高中數學教案4

1、不等式 復習 教案一、 學問點1不等式性質實數的運算性質與大小次序之間的關系a b a b 0a b a b b b a傳遞性 : a b, b c a c可加性 : a b a + c b + c 可積性 : a b, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac b, c d a + c b + d 乘法法就： a b 0, c d 0 ac bd乘方法就： a b 0, a n b n n N開方法就： a b 0, n a n b n N 2算術平均數與幾何平均數定理：（1）假如 a、bR,那么 a 2 + b2 2ab（當且僅當 a=b 時等號）（2）假如 a、bR, 那么a2bab

2、（當且僅當 a=b時等號）推廣：假如a b 為實數,就aba2b2a22b2重要結論1）假如積 xy 是定值 P,那么當 xy 時,和 xy 有最小值 2 P ；（2）假如和 x y 是定值 S,那么當 xy 時,和 xy 有最大值 S 2/4 ；. 條件為“一正二定三相等”. 一正 ：各項都是正數. 二定 ：求和積定,求積和定. 三相等：等號能成立a. 當等號不成立時,利用以下函數求最值；函數 fx x aa 0 在 0,x上遞增,在a,上遞減；3證明不等式的常用方法：比較法： 比較法是最基本、最重要的方法； 當不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式,就挑選作差比較法；當不等式的兩邊

3、都是正數且它們的商能與 1 比較大小, 就挑選作商比較法；遇到肯定值或根式,我們仍可以考慮作平方差；綜合法： 從已知或已證明過的不等式動身,依據不等式的性質推導出欲證的不等式；綜合法的放縮常常用到均值不等式；分析法 ：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清晰,通過查找不等式成立的充分條件,逐步將欲證的不等式轉化,直到查找到易證或已知成立的結論；結論：已知a、b、m都是正數,且ab,就：amabmb4不等式的解法（1）不等式的有關概念同解不等式： 兩個不等式假如解集相同,等式；那么這兩個不等式叫做同解不同解變形： 一個不等式變形為另一個不等式時,假如這兩個不等式是同 解不等式,那么這種變形叫做同解變形；提問：請

4、說出我們以前解不等式中常用到的同解變形 去分母、去括號、移項、合并同類項（2）不等式 ax b的解法x|xb/a；當 a0 時不等式的解集是當 a0 時不等式的解集是x|xb/a；當 a=0 時 ,b a fx a或 fx a； | fx | a afx aa0 f2x a2；| fx | 0 f2x |b| 且 abb,就 |a|b| B、如 ab,就 1/ab,就 a 3b D、如 ab,就 a/b1 32、已知 a0. 1babab 2 B、ab 2abaC、abaab 2 D、abab 2a3、當 0ab1 ab B、 1+aa1+bbbC、1 ab 1 ab/2 D、1 aa1b4、

5、如 loga3logb30,就 a、 b 的關系是（ B ）A、0aba1 2+1 ； 2 a2 b中成立C、0ba1 D、1bb0,就以下不等式1/ab 2； lga2+1lgb的是（A ）C、D、A、B、（二）比較大小1、如 0 lg2xlglgx ,Qa22b24、設 a0,a 1, 比較 logat/2與 logat+1/2的大小；5、比較b與a的大??；ab6、如a1,比較Ma1a 與Naa1 的大?。?、設a、b是不相等的正數,Aa2b,Gab,H1/a21/b試比較A、G、H、Q的大??；分析：要比較大小的式子較多,為防止盲目性,可先取特別值估測各式大小關系,然后 用比較法（作差）即

6、可；（三）利用不等式性質判定 P是 Q的充分條件和必要條件1、設 x、yR,判定以下各題中,命題甲與命題乙的充分必要關系命題甲： x0 且 y0,命題乙： x+y0 且 xy0 充要條件命題甲： x2 且 y2,命題乙： x+y4 且 xy4 充分不必要條件2、已知四個命題,其中 a、bRa 2b 2 的充要條件是 |a|b|；a 2b 2 的充要條件是 |a| 2|b| 2；a 2b 2 的充要條件是 a+b與a b 異號；a 22c” 的一個充分條件是（ C ）A、ac 或 bc B、ac 或 bc C、 ac 且 bc D、ac 且 bc（四）范疇問題1、設 60 a84, 28b33,

