平行四邊形和特殊的平行四邊形知識梳理+典型例題

1、 平行四邊形的性質(zhì)知識點(diǎn)一、概念1、定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)連成的線段是平行四邊形的對角線.理解：只有兩組對邊都平行時，四邊形才是平行四邊形，只要是兩組對邊分別平行的四邊形都是平行四邊形。2、平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線3、表示方法：用口表示平行四邊形，例如：平行四邊形ABCD記作口ABCD，讀作平行四邊形ABCD，字母注意同一方向，要按順時針或按逆時針，中間不能有跳躍。（順序性）【典型例題】【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)P作線段EF、GH分別平行于AB、BC，則圖中共有個平行四邊形?！纠?】如圖，在平行四邊形ABCD中，Z

2、A:ZB=2：7,則NC的度數(shù)是.【練習(xí)1】在-ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,如果AC=14,BD=8,AB=，那么的取值范圍是.【練習(xí)2】如圖，在平行四邊形ABCD中，NA=130,在AD上取DE=DC,則NECB的度數(shù)是（例1圖）（例2圖）（練習(xí)1圖）（練習(xí)2圖）知識點(diǎn)二、平行四邊形性質(zhì)定理平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)都是從邊、角、對角線、對稱性四個方面的特征進(jìn)行：（1）邊：平行四邊形兩組對邊分別平行且相等；（2）角：平行四邊形的對角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對角線：平行四邊形的對角線相互平分；（4）對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)。補(bǔ)充：若一條直線過平行四邊形的

3、兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中心，且這條直線二等分平行四邊形的面積。如右圖：有OE=OF,且四邊形AFED的面積等于四邊形FBCE的面積。知識點(diǎn)三、平行線之間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.如右圖，若直線ab,點(diǎn)A、B分別在直線a、b上，且AB，a,AB，b,則線段AB的長度叫做直線a與直線b之間的距離。平行線間的距離處處.知識點(diǎn)五、平行四邊形的面積、周長（1）S平行四邊形底邊長x高=ah（a是平行四邊形任何一邊長，h必須是a邊與其對邊的距離）。即如圖，有S=BCAE=A

4、DCFABCD（2）同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.（3）周長是四邊之和，一組鄰邊的2倍，即：C=2（AB+BC）【典型例題】TOC o 1-5 h z【例5】E為平行四邊形ABCD的一邊AD上任意一點(diǎn)，若EBC的面積為S1,平行四邊形ABCD的面積為S,則下列S與S1的大小關(guān)系中正確的是（）A.S=1SB.S1SD.無法確定21212B必【練習(xí)4】如圖，ABCD的周長是22cm,ABC的周長是17cm,則AC的長為（） HYPERLINK l bookmark2 A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm平行四邊形的判定一、平行四邊形的判定方法1、從邊上看（1）方法1：兩組對邊分

5、別平行的四邊形是平行四邊形。（定義）（2）方法2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（定理）（3）方法3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（定理）2、從對角線上看方法4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（定理）3、從角上看方法5：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（定理）識別文字語言圖形語言符號語右兩組網(wǎng)功分別平行的四邊啟超邛行四過慮匚出文）八14*ABCDtAD/BC工是千行四地形為如對動分別*的四邊形顯平等四過形A.日AB=CD5AD=BC二是平平四邊形一組對地平行旦陽等的叫邊照尼平F四口第門一一.CA曰=SD,AB48二是平行四j力彬0t角Qj對向俄相平分的四邊形是產(chǎn)行四邊形

6、口NABVoa=octob=od二是平平四四形、平行四邊形的判別方法的選擇:多邊形內(nèi)外角和知識點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念1、多邊形：在平面內(nèi)，由若干條不在同一直線的線段首尾順次相連所組成的封閉圖形叫做多邊形。2、對角線：多邊形中連接不相鄰兩個頂點(diǎn)的線段叫多邊形的對角線。3、正多邊形：在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等，邊也都相等的多邊形叫做正多邊形。知識點(diǎn)二：多邊形的對角線1、從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，作n-3條對角線，把n邊形分成n-2個三角形。n（n一3）2、n邊形共有條對角線。知識點(diǎn)三：多邊形的內(nèi)角和1、n邊形的內(nèi)角和=（n-2）180，其中n是3的整數(shù)。（n一2）180。sc360。2、正多邊形的每個內(nèi)角

7、和二或180。-nn。知識點(diǎn)四：多邊形外角和的概念及外角和定理1、多邊形的外角：多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫這個多邊形的外角，多邊形一個頂點(diǎn)處的內(nèi)角和外角互為補(bǔ)角。多邊形外角和定理：多變形的外角和都等于360。注：1、多邊形的外角和是一個定值，它與邊數(shù)無關(guān)；360b2、正多邊形的一個外角為?！咀⒁猓?、三角形是邊數(shù)最少的多邊形2、所有的正多邊形都是軸對稱圖形，正n邊形共有條對稱軸，邊數(shù)為數(shù)的正多邊形也是中心對稱圖形】知識點(diǎn)五：平面圖形的密鋪（或鑲嵌）1、定義：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌（密鋪）.理

8、解平面圖形的密鋪：（1）要用幾個形狀、大小完全相同的圖形不留空隙、不重疊地密鋪一個平面，需使得拼接點(diǎn)處的各角之和為360.（2）單一多邊形密鋪：任意三角形（6個）、四邊形（4個）、正六邊形（3個）可以密鋪；（3）單一正n邊形密鋪的條件：如果360除以正n邊形的一個內(nèi)角等于整數(shù),則可以單獨(dú)用它密鋪，即正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)能整除360.（4）平面鑲嵌的條件：各個頂點(diǎn)處內(nèi)角和恰好為360度（5）正多邊形鑲嵌：三角形，四邊形，正六邊形2、密鋪的方法：（1）用同一種正多邊形密鋪，可以用、或（2）用兩種正多邊形密鋪，組合方式有：和、和、和等幾種【注意：能密鋪的圖形在一個拼接處的特點(diǎn)：幾個圖形的內(nèi)角拼接在

