建立一次函數(shù)模型1 省賽獲獎-精講版課件

1、建立一次函數(shù)模型本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.31. 溫度的度量有兩種：攝氏溫度和華氏溫度.水的沸點溫度是100，用華氏溫度度量為212；水的冰點溫度是0，用華氏溫度度量為32 .已知攝氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān)系，你能不能想出辦法，方便地把華氏溫度換算成攝氏溫度？ 如果能求出換算公式就好了！探究 用C,F分別表示攝氏溫度與華氏溫度，由于攝氏溫度與華氏溫度的關(guān)系近似地為一次函數(shù)關(guān)系，因此可以設(shè) C = kF + b 如果能把系數(shù)k，b的值求出來，那么換算公式就求出來了.結(jié)論我們把k，b叫作待定系數(shù). 從七年級下冊的第2章“二元一次方程組”可知，求兩個未知數(shù)需要列兩個方程. C = kF +

2、 b 由已知條件，得212k + b = 100，32k + b = 0.-，得 180k = 100.解得代入式，得 解得因此攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系式為(B) 某地6月8日的最高氣溫為100華氏度，換算成攝氏溫度是多少？說一說10037.8 某地12月18日的最高氣溫為56華氏度，相當(dāng)于多少攝氏度？13.3 在上述例子中，由于我們求出了攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系式(B)，因此可以方便地把任何一個華氏溫度換算成攝氏溫度.小提示結(jié)論 像上述例子那樣，求出表示某個客觀現(xiàn)象的函數(shù)，稱為建立函數(shù)模型. 有了函數(shù)模型，就可以方便地解決這個客觀現(xiàn)象中的數(shù)量關(guān)系問題. C = kF + b結(jié)論 像上

3、述例子那樣，通過確定函數(shù)模型，然后列方程組求待定系數(shù)，從而求出函數(shù)的解析式，這種方法稱為待定系數(shù)法. C = kF + b 由于一次函數(shù)y=kx+b中有k和b兩個待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時需要根據(jù)兩個條件列二元一次方程組（以k和b為未知數(shù)），解方程組后就能寫出一次函數(shù)的解析式.函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b滿足條件的兩點(x1,y1),(x2,y2)一次函數(shù)的圖象直線l選取解出畫出選取例1 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點P(1，3)， Q(2，0)，求這個函數(shù)的解析式.舉例解設(shè)y=kx+b，由于兩點P，Q都在這個函數(shù)的圖象上.因此k + b = 3，2k + b = 0.解得 k=-3，b=6.因此所求

4、一次函數(shù)的解析式為y = -3x + 6.練習(xí)1. 把溫度84華氏度換算成攝氏溫度.解由攝氏溫度與華氏溫度的函數(shù)關(guān)系得解得 C28.9()因此，把溫度84華氏度換算成攝氏溫度為28.9度.2. 已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M(-1，5)，求這個函數(shù)的解析式.解設(shè)y=kx，由于點M在這個函數(shù)的圖象上.因此-k =5，解得 k=-5.因此所求函數(shù)的解析式為y = -5x .3. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點A(-1，3)，B(2，-5)，求這個函數(shù)的解析式.解設(shè)y=kx+b，由于兩點A，B都在這個函數(shù)的圖象上.因此-k + b = 3，2k + b = -5.因此所求一次函數(shù)的解析式為解得 k= ，b

5、= .y = x + .動腦筋1. 國際奧林匹克運動會早期，男子撐桿跳高的紀(jì)錄近似值由下表給出：年 份190019041908高度(m)3.333.533.73年 份190019041908高度(m)3.333.533.73 觀察這個表中第二行的數(shù)據(jù)，可以為奧運會的撐桿跳高紀(jì)錄與時間的關(guān)系建立函數(shù)模型嗎？ 上表中每一屆比上一屆的紀(jì)錄提高了0.2m，可以試著建立一次函數(shù)的模型. 用t表示從1900年起增加的年份，則在奧運會早期，男子撐桿跳高的紀(jì)錄y(m)與t的函數(shù)關(guān)系式為 y = kt + b(C) 由于t=0（即1900年）時，撐桿跳高的紀(jì)錄為3.33m，t=4（即1904年）時，紀(jì)錄為3.5

6、3m，因此 b = 3.33，4k + b =3.53.把 代入 ，得 4k +3.33=3.53.解得 k=0.05公式(D)就是奧運會早期男子撐桿跳高紀(jì)錄y與時間t的函數(shù)關(guān)系式.于是 y=0.05t+3.33.(D) 能夠利用上面得出的公式(D)預(yù)測1912年奧運會的男子撐桿跳高紀(jì)錄嗎？ y=0.0512+3.33=3.93(m).y=0.05t+3.33.(D) 1912年奧運會男子撐桿跳高紀(jì)錄的確約為3.93m.這表明用所建立的函數(shù)模型，在已知數(shù)據(jù)鄰近作預(yù)測，是與實際事實比較吻合的. 能夠利用公式(D)預(yù)測20世紀(jì)80年代，譬如1988年，奧運會男子撐桿跳高紀(jì)錄嗎？ y=0.0588+