7、 求： a+b,a b,a/b 的范疇；2、如二次函數 y=fx 的圖象過原點,且 1f 1 2,3 f1 3,求 f 2 的范疇；（五）均值不等式變形問題1、當 a、bR時, 以下不等式不正確選項（ D ）. |b|2y/2A、a2+b 22|a| . |b| B、a/2+b/22ab C、a/2+b/22a2/2+b2/2 D、log1/2a2+b 2 log 1/22|a|2、x、y0,+ ,就以下不等式中等號不成立的是（ A ）A、x1x112B、x1y14xxyxC、x+y1/x+1/y4 D、 lgx/2+lgy/22 lg2x/2+lg3、已知 a0,b0,a+b=1 ,就 1/

8、a211/b21 的最小值為（ D ）A、6 B、7 C、8 D、94、已知 a0,b0,c0 ,a+b+c=1,求證： 1/a+1/b+1/c91 的代換5、已知 a0,b0,c0,d0,求證：adbdbcbcad4ac（六）求函數最值1、如 x4, 函數yx41x,當x_時,函數有最值是_；5、大、 62、設 x、yR, x+y=5 ,就 3x+3 y的最小值是（） DD、183A、10 B、63C、463、以下各式中最小值等于2 的是（）D D、2x+2xA、x/y+y/x B、x25 C、tan +cot x244、已知實數a、b、c、d 滿意 a+b=7,c+d=5, 求a+c2+b

9、+d2的最小值；5、已知 x0,y0,2x+y=1,求 1/x+1/y的最小值；（七）實際問題1、98（高考）如圖,為處理含有某種雜質的污水,要制造一個底寬為 2cm 的無蓋長方體沉淀箱,污水從 A 孔流入,經沉淀后從 B 孔流出,設箱體的長度為 am,高度為 bm,已知流出的水中該雜質的質量分數與 a、b 的乘積 ab 成反比,現有制箱材料 60m 2,問當a、b 各為多少米時,沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最?。ˋ、B 孔的面積忽視不計）；解一：設流出的水中雜質的質量分數為y,Aa b 由題意 y=k/ab ,其中 k 為比例系數 k0據題設 2 2b+2ab+2a=60a0,b0B b

10、30a2a由 a0,b0 可得 0a0要求 y 的最小值,即要求 ab 的最大值；據題設 2 2b+2ab+2a=60a0,b0 ,即 a+2b+ab=30a 2 b 2 2 ab 當且僅當 a 2b 時等號成立）ab 2 2ab 30,解得5 2 ab 3 2即 0 ab 18, 由 a 2b 及 ab a 2b 30 解得 a 6, b 3即 a=6,b=3 時, ab 有最大值,從而 y 取最小值；綜上所述,當 a=6m,b=3m時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最?。?、某工廠有舊墻一面長 14 米, 現預備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為 126 米 2的廠房,工程條件是：

11、建 1 米新墻的費用為 a 元；修 1 米舊墻的費用為 a/4 元；拆去 1 米舊墻用所得材料建 1 米新墻的費用為 a/2 元. 經過爭論有兩種方案：利用舊墻的一段 xx14 米為矩形廠房的一面邊長；矩形廠房的一面長為 xx 14. 問如何利用舊墻,即 x 為多少米時,建墻費用最省兩種方案哪種方案最好解：設總費用為 y 元,利用舊墻的一面矩形邊長為 x 米,就另一邊長為 126/x 米；如利用舊墻的一段 x 米xx114,就 fx 2 fx 1= x 2+126/x 2x 1+126/x 1=x2x11 126/x1x20 fx=x+126/x 在 14, 上遞增, fxf14x=14 時

12、ymin=7a/2+2a14+126/147=綜上所述,采納方案,即利用舊墻（八）比較法證明不等式12 米為矩形的一面邊長,建墻費用最省；1、已知 a、b、m、 nR +, 證明： am+n+b m+namb n+a nbmp、q 恒有 a. fp+b . fq 變：已知 a、bR +, 證明： a3/b+b3/a a2+b 22、已知 a、bR +,fx=2x2+1,a+b=1, 證明：對任意實數fap+bq（九）綜合法證明不等式1、已知 a、b、c 為不全相等的正數,求證：bcaacbabc3a2bc2、已知 a、b、c R,且 a+b+c=1,求證： a2+b 2+c21/33、已知 a

