高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)WTDstandardizationoffice【W(wǎng)TD5AB-WTDK08-WTD2C】高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向；平行：=0；范圍：0180。2、斜率：找k：k=tan90；垂直：斜率k不存在；范圍：斜率kR。3、斜率與坐標(biāo)：12122121tanxxyyxxyyk-=-=構(gòu)造直角三角形數(shù)形結(jié)合；斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無關(guān)；注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。4、直線與直線的位置關(guān)系：222111:,:bxkylbxkyl+=+=相交：斜率21kk前提是斜率都存在特例-垂直時(shí)：0211=kk

2、xl不存在，則軸，即；斜率都存在時(shí)：121-=?kk。平行：斜率都存在時(shí)：2121,bbkk=；斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x軸垂直。重合：斜率都存在時(shí)：2121,bbkk=；二、方程與公式：1、直線的五個(gè)方程：點(diǎn)斜式：)(00 xxkyy-=-將已知點(diǎn)kyx與斜率),(00直接帶入即可；斜截式：bkxy+=將已知截距kb與斜率),0(直接帶入即可；兩點(diǎn)式：),(2121121121yyxxxxxxyyyy-=-其中，將已知兩點(diǎn)),(),(2211yxyx直接帶入即可；截距式：1=+byax將已知截距坐標(biāo)),0(),0,(ba直接帶入即可；一般式：0=+CByAx，其中A、B不同時(shí)為0用得比擬多

3、的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3、距離公式：兩點(diǎn)間距離：22122121)()(yyxxPP-+-=點(diǎn)到直線距離：2200BACByAxd+=平行直線間距離：2221BACCd+-=4、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)),(),(2211yxByxAAB中點(diǎn)),(00yx：)2,2(2121yyxx+AB三分點(diǎn)),(),(2211tsts：)32,32(2121yyxx+靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo))32,32(2121yyxx+靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見于大題難題。5.直

4、線的對(duì)稱性問題已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱:設(shè)這個(gè)點(diǎn)為Px0，y0,對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為Px，y，則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。三、解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：1、解析法坐標(biāo)法：建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)代數(shù)關(guān)系點(diǎn)在直線或曲線上，進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果；將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證實(shí)。2、動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問題：PBPA+的最小值：找對(duì)稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示：PBPA-的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊；22PBPA+的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸。3、直線必過點(diǎn)：含有一個(gè)參數(shù)-y=

5、(a-1)x+2a+1=y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0=必過點(diǎn)(-2,3)含有兩個(gè)參數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=必過點(diǎn)(-1/7,3/7)4、易錯(cuò)辨析：討論斜率的存在性：解題經(jīng)過中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時(shí)，能否知足題意；斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有如何關(guān)系。注意“截距可正可負(fù)，不能“錯(cuò)以為截距就是距離，會(huì)丟解；求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見。直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況：直線與兩定點(diǎn)所在直線平行；直線過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。圓的方程1.定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周

6、所構(gòu)成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱為圓的圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.2.圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程022=+FEyDxyx其中圓心?-2,2EDC，半徑2422FEDr-+=.當(dāng)0422FED-+時(shí)，方程表示一個(gè)圓，當(dāng)0422=-+FED時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)?-2,2ED.當(dāng)0422FED-+時(shí)，方程無圖形.第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程222)()(rbyax=-+-.其中點(diǎn)),(baC為圓心，r為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：?+=+=sincosrbyrax為參數(shù)注：圓的直徑方程：已知0)()(),(),(21212211=-+-?yyyyxxxxyxByxA3.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定

7、點(diǎn)),(00yxM及圓222)()(:rbyaxC=-+-.M在圓C內(nèi)22020)()(rbyax-+-?M在圓C上22020)()rbyax=-+-?M在圓C外22020)()(rbyax-+-?4.直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓C：)0()()(222rrbyax=-+-；直線l：)0(022+=+BACByAx；圓心),(baC到直線l的距離22BACBbAad+=.rd=時(shí)，l與C相切；rd時(shí)，l與C相交；，rd時(shí)，l與C相離.5、圓的切線方程：一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.十分地，過圓222ryx=+上一點(diǎn)),(00yxP的切線方程為2

8、00ryyxx=+.(注:該點(diǎn)在圓上，則切線方程只要一條)若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則?+-=-=-1)()(2110101RxakybRxxkyy，聯(lián)立求出?k切線方程.注：過圓外的點(diǎn)引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只要一個(gè)解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。6.圓系方程：過兩圓的交點(diǎn)的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0過兩圓的交點(diǎn)的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E

9、2y+F2=0兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程7.與圓有關(guān)的計(jì)算：弦長(zhǎng)的計(jì)算：AB=2*R2-d2其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=1+k2*X1-X2其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個(gè)根過圓內(nèi)的一點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是垂直于過圓心的直線圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑8.圓的一些最值問題圓上的點(diǎn)到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)距離=圓心到直線的距離加上半徑假設(shè)Px，y是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則x-a/y-b的最值能夠轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與該點(diǎn)a，b的斜率問題，即先求過該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設(shè)Px，y是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則求x+

10、y或x-y的最值能夠轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(diǎn)(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。9.圓的對(duì)稱問題已知圓關(guān)于已知的直線對(duì)稱，則對(duì)稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對(duì)稱后得到的圓心坐標(biāo)即可。若某條直線無論其怎樣移動(dòng)都能平分一個(gè)圓，則這個(gè)直線必過某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)圓錐曲線橢圓橢圓：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離的點(diǎn)的集合1、定義：12122(2)PFPFaaFF+=第二定義：(01)PFceeda=或22221(0)yxabab+=；3、參數(shù)方程cossinxayb=?=?為參數(shù)幾何意義：離心

