北京科技大學(xué)材料力學(xué)課件第六章

1、第六章 彎曲變形材料力學(xué) 對機器中的零件或部件以及土木工程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計時，需滿足強度要求+剛度要求。為此，必須分析和計算梁的變形。 另一方面，某些機械零件或部件，則要求有較大的變形，以減少機械運轉(zhuǎn)時所產(chǎn)生的振動。汽車中的鈑簧即為一例。這種情形下也需要研究變形。 此外，求解靜不定梁，也必須考慮梁的變形以建立補充方程。 本章將在上一章得到的曲率公式的基礎(chǔ)上，建立梁的撓度曲線微分方程；進(jìn)而利用微分方程的積分以及相應(yīng)的邊界條件確定撓度曲線方程。 在此基礎(chǔ)上，介紹工程上常用的計算梁變形的疊加法。 此外，還將討論簡單的靜不定梁的求解問題。 在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)

2、過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflection curve）。 梁的曲率與位移 彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系： 梁的曲率與位移 梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分： 橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection)； 變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope)； 橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontal displacement）。 在小變形情形下，上述位移

3、中，水平位移與撓度相比為高階小量，故通常不予考慮。 梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：y 與 y 軸同向為正1.撓度: 梁軸線的豎向位移- 撓曲線方程AyxBCCPBy6-2 撓曲線的微分方程2.轉(zhuǎn)角: 截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角-轉(zhuǎn)角位移方程 逆時針轉(zhuǎn)為正3.y與 的關(guān)系:tg = ytg (小變形)CBAxyyBCP = y4.梁的撓曲線近似微分方程(任一截面x點的彎矩和曲率的關(guān)系)上任一點的曲率)-（1）力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式1 0y 0yxM 0y 0MMyx (3)（近似撓曲線微分方程） 當(dāng)梁內(nèi)彎矩分段、

4、材料不同、截面不同，梁的近似撓曲線微分方程必須分段表示。積分法一般步驟為：6-3 用積分法求彎曲變形（近似撓曲線微分方程）一次積分得(轉(zhuǎn)角方程)：再次積分得(撓度方程)：其中：C(k), D(k)為積分常數(shù)，如梁的近似撓曲線微分方程分n段，則共有2n個積分常數(shù)，需要用積分定解條件確定。6-3 用積分法求彎曲變形1、邊界條件積分定解條件待定積分常數(shù)由梁的邊界條件與連續(xù)條件確定。邊界條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：（1）在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：y=0;（2）在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：y=0，0。1、邊界條件例1：懸臂梁zyyxx邊界條件RARBlabPAC

5、B例2：簡支梁邊界條件例3：具有彈簧約束的簡支梁，設(shè)彈簧剛度為k邊界條件RARBlabPACB2、連續(xù)條件：在分段的交界處，由于連續(xù)性，兩段方程在一截面的撓度和轉(zhuǎn)角相等。RARBlabPACB連續(xù)條件例4：簡支梁例5：具有中間鉸鏈約束的懸臂簡支梁邊界條件qabACB連續(xù)條件分析：需要分成兩部分，因此有4個待定的積分常數(shù)例 題 求：加力點B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。 已知：簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。 解：1 確定梁約束力 首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。 AB段 2 分段建立梁的彎矩方程BC段 AB和BC兩段的彎矩方程分別為 解： 3將彎矩表

6、達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分 積分后，得 其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。 解： 4利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x0， w10; xl， w20 因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2解： 4利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) x0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2D1D2 =0解： 5確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角 將所得的積分常數(shù)代

7、入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為： AB段 BC段 據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為 確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程 微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié) 分段寫出彎矩方程 梁的小撓度微分方程及其積分 第6章 梁的位移分析與剛度問題 例題：計算圖示懸臂梁的最大轉(zhuǎn)角和撓度。已知梁的抗彎剛度為EIz。解：（1）建立梁的彎矩方程zyyxx一次積分：（2)建立梁的近似撓曲線微分方程并積分二次積分得：（3) 利用約束條件確定積分常數(shù)邊界條件zyyxx 將代入62l+2,)3(z3xl

8、xEI-qxy-= (a)得 將 代入(b)得（4) 確定撓度與轉(zhuǎn)角方程（5）確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角把 x = l 代入(a)(b)得：62l+2,)3(z3xlxEI-qxy-= (a)(b)小結(jié)：yxPABy撓曲線，y= y(x)彎曲變形截面形心的豎向位移 y撓度轉(zhuǎn)角截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度1、梁變形的特征公式應(yīng)用的條件:1)材料服從虎克定律；2)小變形，忽略剪力對撓度的影響；小結(jié)： 2、撓曲線近似微分方程作業(yè)：6-1，6-4(a), 6-8(a) 對于線性系統(tǒng)，各變量是關(guān)于系統(tǒng)的線性函數(shù)。則其解可以線性疊加。P2ABP1ABP1P2AB=+1、疊加法（superposition metho

9、d）的基本概念如果方程和均為線性則：6-4 用疊加法求彎曲變形2、疊加法求彎曲變形 疊加法應(yīng)用于多個載荷作用的情形 疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷單獨作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時作用的結(jié)果。 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 疊加法應(yīng)用于多個載荷作用的情形 已知：簡支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC ；B截面的轉(zhuǎn)角B。例 題 解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。解：2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。解：3.