13、、b、c 為不全相等的正數,且abc=1, 求證：abc111abc4、已知 a、bR +,a+b=1, 求證：a1/2b1/2（十）分析法證明不等式1、已知 a、b、c 為不全相等的正數,求證：bc/a+ac/b+ab/ca+b+c2、已知函數fx=lg1/x1,x1、x 20,1/2,且 x1 x2,求證：fx 1fx2fx 12x 22 3、設實數 x,y 滿意 y+x2=0,0abc, 求證：a1bb1ca4c4、已知 a、b、c R,且 a+bc 求證：1aa1bb5、已知 a、b、c R,證明： a 2+ac+c2+3ba+b+c 0,并指出等號何時成立；分析：整理成關于a 的二次

14、函數fa=a2+c+3ba+3b2+3bc+c2 =c+3b243b2+3bc+c2= 3b2+2bc+c2 0fa 06、已知： x22xy + y2 + x + y + 10,求證： 1/3 y/x 37、在直角三角形2ABC中,角 C為直角, n2 且 nN,求證： cnan + bn8、設an12334nn1nN求證：nn21ann12對全部正整數n 都成立；2（十二）解不等式1、解不等式：x11x23xx320 x2ax22、解關于 x 的不等式：（十三）不等式應用 不等式的應用主要有三個方面：一是能轉化為求解不等式（組）的有關問題（如求函數 的定義域、 爭論一元二次方程的根的分布等

15、）；二是能轉化為不等式證明的有關問題（如 證明函數的單調性） ；三是能轉化為重要不等式的極端情形解決的最值問題；21、已知 fx 的定義域是（ 0,1 ,就函數 y f lg x x 的定義域是 _；2 5, 2 1,42、已知不等式 ax 2+bx+c0 的解集是 x| x 0 , 求不等式 cx 2+bx+a0 的解 集；3、設fx12xxx 0. 求證： fx 是減函數；求fx 的值域；,44、由于對某種商品實行征稅,其售價比原價上漲x%,漲價后商品賣出量削減36x%100已知稅率為銷售金額的20%.為實現銷售金額和扣除稅款的余額y 不比原銷售金額少,求上漲率x%的取值范疇；x 為何值時

16、, y 最大（保留一位小數）解：設原價為a,銷售量為b,就ya 1x%b 136x%120%ab1x%136x%80%100100yab,1x %136x%80%1x %1631x%100250,0整理得：36x %264x%182yab1x%25x%36 12580ab1x%259936ab1x%25x%291252當且僅當 1x%25/9 x%,即 x% 8/9. x時 y 最大；（十四）恒成立問題1、如不等式 afn,即 fn 在 N上是增函數,fn 的最小值是f1又 f1=1/2+1/3+1/4=13/12故對一切正整數 n 使得 fn2a 5 的充要條件是 13/122a 5, a7

17、3/24故所求自然數 a 的最大值是 3；2、已知拋物線 y=fx=ax 2+bx+c 過點（ 1,0 ）,問是否存在常數 a、b、c,使得不等式xfx 1+x 2/2 對于一切實數 x 都成立解：假設存在常數 a、b、c,使得 xfx 1+x 2/2 對一切實數 x 恒成立,令 x 1 有 1 f1 1, f1 1,即 abc1 拋物線過點（1,0 ） abc0 解得： b=1/2,c=1/2a, fx=ax 2+x/2+1/2 a由 x fx 1+x 2/2 得 2x2ax 2+x+12a1+x 2 a=1/4,三、數學思想與方法（一）分類爭論的思想：1、設 fx = 1+logx3,gx

18、=2logx2,其中 x0 且 x 1,試比較 fx與 gx 的大??；2、解關于 x 的不等式xxa101 x分析：當a 1 時,原不等式的解集為x|x a 或 1x1當 1a時,原不等式的解集為x|x 1 或 a x1當 a1 時,原不等式的解集為x|x 1 或 1xa當 a1 時,原不等式的解集為x|x 1 當 a 1 時,原不等式的解集為（二）數形結合的思想x|x 1 且 x 11、關于 x 的方程 x 2x m1 0 只在 1,1 上有解, 就實數 a 的取值范疇是 （）A、 5/4,+ B、 5/4, 1 C、 5/4 ,1D、 , 12、設 k、a 都是實數,關于 x 的方程 |2