11、角4、幾何性質(zhì)：只給出焦點(diǎn)在x軸上的的橢圓的幾何性質(zhì)、頂點(diǎn)(,0),(0,)ab、焦點(diǎn)(,0)c、離心率(01)ceea=；相切0?=斷定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判定根的個(gè)數(shù)8、橢圓切線的求法1切點(diǎn)00 xy已知時(shí)，22221(0)xyabab+=切線00221xxyyab+=22221(0)yxabab+=切線00221yyxxab+=2切線斜率k已知時(shí)，22221(0)xyabab+=切線ykx=22221(0)yxabab+=切線ykx=9、焦半徑：橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離22221(0)xyabab+=0raex=左加右減22221(0)yaabab+=0raey=下加上減

12、雙曲線1、定義：122PFPFa-=第二定義：(1)PFceeda=2、標(biāo)準(zhǔn)方程：22221(0,0)xyabab-=焦點(diǎn)在x軸22221(0,0)yxabab-=焦點(diǎn)在y軸參數(shù)方程：sectanxayb=?=?為參數(shù)用法：可設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(sec,tan)ab3、幾何性質(zhì)頂點(diǎn)(,0)a焦點(diǎn)(,0)c222cab=+離心率cea=1e準(zhǔn)線2axc漸近線22221(0,0)xyabab-=byxa=或22220 xyab-=22221(0,0)yxabab-=byxa=或22220yxab-=4、特殊雙曲線、等軸雙曲線22221xyaa-=e=漸近線yx=、雙曲線22221xyab-=的共軛雙

13、曲線22221xyab-=-性質(zhì)1：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線性質(zhì)2：雙曲線與其共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關(guān)系相離0?斷定直線與雙曲線位置關(guān)系需要與漸近線聯(lián)絡(luò)一起0?=時(shí)能夠是相交可以以是相切6、焦半徑公式22221(0,0)xyabab-=點(diǎn)P在右支上0rexa=左加右減點(diǎn)P在左支上0()rexa=-左加右減22221(0,0)yxabab-=點(diǎn)P在上支上0reya=下加上減點(diǎn)P在上支上0()reya=-下加上減7、雙曲線切線的求法切點(diǎn)P00(,)xy已知22221(0,0)xyabab-=切線00221xxyyab-=22221(0,0)yxabab-=切線

14、00221yyxxab-=切線斜率K已知22221xyab-=222()bykxakbka=-8、焦點(diǎn)三角形面積：122cot2PFFSb=?為12FPF拋物線1、定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線的距離相等的點(diǎn)的集合軌跡2、幾何性質(zhì)：P幾何意義：焦準(zhǔn)距焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離設(shè)為P標(biāo)準(zhǔn)方程：22(0)ypxp=22(0)ypxp=-圖像：范圍：0 x0 x對(duì)稱軸：x軸x軸頂點(diǎn)：0，00，0焦點(diǎn)：,02p,02p-離心率：1e=1e=準(zhǔn)線：2px=-2px=標(biāo)準(zhǔn)方程：22(0)xpyp=22(0)xpyp=-圖像：范圍：0y0y對(duì)稱軸：y軸y軸定點(diǎn)：0，00，0焦點(diǎn)：0，2p(0,)2p-離心率：1e=1

15、e=準(zhǔn)線：2py=-2py=3、參數(shù)方程222xptypt?=?=?t為參數(shù)方程?22(0)ypxp=4、通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦橢圓：雙曲線通徑長(zhǎng)22ba拋物線通徑長(zhǎng)2P5、直線與拋物線的位置關(guān)系1相交有兩個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)2相切有一個(gè)交點(diǎn)；3相離沒有交點(diǎn)6、拋物線切線的求法1切點(diǎn)P00(,)xy已知：22(0)ypxp=的切線；00()yypxx=+2切線斜率K已知：22(0):2pypxpykxk=+此類公式填空選擇或解答題中部分可作公式直接應(yīng)用附加：弦長(zhǎng)公式：ykxb=+與曲線交與兩點(diǎn)A、B則解題指導(dǎo)：軌跡問題：(一)求軌跡的步驟1、建模：設(shè)點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)px，

16、y2、立式：寫出適條件的p點(diǎn)的集合3、代換：用坐標(biāo)表示集合列出方程式fx，y=04、化簡(jiǎn)：化成簡(jiǎn)單形式，并找出限制條件5、證實(shí)：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上二求軌跡的方法1、直接法：求誰設(shè)誰，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關(guān)系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉(zhuǎn)移代入法：適用于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一曲線上的動(dòng)點(diǎn)變化問題4、交軌法：適用于求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡問題。用一個(gè)變量分別表示兩條動(dòng)直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個(gè)變量分別表示所求軌跡上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數(shù)法，找到軌跡方程。弦長(zhǎng)問題：|A

17、B|=4)(k1(212212xxxx-+。弦的中點(diǎn)問題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式-注意應(yīng)用判別式。.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。例11994年全國(guó)已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A-1，0和點(diǎn)B0，8關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，能夠用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為A/、B/，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：A/12,11222+-+-kkkk，B/1)1(8,116222+-+kkkk。由于A/、B/均在拋物線上，代入，

18、消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=251+,p=552.所以直線L的方程為：y=251+x,拋物線C的方程為y2=554x.2曲線的形狀未知-求軌跡方程例31994年全國(guó)已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q2，0和圓C：x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)0,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并講明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識(shí)可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng)1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。.研究圓錐曲線有關(guān)的問題1有關(guān)最值問題例6(1990年全國(guó))設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x上，離心率，已知點(diǎn)P0，23到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：最值問題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。設(shè)橢圓方程為12222=+byax，則由e=23得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設(shè)Q(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則:|PQ|=22)23(-+yx=49433)23(4422222+-=-+-byy