7、3.33=7.73(m). 實際上，1988年奧運會的撐桿跳高紀(jì)錄是6.06m，遠低于7.73m.這表明用所建立的函數(shù)模型遠離已知數(shù)據(jù)作預(yù)測是不可靠的.結(jié)論練習(xí)1. 與同桌同學(xué)討論，為什么用公式(D)預(yù)測的1988年奧運會男子撐桿跳高紀(jì)錄高于實際紀(jì)錄？解遠離已知數(shù)據(jù)作預(yù)測是不可靠的.2. 小明在練習(xí)100m短跑，今年1月至4月份的100m短跑成績?nèi)缦卤硭荆涸路?234成績(s)15.615.415.215（1）你能為小明的100m短跑成績與時間的關(guān)系 建立函數(shù)模型嗎？解y = -0.2x +15.8月份1234成績(s)15.615.415.215（2）用所求出的函數(shù)解析式預(yù)測小明今年6月份

8、 的100m短跑成績.解y = 14.6(s)（3）能用所求出的解析式預(yù)測小明明年12月份 的100m短跑成績嗎？解不能 某一天，小明和小亮同時從家里出發(fā)去縣城，速度分別為2.5km/h，4km/h.小亮家離縣城25km，小明家在小亮去縣城的路上，離小亮家5km.探究（1）你能分別寫出小明、小亮離小亮家的距離 y(km)與行走時間t(h)的函數(shù)關(guān)系式嗎？小明離小亮家的距離y= .2.5t + 5小亮離自己家的距離 y = .4 t（2）在同一個直角坐標(biāo)系中，分別畫出上述兩 個函數(shù)的圖象，如圖2-17所示.y=4t.y=2.5t+5.P（3）你能從圖2-17看出，在出發(fā)后幾個小時小亮 追上小明嗎

9、？圖2-17 兩條射線的交點P的橫坐標(biāo)約為3.3，因此在出發(fā)后約3.3h小亮追上了小明.（4）你能從圖2-17看出，誰先到達縣城嗎？圖2-17 過點M(0，25)作射線l與橫線平行，它先與射線y=4t相交，這表明小亮先到達縣城. 在上面的第(3)個問題中，小亮追上小明的時間是圖2-17中兩條射線y=2.5t+5與y=4t的交點P的橫坐標(biāo).而交點P的坐標(biāo)是下述二元一次方程組的解：y = 2.5 t + 5，y = 4t .結(jié)論 這種解二元一次方程組的方法叫作圖象法. 上述例子就是通過在同一個直角坐標(biāo)系中，分別畫出y=2.5t+5與y=4t的圖象，求出交點坐標(biāo)，從而得出二元一次方程組的近似解.例2

10、 用圖象法求下述二元一次方程組的近似解.舉例3x + 4y = 7.6，2x + y= 4.4.先移項解從得，從得，y=-2x+4.4. 在同一個直角坐標(biāo)系里，分別畫出函數(shù) y= x+1.9與y=-2x+4.4的圖象，如圖2-18所示.它們的交點P的坐標(biāo)(2，0.4)就是原方程組的解.圖2-18 一般地，每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線. 綜上所述，一次函數(shù)與二元一次方程(組)有密切的聯(lián)系.小提示 從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)是何值； 從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點的坐標(biāo).動腦筋 既然一次函數(shù)與二元一

11、次方程組有密切的聯(lián)系，那么一次函數(shù)與一元一次不等式又有什么關(guān)系呢？ 任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b0(或0)的形式，而此式的左邊與一次函數(shù)y=ax+b一致，所以，我們可以從下面的兩種角度來看待“解一元一次不等式”的問題：（1）從函數(shù)值的角度看，就是要尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值 大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；（2）從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b在x軸上(或 下)方的所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.例3 用圖象法解不等式：舉例6x 8 3x + 1.解方法一 原不等式化為3x-90，畫出直線y=3x-9.顯而易見，當(dāng)x3時，y=3x-90，所以不等式的解集為x3.圖

12、2-19方法二 將原不等式的兩邊分別看作兩個一次函數(shù)，畫出直線y=6x-8與直線y=3x+1. 可以看出，它們的交點的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x3時，對于同一個x，直線y=6x-8上的點總在直線y=3x+1上相應(yīng)點的下方，這時6x-83x+1，所以不等式的解集為x3.圖2-20 雖然像上面那樣用一次函數(shù)圖象來解方程組或不等式未必簡單，但是從函數(shù)角度來看總是能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)、二元一次方程組、一元一次不等式之間的聯(lián)系；小提示 能直觀地看到怎樣用圖形來表示方程組的解與不等式的解，這種用函數(shù)觀點認(rèn)識問題的方法，對于繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要.練習(xí)1. 與同桌同學(xué)討論，從圖2-17能看出小亮比小明提前多少小時到達縣城嗎？解小亮比小明提前1.7小時到達縣城.圖2-172. 用圖象法求下述二元一次方程組的近似解：x + 2y = 4，3x - y= 4 .解從得，從得，y=3x-4.它們的交點P的坐標(biāo)(2，1)是原方程組的近似解.y1O21432-1-2-3-4xy=3x-4.3. 用圖象法解不等式：3