10、 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加 將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角: 解：例題 求梁的撓度和轉(zhuǎn)角，yc,A。aaP = q aABqCaaABqCaaABCP=+ 對于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。 疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形 已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。 求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C。例 題 組合方法一：增減載荷法BA解：1. 首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形 BA

11、解：2再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形BA解：2計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角 BA解：2計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角 CB解：3將簡單載荷作用的結(jié)果疊加 將桿件系統(tǒng)分解為n段，分n次變形。假設(shè)每次只有一段變形，其它段均作為剛性處理（可以使用剛性體的力學(xué)原理），然后進(jìn)行疊加，求得變形量。組合方法二：逐段剛化法方法：先假設(shè) BC 段剛性，只有 AB 段變形再考慮 BC 段的變形 ( AB 段剛性 )ABCBACCAB=+牽帶位移例3 求圖示懸臂梁的 yc組合方法三：等價積分法積分ABCCxdx例4 求圖示懸臂梁的 yc先取微分長度，形成微集中力dP=qdx，代換后知：BAP例5 求圖

12、示簡支梁的yCPABCEI2EI解：PABC組合方法四：等價懸臂梁法(僅適合簡支梁受到對稱荷載)由于對稱：梁在C點的轉(zhuǎn)角為0，可以視為一懸臂梁在C點固定，在A點受集中力作用。 A點所產(chǎn)生的位移恰好與C點的位移數(shù)值相同。A注意：一般已經(jīng)給出懸臂梁法受集中力(力偶)作用所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角，即：BAP=+BAMAaaAaaM=a*P/2AaaABABP=+組合方法五：利用對稱性(僅適合求簡支梁中點位移) 從數(shù)學(xué)知識，任何實矩陣都可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣之和的形式: F = F symm + F antisymm, 對于軸對稱的結(jié)構(gòu),力也可以同樣分解. 例如P/2P/2P/2P/2例6：已知懸臂

13、梁受集中力作用所產(chǎn)生的端部位移和轉(zhuǎn)角。求圖示梁在中點的撓度，fc=+ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C解：將P力分解為關(guān)于中截面的對稱和反對稱力(P/2)之和的形式。顯然，在反對稱力(P/2)作用下， fc（反對稱）=0+=ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C在對稱力(P/2)作用下， fc（對稱）= fc采用等價懸臂梁法，對稱力作用的簡支梁，可以等效為懸臂梁受到兩個力的作用的問題。ABP/2P/2=BCD 在對稱力P/2和支座反力P/2作用下，中截面的的撓度fc可以用端部的撓度fB表示BCDBAP6-5 簡單的靜不定梁解靜不定梁基本步驟：2、根據(jù)多余約束對位移或變形的限

14、制，建立各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系，即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調(diào)方程3、建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系，即物理方程或稱本構(gòu)方程1、選定并解除多余約束，代之以多余約束反力，形成基本靜定基。（注意：基本靜定基的形式并不唯一。）；建立平衡方程。4、將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補充方程。5、聯(lián)立求解平衡方程、補充方程。解得多余約束反力3-3=04-3=1lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFB 求解靜不定梁示例 532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy 應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量 由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略

15、不計，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會產(chǎn)生水平約束力，即FAx FBx= 0。因此，求解這種靜不定問題只需1個補充方程。可以寫出變形協(xié)調(diào)方程為FBxBl AMAFAyFAxFBy例 題求: 梁的約束力。已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI， 長度為l。B Al解：1. 列出平衡方程2. 列出變形協(xié)調(diào)方程 FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFAxFB3. 列出物性關(guān)系wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIwB

16、(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFB2. 列出變形協(xié)調(diào)方程 wB=wB(q)+wB(FBy)=0解：4. 綜合求解FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0 將平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物性關(guān)系聯(lián)立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIFBy =3ql /8 ,FAx=0 ,MA= ql 2/8FAy =5ql /8 ,Bl AMAFAyFAxFB 剛度設(shè)計舉例 對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截

17、面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度設(shè)計準(zhǔn)則(criterion for stiffness design)： 上述二式中y和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。B解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下

18、列步驟計算。 1查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B1查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為 B2根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求 B2根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求， 其中，的單位為rad（弧度），而的單位為（）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑 撓曲線近似微分方程：穩(wěn)定性：與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。6-6 提高彎曲剛度的一些措施一、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機械技術(shù)講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 為Rbh合理截面1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面zDzaa例如：以圓形截