陜西省銅川一中2023學(xué)年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在三棱錐中，且分別是棱，的中點，下面四個結(jié)論：；平面；三棱錐的體積的最大值為；與一定不垂直.其中所有正確命題的序號是（ ）ABCD2已知點，點在曲線上運動，點為拋物線的焦點，則的最小值為（ ）ABCD43已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（ ）A3BCD4向量

2、，且，則（ ）ABCD5若，滿足約束條件，則的取值范圍為（ ）ABCD6已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）ABCD7若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（ ）AB2C1D38已知數(shù)列an滿足a1=3，且aA22n-1+1B22n-1-19若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解，則實數(shù)的最小值為（ ）ABCD10某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（ ）ABCD11已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（ ）ABCD12某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（ ）cm3ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)函數(shù)，則不等

3、式的解集為_14記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是.15已知向量，且向量與的夾角為_.16在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點在直線上.（）求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（）求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.18（12分）已知是圓：的直徑，動圓過，兩點，且與直線相切.（1）若直線的方程為，求的方程；（2）在軸上是否存在一個定點，使得以為直徑

4、的圓恰好與軸相切？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.19（12分）已知三點在拋物線上.（）當(dāng)點的坐標(biāo)為時，若直線過點，求此時直線與直線的斜率之積；（）當(dāng)，且時，求面積的最小值.20（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍21（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值22（10分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

5、要求的。1、D【答案解析】通過證明平面，證得；通過證明，證得平面；求得三棱錐體積的最大值，由此判斷的正確性；利用反證法證得與一定不垂直.【題目詳解】設(shè)的中點為，連接，則，又，所以平面，所以，故正確；因為，所以平面，故正確；當(dāng)平面與平面垂直時，最大，最大值為，故錯誤；若與垂直，又因為，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因為，所以顯然與不可能垂直，故正確.故選：D【答案點睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.2、D【答案解析】如圖所示：過點作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，則，利用均值不等式得到答案.【題目詳解】如圖所示

6、：過點作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，則，當(dāng)，即時等號成立.故選：.【答案點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、C【答案解析】設(shè),則,利用和求得,即可.【題目詳解】設(shè),則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.4、D【答案解析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算以及誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【題目詳解】故選：D【答案點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.5、B【答案解析】根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【題目詳解】畫出可行域

7、，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最小值5；經(jīng)過點時，取得最大值5，故.故選：B【答案點睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】解：命題p：x0，ln（x+1）0，則命題p為真命題，則p為假命題；取a=1，b=2，ab，但a2b2，則命題q是假命題，則q是真命題pq是假命題，pq是真命題，pq是假命題，pq是假命題故選B7、B【答案解析】根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【題目詳解】解：由已知得，經(jīng)檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.

8、【答案點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題8、D【答案解析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點：數(shù)列的通項公式9、A【答案解析】根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)的最小值【題目詳解】因為不等式有正整數(shù)解，所以，于是轉(zhuǎn)化為， 顯然不是不等式的解，當(dāng)時，所以可變形為令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時，故，解得故選：A【答案點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生

9、的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題10、B【答案解析】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積【題目詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【答案點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題11、B【答案解析】利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值【題目詳解】數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項公式得，即，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時，的最小值為.故選：

10、B【答案點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運算求解能力和分類討論思想，是中等題12、D【答案解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=221+121=（6+1.5）cm1故答案為6+1.5點睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】，所以，所以的解集為。點睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數(shù)進行分段處理，再得到的解析式，求得的分段函數(shù)解析式，再解不

11、等式即可。絕對值函數(shù)一般都去絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。14、【答案解析】試題分析：顯然，又，當(dāng)時，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而當(dāng)時，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是考點：不等式、簡單線性規(guī)劃.15、1【答案解析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可【題目詳解】解：向量，且向量與的夾角為，|；所以：（）2cos221，故答案為：1【答案點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題16、C【答案解析】根據(jù)確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計算得到答案.【題目詳解】由題意可得.因為，所以是異

