以作為一個可微函數(shù)，而絕對值卻不行。）例3-10舉例介紹了如何利用極差和平均絕對偏差來對于風險進行度量。例3-10 極差和平均絕對偏差例3-7中我們已經(jīng)計算出了兩家共同基金的平均收益率?，F(xiàn)在分析師們將對于它們的風險進行評估?；诒?-15中所給出的數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）計算（A）SLASX和（B）PRFDX年收益率的極差，并基于所得極差說明哪一個共同基金的風險更大。（2）計算（A）SLASX和（B）PRFDX年收益率的平均絕對偏差，并基于所得的MAD說明哪一個共同基金的風險更大。解：（1）A.對于SLASX，最大收益率為20.3%，最小收益率為-17.0%。因此，極差為20.3-

54、(-17.0）=37.3%。B.對于PFRDX，極差為13.1-(-13.0）=26.1%。由于與PRFDX相比，SLASX有更大的收益率極差，因此，SLASX在19982002年間是風險更大的基金。（2）A.在例3-7中所計算出的SLASX算術平均收益率為3.54%。故SLASX收益率的平均絕對偏差值為B.在例3-7中所計算出的PRFDX算術平均收益率為2.94%。故PRFDX收益率的平均絕對偏差值為SLASX的MAD為14.1%，故其要比具有6.9%MAD的PRFDX的風險更大。3.7.3總體方差和總體標準差平均絕對偏差通過對于偏差值取絕對值再求和的方法，解決了偏離均值的偏差值之和為0的問

55、題。而第2種解決該問題的方法是將偏差值進行平方?；谄钪灯椒降姆讲詈蜆藴什罹褪莾蓚€應用最為廣泛的度量離散度的指標。方差定義為一個隨機變量與其均值偏差平方的平均值。標準差為方差正的平方根。下面我們對于方差和標準差的計算和應用進行討論。總體方差如果我們知道總體中的每一個元素，那么我們就可以計算出總體方差的值。總體方差是偏離均值偏差平方的算術平均數(shù)，我們用符號2來表示?？傮w方差計算公式（population variance formula）?？傮w方差（population variance）為式中，表示總體均值，而N表示總體的規(guī)模。如果給定總體均值，我們可以利用式（3-11)來計算偏離均值偏差的

56、平方和（這里，考慮了總體中所有N項），然后通過將平方和除以N來求得平均平方偏差。無論偏離均值的數(shù)值為正還是為負，偏差的平方總是一個正數(shù)。因此，方差通過對于偏差進行平方的操作，解決了偏離均值偏差中存在的負數(shù)的問題。之前給出的BJ、COST和WMT的市盈率分別為16.73、22.02和29.30。我們所算出的市盈率均值為22.68。因此，市盈率的總體方差為(1/3)(16.73-22.68)2+(22.02-22.68)2+(29.30-22.68)2=(1/3）（(-5.95)2+(-0.66)2+(6.62)2）=(1/3）（35.4025+0.4356+43.8244）=(1/3）（79.6

57、625）=26.5542?？傮w標準差因為方差是以單位的平方進行計量的，我們需要尋找一個將其回復到原來單位的方法。我們可以利用標準差，即方差的平方根來解決這個問題。標準差比起方差更加容易解釋，因為標準差所用的度量單位與觀測值是相同的?？傮w標準差計算公式（population standard deviation formula）?？傮w標準差（population standard deviation）定義為總體方差的正的平方根，具體為：式中，表示總體均值，N表示總體的規(guī)模。利用BJ、COST和WMT市盈率的例子，由式（3-12)，我們可以得到方差為26.5542。接著我們對其求平方根：或者約為5

58、.2。總體方差和總體標準差都是分布參數(shù)的例子。在后面的章節(jié)中，我們將會介紹作為風險度量指標的方差和標準差的概念。在投資活動中，我們經(jīng)常不知道所研究總體的均值，因為我們一般無法從總體中識別出每個元素或者對每一個元素進行計算。于是，我們需要通過從總體中抽取出的樣本均值來對于總體均值進行估計。我們可以利用與式（3-11)和式（3-12)不同的公式來計算出樣本方差和樣本標準差。我們將在之后的幾節(jié)中對這些計算方法進行討論。然而，在投資活動中，有時我們有一個定義良好的可以被視為總體的組類。對于良好定義的總體，我們就可以使用式（3-11)和式（3-12)來進行相應計算，具體如例3-11所示。例3-11 計算

59、總體標準差表3-20給出了組成2002年福布斯雜志榮譽榜的10家美國股票型基金的年度投資組合換手率。（福布斯雜志每年會選擇出滿足其榮譽榜特定標準的美國股票型共同基金。該標準與資本保值（在熊市中的表現(xiàn)）、管理持續(xù)性（基金必須聘用一個基金經(jīng)理不少于6年），投資分散化程度，可投資性（不滿足該要求的基金是指已經(jīng)對于新投資者關閉的基金）和稅后長期業(yè)績表現(xiàn)有關。）投資組合換手率是一個度量交易活動的指標，其值為一年中銷售值和購買值中的最小者除以該年的平均凈資產(chǎn)。福布斯榮譽榜上的數(shù)據(jù)和基金名稱每年都會發(fā)生變化?；诒?-20中的數(shù)據(jù)，回答下述問題：（1）利用2002年福布斯榮譽榜中的10大基金數(shù)據(jù)，計算區(qū)間投

60、資組合換手率的總體均值。（2）計算投資組合換手率的總體方差和總體標準差。（3）解釋本例中總體公式的使用原因。解：（1）（2）在=20.7的基礎上，我們可以計算。我們先計算表達式中的分子，再將其除以N=10。分子（偏離均值偏差的平方和）為(23-20.7)2+(8-20.7)2+(11-20.7)2+(18-20.7)2+(56-20.7)2+(29-20.7)2+(23-20.7)2+(13-20.7)2+(16-20.7)2+(10-20.7)2=1784.1因此，為了計算標準差（方差的單位是百分比的平方，因此標準差的單位是百分比。）（3）如果總體明確地定義為在特定一年（2002）福布斯榮譽