矩陣與向量組的秩課件

1、第二章 第3節(jié) 向量組與矩陣的秩矩陣的秩 2.向量組的秩.定義求秩.初等行變換求秩.應(yīng)用（即矩陣的初等行變換的應(yīng)用）.定義 .怎樣求.兩者之間的關(guān)系.判斷向量組是否線性相關(guān).求向量組的秩.求極大的線性無(wú)關(guān)組概念：極大線性無(wú)關(guān)組定義及其求法、向量組的秩、等價(jià)向量組；判斷向量組是否線性相關(guān)的方法；本節(jié)所學(xué)與解線性方程組有何關(guān)聯(lián)？矩陣的子式 （P46） 是A的一個(gè)三階子式，它由A的第2，4，6行與第1，5，7列交叉處的元素所構(gòu)成。1. 矩陣的秩 Rank（P49定義2.6） 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式D，且所有的r+1階子式（若存在的話）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為

2、矩陣A的秩，記作 特殊的，若矩陣A為n階方陣，且稱A為滿秩矩陣（Full Rank Matrix）否則稱為降秩矩陣規(guī)定零矩陣的秩等于01. 矩陣的秩 Rank例1求矩陣A的秩解在A中，容易看出一個(gè)2階子式A的三階子式只有一個(gè)經(jīng)計(jì)算可知因此R（A）=2。例2求矩陣B的秩解：B是個(gè)階梯形矩陣，其非零行有3行，即知B的所有4階子式全為零。而以三個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的3階行列式因此R（B）=3P53例題2.6上面一行 矩陣A的秩等于A經(jīng)過(guò)初等行變換所得行階梯型矩陣的非零行的行數(shù).行最簡(jiǎn)型矩陣（Row Reduced Echelon Matrix）非零行的第一個(gè)非零元素為1，且這些非零元1所在

3、列的其他元素都為零的行階梯型矩陣?yán)}：初等行變換求矩陣的秩下一問(wèn)題：向量組的秩定義2.8 （P54） 極大（最大）線性無(wú)關(guān)組 設(shè)有向量組T，如果在T中能選出 個(gè)向量滿足(1)向量組線性無(wú)關(guān)，（2）向量組T中任意個(gè)（如果有的話）都線性相關(guān)，則稱是向量組T的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組 向量組中任一向量都可由極大無(wú)關(guān)組線性表示。Maximal Linearly Independent Systems什么是向量組的秩？ 向量組S的極大無(wú)關(guān)組含有向量的個(gè)數(shù)稱為S的秩，記為規(guī)定只含零向量的向量組的秩為零矩陣的秩與構(gòu)成該矩陣的向量組的秩之間的關(guān)系是什么？ 矩陣的秩等于它的行（列）向量組的秩。定理2.

4、7（P54）矩陣的行秩和列秩 矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩，A的列向量組的秩稱為A的列秩。問(wèn)題： 如何求得這個(gè)向量組的秩的同時(shí)，又能求得該向量 組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并且能將向量組中的每一個(gè)向量用極大線性無(wú)關(guān)組線性表示出來(lái)？即初等行變換（矩陣的秩）的一個(gè)應(yīng)用：根據(jù)： 如果只對(duì)一個(gè)矩陣的行作初等變換，則矩陣的列向量 組（及其任意部分組）的相關(guān)性不會(huì)改變。辦法： 只需以該向量組為列擺成一個(gè)矩陣，再用行的初等 變換化簡(jiǎn)該矩陣就是。五星級(jí)重要反之，由于P是可逆的，所以由（2）式可推出（1）式。因此，A與B的列向量有相同的線性關(guān)系，所以矩陣的初等行（列）變換不改變它的列（行）向量之間的線性關(guān)系，同時(shí)也

5、不改變矩陣的秩。練習(xí) 求向量組的秩和一個(gè)極大的線性無(wú)關(guān)組，其他向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。求向量組的秩和一個(gè)極大的線性無(wú)關(guān)組，其他向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。定理2.4推論1推論2 m個(gè)n維向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它們組成的推論3 n個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是它們組成的矩陣行列式不等于零。矩陣的秩（初等行變換）的一個(gè)應(yīng)用：判斷向量組的線性 相關(guān)性。例2.4（P51）：討論下列向量組的線性相關(guān)性故三個(gè)向量線性相關(guān)例2.4（P51）：討論下列向量組的線性相關(guān)性故兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)定理2.5 矩陣A的秩等于r的充要條件是 A中有r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，但任意r+1個(gè)行向量（如果存在）都線性相

6、關(guān)。兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。向量組的線性表示如果向量組的每一個(gè)向量都可以由向量組線性表示，則稱向量組可以由向量組線性表示判別向量組線性相關(guān)的其他方法引理2.1如果向量組可以由向量組線性表示，且則向量組線性相關(guān)。向量組的等價(jià) 如果向量組A 可由向量組B線性表示，且B可由A線性表示，則稱A與B等價(jià)。相互等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同的向量個(gè)數(shù) 性質(zhì)（1） 自反性：任何向量組都與自身等價(jià)。 如果向量組A與B 等價(jià)，則B與A等價(jià)。（2） 對(duì)稱性：（3） 傳遞性：如果向量組A與B等價(jià)，B與C等價(jià)，則A與C等價(jià)。兩個(gè)等價(jià)的向量組秩相等 作業(yè)：P71 1（4） 2（3） P73 9（3） 可做的跟蹤練習(xí) ：1（