力學(xué)課的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、力學(xué)課數(shù)學(xué)準(zhǔn)備（一）-矢量、微積分部分秋季 王景赟第1頁第1頁附錄A 矢量概述矢量概念自然界中有一類量既有大小、又有方向，這類量稱為矢量（向量）。標(biāo)量：只有數(shù)值大小量。例子：標(biāo)量：距離，速率，質(zhì)量，密度，體積，溫度，電阻，功，能量，熱量，功率，勢能，電勢能等矢量：位移，速度，加速度，力，動(dòng)量，力矩，電磁場強(qiáng)度等等第2頁第2頁表示辦法： ， ，a（黑體），（a，b，c）矢量沒有固定空間位置矢量模： ， , a單位矢量：大小為一矢量 / 大小方向第3頁第3頁力合成：矢量加法/減法矢量加法(幾何辦法)矢量分解與合成(分析辦法)第4頁第4頁矢量運(yùn)算矢量加法矢量：a,ba+b=rabr平行四邊形法則ar

2、b三角形法則br矢量相加必須是同一類量相加第5頁第5頁 已知兩矢量： 、 ，求 擴(kuò)展：多邊形法則III第6頁第6頁互換律 a+b=b+a 結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)第7頁第7頁第8頁第8頁矢量負(fù)值：等值反向b負(fù)值：-b減法：a-b=a+(-b)矢量減法第9頁第9頁第10頁第10頁矢量分解與合成在給定坐標(biāo)系中，矢量能夠分解為在不同坐標(biāo)系中，一個(gè)矢量能夠有許多組分量。確定了坐標(biāo)系，一個(gè)矢量分量才干唯一地確定。空間直角坐標(biāo)系右手系第11頁第11頁矢量線性運(yùn)算坐標(biāo)式假設(shè)兩個(gè)矢量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)b=bxi+byj+bzk=(bx,by,bz)則，a+b=(ax

3、+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx,ay+by,az+bz)a-b =(ax-bx,ay-by,az-bz)矢量代數(shù)運(yùn)算解析分析第12頁第12頁解：以東為x軸，北為y軸建立直角坐標(biāo)系則v1=80i v2=120j v=v1+v2=80i+120j求其模，得到速率大小為144km/s利用正切求夾角tgg=120/80=1.5g=56xyg第13頁第13頁矢量模、方向角及其在軸上投影矢量模：矢量數(shù)值大小|a|=方向角、方向余弦與矢量在坐標(biāo)軸上投影矢量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)方向角a，b，g方向余弦cos a =ax/|a|，cos b = ay/

4、|a|，cos g =ax/|a|且它們滿足 cos 2a+ cos 2b+ cos 2g=1第14頁第14頁例子已知兩點(diǎn)坐標(biāo)A（2,2, ）和B（1,3,0），求矢量 模、方向余弦和方位角解： =（1-2,3-2,0- ）=（-1,1, - ） cos a =-1/2，cos b = 1/2，cos g =- /2 a =2p/3，b = p/3，g =3p/4 第15頁第15頁矢量三種乘法：數(shù)乘、點(diǎn)乘和叉乘矢量乘以標(biāo)量（數(shù)乘）：標(biāo)量k與矢量 乘積定義為一個(gè)新矢量，它大小等于 大小k倍。假如k是正，則新矢量與 方向相同；假如k是負(fù)，則方向相反。設(shè)有矢量a與實(shí)數(shù)l，要求l與a乘積是一個(gè)矢量，記

5、為la，該矢量模為|la|=|l| |a|能夠證實(shí)數(shù)乘矢量滿足下列運(yùn)算律:結(jié)合律： l (ma)=(lm ) a分派律： (l+m)a=la+ma例子:第16頁第16頁不同類矢量乘法運(yùn)算產(chǎn)生新物理量兩個(gè)矢量 和 標(biāo)積（點(diǎn)乘）寫作 ，定義為： 其中A為矢量 大小，B為矢量 大小， 為兩矢量間夾角。譬如：fs=w第17頁第17頁第18頁第18頁例：1）分派率2） ab=axbx+ayby+azbz 由于 ab=(axi+ayj+azk) (bxi+byj+bzk)= axbxii+aybyjj+azbzkk=axbx+ayby+azbz3）第19頁第19頁第20頁第20頁矢量向量積定義：設(shè)矢量c是

