D6-4重積分的應用課件

1、第四節(jié)重積分的應用一、立體體積 二、物體的質心 三、物體的轉動慣量 四、物體的引力 作業(yè) 習題6.4 1(2), 2 ,3，4, 5，6，7方法：重積分的微元法重積分的微元法1 區(qū)域函數(shù)及其對域的導數(shù)：以平面區(qū)域上的質量問題來說明問題稱為區(qū)域函數(shù)在該點處對區(qū)域的導數(shù)。228稱為區(qū)域函數(shù)在該點處對區(qū)域的微分。2 變域上的重積分對域的導數(shù)： 類似定積分中變上限的定積分是被積函數(shù)的原函數(shù)一樣，二重積分的值隨積分區(qū)域的變化而變化，可以看作積分區(qū)域的函數(shù)，即由重積分的中值定理值知： 當子域 的直徑d趨于0時，區(qū)域 收縮到一點(x, y)，從而由函數(shù)的連續(xù)性和區(qū)域函數(shù)的導數(shù)定義可得： 連續(xù)函數(shù)在變區(qū)域上的

2、二重積分作為區(qū)域函數(shù)，它在點（x,y）處對區(qū)域的導數(shù)等于被積函數(shù)在該點的值。4284. 能用重積分解決的實際問題的特點所求量是 對區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元法 分布在有界閉域上的整體量 6. 解題要點 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 5. 用重積分解決問題的方法 任一點的切平面與曲面所圍立體的體積 V . 解: 曲面的切平面方程為它與曲面的交線在 xoy 面上的投影為(記所圍域為D )在點例1. 求曲面例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為828將 分成 n 小

3、塊,將第 k 塊看作質量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點,即得此質點在第 k 塊上任取一點1028同理可得則得形心坐標：若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標:則它的質心坐標為其面密度 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩1228例4. 一個煉鋼爐為旋轉體形, 剖面壁線的方程為內儲有高為 h 的均質鋼液,解: 利用對稱性可知質心在 z 軸上，采用柱坐標, 則爐壁方程為因此故自重, 求它的質心.若爐不計爐體的其坐標為1428類似可得:對 x 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量對原點的轉動慣量如果物體是平面薄

4、片,面密度為則轉動慣量的表達式是二重積分.1828例5.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑解: 建立坐標系如圖,半圓薄片的質量的轉動慣量.解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則球體的質量例6.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉動慣量.設球 所占域為(用球坐標) 2028 G 為引力常數(shù)五、物體的引力設物體占有空間區(qū)域 ,物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標軸上的投影分別為對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處的單位質量質點的引力分量為2228例8. 求半徑 R 的均勻球對位于的單位質量質點的引力.解: 利用對稱性知引力分量點2428為球的質量提示:記雪堆體積