9、一起時，其和等于并使相等的邊互相平合】分析數(shù)據(jù)正11邊形拼圖每個內(nèi)角的度數(shù)與360口的關(guān)系結(jié)論n=3*6X60=360能住嵌n=44XWT=3在能爆嵌n-5A3X108360不能鑲嵌口=63X120=360能搜微特殊的平行四邊形一個箱是直角一組鄰邊相等一個角是直佯直角梯形知識點(diǎn)一：矩形1、概念有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形2、性質(zhì)定理（1）矩形的四個角是直角（2）矩形的對角線相等且互相平分（3）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半特殊運(yùn)用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半3、判定定理（1）有一個角為直角的平行四邊形叫矩形（2）對角

10、線相等平行四邊形為矩形（3）有三個角是直角的四邊形是矩形推論：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形歸納補(bǔ)充：1、矩形是對稱圖形，對稱中心是，矩形又是對稱圖形，對稱軸有條2、矩形中常見題目是對角線相交成600或1200角時，利用直角三角形、等邊三角形等圖形的性質(zhì)解決問題3、矩形的面積S矩形長乂寬=26知識點(diǎn)二：菱形1、定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、性質(zhì)定理:（1）菱形的四條邊都相等（2）菱形的對角線互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角（3）菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是都是它的對稱軸菱形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心2、判定定理

11、：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（3）四條邊都相等的四邊形是菱形注意：對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，對角線互相垂直平分的四邊形才是菱形歸納補(bǔ)充：1、菱形被對角線分成四個全等的三角形和兩對全等的三角形2、菱形的面積可以用平行四邊形面積公式計(jì)算，也可以用兩對角線積的來計(jì)算3、菱形常見題目是內(nèi)角為1200或600時，利用等邊三角形或直角三角形的相關(guān)知識解決題目知識點(diǎn)三：正方形1、定義：有一組鄰邊相等的矩形叫正方形2、性質(zhì)定理（1）正方形的四條邊都相等，四個角是直角。（2）正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角（3）正方形既是中

12、心對稱圖形，又是軸對稱圖形3、判定定理（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形（2）對角線相互垂直的矩形是正方形（3）對角線相等的菱形是正方形（4）有一個角是直角的菱形是正方形方法總結(jié)：（1）判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。先證它是菱形，再證有一個角是直角。（2）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）注意：1、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，正方形具有以上特殊四邊形的所有性質(zhì)。這四者之間的關(guān)系可表示為：2、正方形也既是對稱圖形，又是對稱圖形，有條對稱軸3、幾種特殊四邊

13、形的性質(zhì)和判定都是從、三個方面來看的，要注意它們的區(qū)別和聯(lián)系4、正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形5、正方形的面積b2設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b，則S正方形2”知識點(diǎn)四、梯形1、定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形（上底，下底，腰）2、特殊的梯形：直角梯形：有一個角是直角的梯形等腰梯形：兩腰相等的梯形3、等腰梯形性質(zhì)：（1）等腰梯形同一底邊上的兩個底角相等（2）等腰梯形的對角線相等4、等腰梯形的判定：1）證明兩腰相等2）同一底邊上兩個底角相等的梯形是等腰梯形5、面積：面積=（上底+下底）高26、關(guān)注：梯形中常見的

14、幾種輔助線的畫法對角線相等的梯形是等腰梯形，但不能作為定理.補(bǔ)充：梯形的中位線定理，尤其關(guān)注其證明方法.梯形中位線定理：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。注：已知中位線長度和高，就能求出梯形的面積.中位線在關(guān)于梯形的各種題型中都是一條得天獨(dú)厚的輔助線。典型例題題型一菱形的性質(zhì)【例1】如圖，在菱形ABCD中，M,N分別在AB,CD上，且AM=CN,MN與AC交于點(diǎn)0,連接BO.若NDAC=28,則N0BC的度數(shù)為（）A.28B.52C.62D.72【鞏固1】菱形ABCD中，AE垂直平分BC,垂足為E,AB4cm.那么，菱形ABCD的面積是對角線

15、BD的長是.（例1圖）（鞏固1圖）【鞏固2】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DHLAB于H,連接OH,求證：NDHO=NDCO.題型二、菱形的判定【例2】如圖，在ABC中，AB=AC,NB=60,NFAC、NECA是ABC的兩個外角，AD平分NFAC,CD平分NECA.求證：四邊形ABCD是菱形.【鞏固】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EFXAC交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,連接AE、CF.則四邊形AECF是（）A.梯形B.矩形B.菱形D.正方形題型三矩形的性質(zhì)TOC o 1-5 h z【例3】矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A.兩組對邊

16、分別平行B.對角線相等C.對角線互相平分D.兩組對角分別相等【鞏固1】矩形的兩條對角線所成的鈍角是120,若一條對角線的長為2,那么矩形的周長為（） HYPERLINK l bookmark12 A、6B、5.8C、2（1+飛1r3）D、5.2【鞏固2】如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是SrS2的大小關(guān)系是（）A.S1S2B.S1=S2C.S1Vs2D.3sl=2S2題型四：矩形的判定【例4】如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF.（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由;（2）當(dāng)4ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由.題型五直角三角形斜邊中線定理【例5】如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，若AB=5,AD=12,則四邊形ABOM的周長為題型六矩形的翻折問題【例6】如圖，將矩形紙ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一