19、x 1|=kx a+a 對于一切實數 k 都有解,求實數 a 的取值范疇；3、已知 0a1,0b1. 求證：+分析 觀看待證式左端,它的每個根式都使我們想到 Rt ABC中的等式 a 2+b 2=c 2,激起我們構造平面圖形利用幾何方法證明這個不等式的大膽想法 .如圖 27-3 ,作邊長為 1 的正方形 ABCD,分別在 AB、 AD上取 AE=a,AG=b,過 E、 G分別作 AD、AB的平行線,交CD、BC于 F、H,EF、GH交于 O點. 由題設條件及作圖可知, AOG、 BOE、 COF、 DOG 皆為直角三角形 .OC=再連結對角形AC,BD,易知 AC=BD=,OA+OCAC,OB

20、+ODBD,（三）函數與方程的思想1、函數 fx=lgxlg2+ax+1 的值域為 R,求實數 a 的取值范疇；a 的取值2、已知fx 12x3x4xa,如 fx在（, 1有意義,求實數4范疇；3、設不等式 mx 22xm1 對于滿意 |m| 2 的一切實數 m都成立,求 x 的取值范疇；分析：設 fm=x 2 1m2x1,就對于滿意 |m| 2 的一切實數 m都有 fm 0f 2 0 且 f204、已知 x、y、z（ 0,1 ）,求證： x1 y + y1z + z1x 1證明：構造函數 fx= x1y + y1 z + z1x 1即 fx = 1yzx + y1z + z 1當 1yz =

21、 0, 即 y + z = 1 時,fx = y1z + z1 = y + z 1yz = yz 0當 1yz 0 時, fx 為一次函數,又 x（ 0,1 ）,由一次函數的單調性,只需證明 f0 0, f1 0y、z（ 0,1 ） f0 = y1 z + z1 = y1z 1 0 f1 = 1yz + y1z + z1 = yz 0對任意的 x（ 0,1 ）都有 fx 0即 x1 y + y1z + z1x 1（四）轉化與化歸思想1、關于 x 的方程 4x+m3 . 2x+m=0有兩個不等的實數根,求實數m的取值范疇；（五）換元的思想1、解不等式：2x5x1xb的解集為 5/2,2 ）,求實

22、數 a、b 的值；變：關于 x 的不等式ax52、（六） 1 的代換1、已知 a、bR +,a+b=1,x 、yR,求證： ax2+by2ax+by2,求證：92、已知 x、y 都是正數, a、 b 都是正常數,且a/x + b/y = 1xyab23、已知 x、y 都是正數,且x + y = 1,求證： 1 + 1/x1 + 1/y4、已知 x、yR +, 且 1/x + 9/y = 1,求 x + y的最小值；5、如 0 x1,a 0,b0,求 a/x + b/1x 的最小值是；6、已知 a,b 是正數,且a + b = 1,求證： ax + byay + bxxy分析： a,b 是正數,

23、且a + b = 1ax + byay + bx = a2xy + abx2 + aby2 + b2xy2= a2 + b2xy+ abx2 + y2 = 12abxy+ abx2 + y= xy+ abx2 + y22xy = xy + abxy2 xy（七）特別與一般的思想1、已知 a、b、c R,函數 f x = ax2 + bx + c, gx = cx2+bx + a, 當|x| 1 時,有|fx2；（1）求證： |g1| 2 ；（ 2）求證：當 |x| 1 時, |gx| 4.證：（1）當 |x| 1 時, |fx|2, |f1|2又|f1| |g1| |g1|2（2） fx= a

24、x2+bx+c f1= a+b+c,f 1= a b+c, f0= c a= f1+f-1 -2f0/2,b= f1-f-1/2|x| 1 時|fx|2 |f1|2,|f-1|2,|f0|2|gx|=|cx2+bx+a|x2|f0|=|x2f0+f1-f-1x/2+f1+f-1-2f0/2|=|x21f0+x+1f1/2+x-1f-1/2|x21f0|+|x+1f1/2|+|x-1f-1/2|x+1/2|f1| +|x-1/2|f-1|+|1x+1+1-x+2 = 4小結：對于二次函數fx=ax2+bx+c c=f0 2a=f1+f 1 2f0 2b=f1f 12、已知 a、b、c R,函數 f x = ax 2 + bx + c, gx = ax + b, 當 1x1 時,有|fx1；（1）證明： |c| 1；（2）證明：當 1x 1 時, |gx|2；（3）設a0, 1 x1 時, gx 的最大值為2,求 fx 的解析式；證明： 1x1 時,有|fx|1