2021年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、 5/52021年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案 絕密啟用前 2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷2） 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上。 2回答第I卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。 3回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。 4考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的。 （1）已知集

2、合A=-2，-1,0，1,2，B=x|（X-1）（x+2）0,則AB=（）（A）-1,0（B）0,1（C）-1,0,1（D）,0,，1，2 （2）若a為實(shí)數(shù)且（2+ai）（a-2i）=-4i,則a=（） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 （3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是( ) （A）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 （B ） 2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn) （C ） 2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 （D ） 2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) （4）等比數(shù)列a n 滿足a

3、 1=3，135a a a + =21，則357a a a += ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （5）設(shè)函數(shù)211log (2),1, ()2,1, x x x f x x -+-時(shí)， ()()0 xf x f x -成立的x 的取值范圍是 A (,1)(0,1)- B (1,0)(1,)-+ C (,1)(1,0)- D (0,1) (1,)+ 二、填空題 （13）設(shè)向量a ，b 不平行，向量a b +與2a b +平行，則實(shí)數(shù)=_ （14）若x ，y 滿足約束條件1020,220,x y x y x y -+? -?+-? ， ，則z x y =+的最大值

4、為_ （15）4 ()(1)a x x +的展開式中x 的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a =_ （16）設(shè)n S 是數(shù)列n a 的前n 項(xiàng)和，且11a =-，11n n n a S S +=，則n S =_ 三解答題 （17）?ABC 中，D 是BC 上的點(diǎn)，AD 平分BAC ，?ABD 是?ADC 面積的2倍。 ()求 C B sin sin ; () 若AD =1，DC = 2 2 求BD 和AC 的長. (18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A ，B 兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下： A 地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53

5、76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）； （）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級： 記時(shí)間C ：“A 地區(qū)用戶的滿意度等級高于B 地區(qū)用戶的滿意度等級”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C 的概率 19（本小題滿分12分） 如

6、圖，長方體ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，點(diǎn)E ，F(xiàn) 分別在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，過點(diǎn)E ，F(xiàn) 的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。 （1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）； （2）求直線AF 與平面所成的角的正弦值。 20（本小題滿分12分） 已知橢圓C ：2229(0)x y m m +=，直線l 不過原點(diǎn)O 且不平行于坐標(biāo)軸，l 與C 有兩個(gè)交點(diǎn)A ，B ，線段AB 的中點(diǎn)為M 。 （1）證明：直線OM 的斜率與l 的斜率的乘積為定值； （2）若l 過點(diǎn)(,)3 m m ，

7、延長線段OM 與C 交于點(diǎn)P ，四邊形OAPB 能否為平行四邊形？若能， 求此時(shí)l 的斜率；若不能，說明理由。 21（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù)2()mx f x e x mx =+-。 （1）證明：()f x 在(,0)-單調(diào)遞減，在(0,)+單調(diào)遞增； （2）若對于任意12,1,1x x -，都有12|()()|1f x f x e -，求m 的取值范圍。 請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)請寫清題號 22（本小題滿分10分） 選修4 - 1：幾何證明選講 如圖，O 為等腰三角形ABC 內(nèi)一點(diǎn)，O 與ABC 的底邊BC 交 于M ，N 兩點(diǎn)，

8、與底邊上的高AD 交于點(diǎn)G ，且與AB ，AC 分別相切于E ，F(xiàn) 兩點(diǎn)。 （1）證明：EF BC ； （2）若AG 等于O 的半徑，且AE MN =EBCF 的面積。 23（本小題滿分10分） 選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C 1：cos sin x t y t =?=? （t 為參數(shù)，t 0），其中0 cd （2| -=，所以當(dāng)l 的斜率為4 4OAPB 為平行四 邊形 （21）解： （）()(1)2mx f x m e x =-+ 若0m ，則當(dāng)(,0)x -時(shí)，10,()0mx e f x - 若0m 所以，()f x 在(,0)-單調(diào)遞減，在(0,)+

9、單調(diào)遞增 （）由（）知，對任意的,()m f x 在-1，0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)遞增，故()f x 在0 x =處取得最小值，所以對于任意1212,1,1,|()()|1x x f x f x e -的充要條件是 (1)(0)1, (1)(0)1, f f e f f e -? -? 即 1, 1, m m e m e e m e -?-?+-? 設(shè)函數(shù)()1t g t e t e =-+，則()1t g t e =- 當(dāng)0t 時(shí)，()0g t ，故()g t 在(,0)-單調(diào)遞減，在(0,)+單 調(diào)遞增。 又1(1)0,(1)20g g e e -=-=+-時(shí)，由()g t 的單調(diào)性，()

10、0g m ，即1m e m e -； 當(dāng)1m ，即1m e m e -+- 綜上，m 的取值范圍是-1,1 （22）解： （）由于ABC 是等腰三角形，AD BC ，所以AD 是CAB 的平分線 又因?yàn)镺 分別與AB ，AC 相切于點(diǎn)E ，F(xiàn) ，所以AE AF =，故AD EF 從而/EF BC （）由（）知，AE AF =，AD EF ，故AD 是EF 的垂直平分線.又EF 為 O 的弦，所以O(shè) 在AD 上 連結(jié),OE OM ，則OE AE 由AG 等于 O 的半徑得2AO OE =，所以30OAE =，因 此ABC 和AEF 都是等邊三角形 因?yàn)锳E =4,2AO OE = 因?yàn)?2,2OM OE DM MN = =1OD =，于是5,3 AD AB = 所以四邊形EBCF 的面積為 221122?=（23）解： （）曲線2C 的直角坐標(biāo)方程為22 20 x y y +-=，曲線3C 的直角坐標(biāo)方程為220 x y +-=. 聯(lián)立2 2 22 20,0 x y y x y ?+-=?+-=? 解得0,0,x y =?=? 或3.2 x y ?=? ?=? 所以