經(jīng)濟學(xué)中的微分方程

1、經(jīng)濟學(xué)中的微分方程姜正祿中山大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程常微分方程：經(jīng)濟增長，市場銷售偏微分方程：市場銷售發(fā)展方程一、經(jīng)濟增長計量經(jīng)濟學(xué)產(chǎn)值（效益） 資金（投資）勞動力經(jīng)濟增長增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟增加投資增加勞動力提高技術(shù) 建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系 研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大 調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值 Q(t)F為待定函數(shù)資金 K(t)勞動力 L(t)技術(shù) f(t)= f0模型假設(shè)靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z 隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含

2、義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)QK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL 單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值 資金在產(chǎn)值中的份額1- 勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1. Douglas生產(chǎn)函數(shù)w , r , K/L 求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金) ，使效益S最大資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率 r勞動力付工資 w2 資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）3 經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件 (動態(tài)模型)要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長, K(t), L(t)應(yīng)滿足的條件模型假設(shè) 投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴大再生產(chǎn)) 勞動力相對增長率為常數(shù)Be

3、rnoulli方程產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt 0經(jīng)濟增長的條件勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt0經(jīng)濟增長的條件經(jīng)濟增長二、市場銷售（與價格無關(guān)）產(chǎn)品的生命周期規(guī)律形成、成長、成熟、衰退市場銷量產(chǎn)品的生命周期規(guī)律形成、成長、成熟、衰退市場銷量產(chǎn)品的生命周期規(guī)律形成、成長、成熟、衰退市場銷量時刻的人口數(shù)量成長率最大的人口容量時刻產(chǎn)品的市場銷量產(chǎn)品銷售的自然成長率產(chǎn)品在市場上的最大容量三、市場銷售（與價格有關(guān)）產(chǎn)品銷量密度產(chǎn)品價格時刻人口發(fā)展方程人口密度人的年齡時刻人口預(yù)測和控制 年齡分布對于人口預(yù)測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計遷移人

4、口發(fā)展方程人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解總和生育率h生育模式0人口發(fā)展方程和生育率總和生育率控制生育的多少生育模式控制生育的早晚和疏密 正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制 N(t)不過大控制 (t)不過高市場銷售（與價格有關(guān)）產(chǎn)品銷量密度產(chǎn)品價格時刻Pierre Franois Verhulst：Born：28 October 1804 in Brussels, French Empire (now Belgi

5、um)Died：15 February 1849 in Brussels, Belgium Pierre Franois Verhulst：1822：The University of Ghent1825：doctorate，數(shù)論，社會統(tǒng)計學(xué)1829：John Herschel光學(xué)理論1830：Rome 1835：the Universit Libre of Brussels 天文學(xué)，天體力學(xué)，微積分學(xué)，概率論，幾何學(xué)，三角學(xué)1840：The military school, the cole Royale Militaire 1841：the Belgium Academy1848：its president參考文獻王高雄等,常微分方程,高等教育出版社,第三版，2006.姜啟源,謝金星，葉俊， 數(shù)學(xué)模型, 高等教育出版社出版, 第三版，2010.Vernon R., International investment and internation