6、由兩個(gè)矢量a和b按下列要求擬定：|c|=|a|b|sin，是a與b之間夾角c方向垂直于a與b決定平面，c指向按右手規(guī)則擬定，即右手四指以不超出p角度，從a轉(zhuǎn)向b時(shí)，拇指指向就是c指向。則稱矢量c是a與b向量積（叉乘，叉積，外積），記為c=ababc|ab|例子： fr=La第21頁第21頁 例：兩個(gè)矢量位于x -y平面內(nèi)；矢量A大小為1.5并與x軸成30角；矢量B大小為2.0并與x軸成100角，求AB。|A B|AB sinq (1. 5 2. 0)sin 70 2.8 方向與A、B成右手坐標(biāo)系第22頁第22頁向量積向量積ab模| ab |等于矢量a，b為鄰邊平行四邊形面積推導(dǎo)：1） aa =

7、 0 2）兩個(gè)非零矢量ab=0a|b 3） 對于單位矢量 ， ， ，有： 4)依據(jù)右手定則：向量積運(yùn)算性質(zhì)ab= -ba 分派率 (a+b)c= ac+ bc結(jié)合律 l(ab)=(la)b=a(lb)不互換！第23頁第23頁行列式第24頁第24頁矢量與物理定律假定有 a, b和c 三個(gè)矢量，在某一坐標(biāo)系xyz中，分別含有分量 。再假定這三個(gè)矢量相關(guān)系即 現(xiàn)在設(shè)想有另一坐標(biāo)系 xyz ，通過坐標(biāo)系移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)后，矢量間關(guān)系保持不變。矢量語言是表述物理定律一個(gè)抱負(fù)語言。第25頁第25頁微積分簡介第26頁第26頁微分一元函數(shù)：y=f(x)自變量x增量x函數(shù)增量y=y(x+x)-y(x)Oy=Ax2函數(shù)

8、增量含有高階無窮小，其它函數(shù)類似。第27頁第27頁自變量增量x0時(shí)，稱為自變量微分,改記成dx相應(yīng)函數(shù)增量y稱為函數(shù)微分,記成dydy和dx關(guān)系：dy=y(x+dx)-y(x)微商(導(dǎo)數(shù))定義思考：在微商過程中，忽略了高階無窮小奉獻(xiàn)。思考：第28頁第28頁計(jì)算函數(shù)y=Ax2微商第29頁第29頁 例子：變速直線運(yùn)動(dòng)速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置函數(shù)為則 到 平均速度為而在 時(shí)刻瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)第30頁第30頁例子：求非均勻棒密度（一點(diǎn)線密度 均勻棒密度單位長質(zhì)量 非均勻：建立坐標(biāo)系0給出質(zhì)量函數(shù) 取棒一段 到 這段質(zhì)量 這段上平均密度 越小， 就越靠近于 點(diǎn)線密度 因而 第31頁第31頁物體運(yùn)動(dòng)速

9、度與曲線切線斜率都?xì)w結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：函數(shù)增量與自變量增量之比極限微商幾何意義第32頁第32頁 切 線:割線極限位置切線位置第33頁第33頁第34頁第34頁第35頁第35頁第36頁第36頁第37頁第37頁第38頁第38頁第39頁第39頁第40頁第40頁第41頁第41頁第42頁第42頁割線極限位置切線位置第43頁第43頁為曲線上點(diǎn)在處法線方程為處切線（假如存在）斜率。由此：曲線切線方程為切線方程與法線方程第44頁第44頁函數(shù)和、差、積、商求導(dǎo)法則第45頁第45頁微商運(yùn)算法則證實(shí)函數(shù)和微商是它們微商和。第46頁第46頁乘法法則高階無窮小奉獻(xiàn)第47頁第47頁計(jì)算函數(shù)y=x3微商乘法法則n整數(shù)上式對

