彈性力學第三章應變分析

1、彈性力學第三章應變分析第1頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三3.1 變形與應變的概念剛性位移 位移 變形位移 （平動加轉動） （平動和轉動及純變形） ozxyAA任意一點的位移分量為坐標的函數 第2頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三ozyxAAMBBCC六面體的變形可歸結為棱邊的伸長(縮短)棱邊間夾角的變化正應變 剪應變 微元體棱邊的相對伸長度 棱邊夾角之間的變化 M第3頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三oBMzyxaAmb將平行六面體分別投影到3個坐標面上第4頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三oBMzyx

2、aAmbM點在Ox軸的位移分量為M點在Oy軸的位移分量為A點和B點相應的位移分別為第5頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三dxdyyoxvubambam按多元泰勒級數展開，略去二階以上的無窮小量，則A點和B點的位移矢量在Ox和Oy軸上的分量可表示為棱邊ma變形后的ma長度為ma=dx+第6頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三dxdyyoxvubambam同理第7頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三dxdyyoxvubambamab在小變形下 與1相比是一小量，可以略去不計 第8頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三d

3、xdyyoxvubambamab同理 根據第9頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三順次輪換 和 可得其他兩個切應變分量 當大于零， 表示角度縮小， 反之則表示角度擴大 綜上所述?？梢缘玫揭韵?個關系式第10頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三幾何方程（柯西方程）兩邊同時除以2，并令三維的柯西方程用張量可以縮寫成：第11頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三其中相對位移張量 在二維情況 為不對稱的張量 可分解為如下兩部分 或 第12頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三為不對稱的張量 可分解為如下兩部分 或 此處 應變張

4、量(純變形) 轉動張量張量第13頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三一點的應變張量稱為柯西應變張量 第14頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三3.2 一點的應變狀態(tài)Strain at a Point與應力分析相似，應變分析研究物體內任意一點處各個方向應變之間的關系，即過該點任意方向上的正應變和任意兩個相互垂直方向的切應變。 通過應變分量坐標變換的方法，可導出相應的表達式。第15頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三設在直角坐標系oxyz中點M 處的六個應變分量為、。令坐標系繞原點O轉動得到新坐標系Oxyz xyzyxzo現求新坐標系中的

5、應變分量、第16頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三新老坐標系之間有如下關系其中l(wèi)i， mi， ni（i=1,2,3）表示三個新坐標軸對老坐標軸的方向余弦。矩陣形式第17頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三在新坐標系中，表達應變分量和位移關系的幾何方程為第18頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三新舊坐標系中的位移分量之間應具有關系利用方向導數(Directional Derivative)公式第19頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三同理，還可求得其他應變分量表達式，于是可得到（3.24a)第20頁，共36頁，20

6、22年，5月20日，9點38分，星期三記為矩陣形式或記為另一種矩陣形式（3.24b）（3.25）縮寫為張量形式Cauchy應變張量為二階張量(second-order tensor) 第21頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三過物體內某一點沿任意方向微分段的伸長率 第22頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三例 3.1 平行六面體變形如圖3.5所示，位移分量設為，。試確定：1）E點應變狀態(tài)，且E點變形后移至E1（1.0503，1.001，1.997）。2）E點在EA方向的線應變。3）E點在EA和EF所確定平面內的角應變。ABCDEGFOxyz1m1.5m2

7、mE1第23頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1解：1）E點發(fā)生的位移為位移分量表達式第24頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三由Cauchy方程確定E點的應變狀態(tài)將E點坐標(1.5,1.2)代入上式得第25頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE12）由圖3.5可知：設(3.24a)第26頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三3）求過E點在EA和EF所確定平面內的角應變。ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1第27頁，共36頁，202

8、2年，5月20日，9點38分，星期三3.3 主應變與主應變方向Principal strain and its Direction 剪應變等于零的面主平面(Principal Plane )主應變方向(Direction of Principal Strain)主應變(Principal Strain)主平面的法線方向主平面上的正應變設在ABC面的法線方向有一矢量Sn，基本概念 (Basic Concepts)公式推導(Formula Derivation )zOACBxynSn在變形過程中，Sn的方向不變只有長度變化為第28頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三因Sn與 在

9、一條直線上，故Sn與 的分量成正比例，即其中sx,sy,sz及 ， ， 分別為Sn及 在Ox,Oy,Oz軸上投影考慮到同時，根據第29頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三其中(where)第一應變不變量(the first invariant of strains)第二應變不變量(the second invariant of strains)第三應變不變量(the third invariant of strains)有三個實根，即主應變 ， ， 。 最大剪應變maximum shear strain 第30頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三八面體剪

10、應變Octahedral Shear Strain一點的Cauchy應變張量 可以分解為球形應變張量Spherical Strain Tensor偏斜應變張量Deviatoric Strain Tensor應變偏張量不變量the Invariant of the Deviatoric Strain Tensor第31頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三3.4 應變協調方程Compatibility Equations In Terms of Strains在我們所講的問題范圍內，物體變形后必須保持其整體和連續(xù)性，即變形的協調性。從數學的觀點說，要求位移函數u,v,w在其定義

11、域內為單值連續(xù)函數。容易理解，若把一個矩形物體劃分為一些方格，如對應變不加任何約束，即不要求協調性的話，就可能在變形后出現“撕裂”或“套疊”等現象。顯然，出現“撕裂”現象后位移函數出現了間斷，出現了“套疊”現象后位移函數不會是單值的。這些現象破壞了物體的整體性和連續(xù)性。因此，為保持物體的整體性，各應變分量之間，必須要有一定的關系。第32頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三柯西公式表明 6個應變分量是通過3個位移分量表示的 因此這6個應變分量不是互不相關的， 必定存在著某種關聯。 如果以位移為未知函數，并任意給出一組“應變分量”， 則柯西方程給出包含6個方程而只有3個未知函數的偏微分方程組， 由于方程的個數超出了未知函數的個數， 方程組可能是矛盾的 要使方程組不矛盾， 則6個應變分量必須滿足一定的條件第33頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三現推導二維情況下的變形協調方程將 和 分別對y和x求二階偏導數后相加，得即二維情況下的應變協調方程圣維南方程三維為此，我們從柯西方程中消去位移分量第34頁，共36頁，2022年，5月20日，9點38分，星期三需要指出的是，如果位移函數是連續(xù)的，變形自然也