12、面直線與所成的角，記為，故.故選：.【答案點睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標(biāo)方程為；（）16.【答案解析】(I)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換；(II)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【題目詳解】() 由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，因為直線的直角坐標(biāo)方程為：，又因曲線的左焦點為，將其代入中，得到，所以的極坐標(biāo)方程為 .（）設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點為，

13、所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為：，所以當(dāng)時，即時，橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16 .【答案點睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，極徑的應(yīng)用，考查學(xué)生的求解運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）或. （2）存在，；【答案解析】（1）根據(jù)動圓過，兩點，可得圓心在的垂直平分線上，由直線的方程為，可知在直線上；設(shè)，由動圓與直線相切可得動圓的半徑為；又由，及垂徑定理即可確定的值，進而確定圓的方程.（2）方法一：設(shè)，可得圓的半徑為，根據(jù)，可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設(shè)，可得的中點，進而由兩點間距離公式表示出半徑，表示出

14、到軸的距離，代入化簡即可求得的值，進而確定所過定點的坐標(biāo)；方法二：同上可得的軌跡方程為，由拋物線定義可求得，表示出線段的中點的坐標(biāo)，根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系，進而確定所過定點的坐標(biāo).【題目詳解】（1）因為過點，所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為，且，關(guān)于于坐標(biāo)原點對稱，所以在直線上，故可設(shè).因為與直線相切，所以的半徑為.由已知得，又，故可得，解得或.故的半徑或，所以的方程為或.（2）法一：設(shè)，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設(shè)，則得，的中點，則以為直徑的圓的半徑為：，到軸的距離為，令，化簡得，即，故當(dāng)時，式恒成立.所以存在定點，使得以為直徑的圓與軸相切.法二：設(shè)，

15、由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設(shè)，因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，點在拋物線上，所以，線段的中點的坐標(biāo)為，則到軸的距離為，而，故以為徑的圓與軸切，所以當(dāng)點與重合時，符合題意，所以存在定點，使得以為直徑的圓與軸相切.【答案點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，動點軌跡方程的求法，拋物線定義及定點問題的解法綜合應(yīng)用，屬于難題.19、（）；（）16.【答案解析】（）設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程，利用韋達定理以及斜率公式，變形可得；（）利用，的斜率，求得的坐標(biāo)，再用基本不等式求得的最小值，從而可得三角形的面積的最小值【題目詳解】解：（）設(shè)直線的方程為. 聯(lián)立方程組，得，故，. 所以；（）

16、不妨設(shè)的三個頂點中的兩個頂點在軸右側(cè)（包括軸），設(shè)，的斜率為，又，則， 因為，所以由 得，（且）從而當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號，從而，所以面積的最小值為.【答案點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合，屬于中檔題20、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【答案解析】（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實數(shù)的取值范圍【題目詳解】（1）當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，則，此時，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.當(dāng)時，即當(dāng)時，由，得，此時，函數(shù)為增函數(shù)；由，得

17、，此時，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；當(dāng)時，即時，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時，當(dāng)時，此時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，此時，函數(shù)為增函數(shù).此時，而，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時，所以，.，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵，屬于難題.21、（1）見解析（2）【答案解析】（1）根據(jù)平面，利用線面垂直的定義可得，再由，根據(jù)線面垂直的判定

18、定理即可證出.（2）取的中點，連接，以為坐標(biāo)原點，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個法向量，利用空間向量法即可求解.【題目詳解】因為平面平面，所以由為等腰直角三角形，所以又，故平面.取的中點，連接，因為，所以因為平面，所以平面所以平面如圖，以為坐標(biāo)原點，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則， 又，所以且于是 設(shè)平面的法向量為，則令得平面的一個法向量設(shè)直線與平面所成的角為，則【答案點睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角，屬于中檔題.22、（1）證明見解析；（2）【答案解析】（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可