10、n一切數(shù)值都成立。第48頁第48頁復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第49頁第49頁鏈鎖法則函數(shù)微商，而該函數(shù)本身又是另一個(gè)函數(shù)函數(shù)思考：假設(shè)y=3x2且x=6t，dy/dt是什么？在x0之前，普通分?jǐn)?shù)乘積第50頁第50頁常見微商常數(shù)f(C)=0冪函數(shù)f(x)=xn如y=x2, y=2x第51頁第51頁三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)(sinx)=cosx(cosx)=-sinx例子求在點(diǎn)微商。時(shí)，函數(shù)有改變量它們之比為因此當(dāng)給自變量以改變量第52頁第52頁指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)當(dāng)a=e時(shí)，(ex)= ex對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)第53頁第53頁函數(shù)中沒有突變，它們是平滑。數(shù)學(xué)家稱這些函數(shù)為連續(xù)。假設(shè)了函數(shù)確有微商，這是指它們是可微。假如對函數(shù)f(x)

11、微商f(x)在求微商，得到一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)二階微商(導(dǎo)數(shù))。速度，加速度第54頁第54頁55微分逆運(yùn)算-積分已知某函數(shù)微商，求本來函數(shù)過程叫做逆微分。逆微分也被稱為積分。有時(shí)使用“原函數(shù)”來替換逆微商。思考：原函數(shù)為何會(huì)有一個(gè)常數(shù)C。假如兩個(gè)函數(shù)g(t)和f (t)含有相同微商, g(t)和f(t)，則它們差g(t) - f(t)為常量，因此g(t) - f (t)=C,其中C是常數(shù)。因而g(t)=f (t)+C。換句話說，假如f (t)是f(t)一個(gè)逆微商，則所有逆微商是f(t)+C,其中C是任意常數(shù)。第55頁第55頁一質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)，其加速度為g(取垂直向下為正)，則其速度

12、公式為假如要擬定常數(shù)C，需要知道一個(gè)約束條件，比如：t=0時(shí)刻初速度v0。 C= v0t=0時(shí)刻位移z0。假如t=0時(shí)刻初速度v0 =0和位移z0 =0初始條件或邊界條件第56頁第56頁積分與求面積一質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)，其加速度為g(取垂直向下為正)加速度一個(gè)原函數(shù)是速率，因而在這里面積函數(shù)等于物體從靜止下落速率：v(t)= v0 -gt 。(t=0時(shí)刻初速度為v0)第57頁第57頁一質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)，v=gt (垂直向下為正和t=0時(shí)刻初速度v0 =0)將t作為變數(shù)，面積函數(shù)0.5gt2是t函數(shù)。面積函數(shù)是從0開始曲線一個(gè)原函數(shù)。面積為0.5gt2，等于在時(shí)刻t所下落距離。第58頁第58頁

13、萊布尼茨引入符號(hào)把這個(gè)面積表示為積分號(hào)下面函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，而從a到t間隔叫做積分區(qū)間，伴伴隨稱為積分限數(shù)字a和t。假如你想要求出曲線y = f (x)下從x = a到x = t區(qū)域面積，首先求出給定函數(shù)一個(gè)原函數(shù)，即其微商是f(x)任一函數(shù)P(x)。然后所需面積就是P(t)減去P(a)。第59頁第59頁符號(hào) 表示把所有這些窄矩形面積加在一起過程。第60頁第60頁61微積分第一基本定理將微商和積分聯(lián)系起來積分 對于上限微商等于被積函數(shù)在t處值。微積分第二基本定理假如P(x)是f (x)任意一個(gè)原函數(shù)引入符號(hào)第61頁第61頁萊布尼茨引入積分一個(gè)特殊符號(hào) ，積分號(hào)上沒有附著任何積分限，用這種形式去表示f(x)任意積分。符號(hào) 往往被叫做不定積分符號(hào) 往往被叫做定積