彈性力學(xué)第三章應(yīng)變分析

1、彈性力學(xué)第三章應(yīng)變分析第1頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3.1 變形與應(yīng)變的概念剛性位移 位移 變形位移 （平動(dòng)加轉(zhuǎn)動(dòng)） （平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)及純變形） ozxyAA任意一點(diǎn)的位移分量為坐標(biāo)的函數(shù) 第2頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三ozyxAAMBBCC六面體的變形可歸結(jié)為棱邊的伸長(zhǎng)(縮短)棱邊間夾角的變化正應(yīng)變 剪應(yīng)變 微元體棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)度 棱邊夾角之間的變化 M第3頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三oBMzyxaAmb將平行六面體分別投影到3個(gè)坐標(biāo)面上第4頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三oBMzyx

2、aAmbM點(diǎn)在Ox軸的位移分量為M點(diǎn)在Oy軸的位移分量為A點(diǎn)和B點(diǎn)相應(yīng)的位移分別為第5頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三dxdyyoxvubambam按多元泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去二階以上的無(wú)窮小量，則A點(diǎn)和B點(diǎn)的位移矢量在Ox和Oy軸上的分量可表示為棱邊ma變形后的ma長(zhǎng)度為ma=dx+第6頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三dxdyyoxvubambam同理第7頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三dxdyyoxvubambamab在小變形下 與1相比是一小量，可以略去不計(jì) 第8頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三d

3、xdyyoxvubambamab同理 根據(jù)第9頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三順次輪換 和 可得其他兩個(gè)切應(yīng)變分量 當(dāng)大于零， 表示角度縮小， 反之則表示角度擴(kuò)大 綜上所述?？梢缘玫揭韵?個(gè)關(guān)系式第10頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三幾何方程（柯西方程）兩邊同時(shí)除以2，并令三維的柯西方程用張量可以縮寫成：第11頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三其中相對(duì)位移張量 在二維情況 為不對(duì)稱的張量 可分解為如下兩部分 或 第12頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三為不對(duì)稱的張量 可分解為如下兩部分 或 此處 應(yīng)變張

4、量(純變形) 轉(zhuǎn)動(dòng)張量張量第13頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三一點(diǎn)的應(yīng)變張量稱為柯西應(yīng)變張量 第14頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3.2 一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)Strain at a Point與應(yīng)力分析相似，應(yīng)變分析研究物體內(nèi)任意一點(diǎn)處各個(gè)方向應(yīng)變之間的關(guān)系，即過(guò)該點(diǎn)任意方向上的正應(yīng)變和任意兩個(gè)相互垂直方向的切應(yīng)變。 通過(guò)應(yīng)變分量坐標(biāo)變換的方法，可導(dǎo)出相應(yīng)的表達(dá)式。第15頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三設(shè)在直角坐標(biāo)系oxyz中點(diǎn)M 處的六個(gè)應(yīng)變分量為、。令坐標(biāo)系繞原點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)得到新坐標(biāo)系Oxyz xyzyxzo現(xiàn)求新坐標(biāo)系中的

5、應(yīng)變分量、第16頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三新老坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系其中l(wèi)i， mi， ni（i=1,2,3）表示三個(gè)新坐標(biāo)軸對(duì)老坐標(biāo)軸的方向余弦。矩陣形式第17頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三在新坐標(biāo)系中，表達(dá)應(yīng)變分量和位移關(guān)系的幾何方程為第18頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三新舊坐標(biāo)系中的位移分量之間應(yīng)具有關(guān)系利用方向?qū)?shù)(Directional Derivative)公式第19頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三同理，還可求得其他應(yīng)變分量表達(dá)式，于是可得到（3.24a)第20頁(yè)，共36頁(yè)，20

6、22年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三記為矩陣形式或記為另一種矩陣形式（3.24b）（3.25）縮寫為張量形式Cauchy應(yīng)變張量為二階張量(second-order tensor) 第21頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三過(guò)物體內(nèi)某一點(diǎn)沿任意方向微分段的伸長(zhǎng)率 第22頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三例 3.1 平行六面體變形如圖3.5所示，位移分量設(shè)為，。試確定：1）E點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)，且E點(diǎn)變形后移至E1（1.0503，1.001，1.997）。2）E點(diǎn)在EA方向的線應(yīng)變。3）E點(diǎn)在EA和EF所確定平面內(nèi)的角應(yīng)變。ABCDEGFOxyz1m1.5m2

7、mE1第23頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1解：1）E點(diǎn)發(fā)生的位移為位移分量表達(dá)式第24頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三由Cauchy方程確定E點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)將E點(diǎn)坐標(biāo)(1.5,1.2)代入上式得第25頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE12）由圖3.5可知：設(shè)(3.24a)第26頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3）求過(guò)E點(diǎn)在EA和EF所確定平面內(nèi)的角應(yīng)變。ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1第27頁(yè)，共36頁(yè)，202

8、2年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3.3 主應(yīng)變與主應(yīng)變方向Principal strain and its Direction 剪應(yīng)變等于零的面主平面(Principal Plane )主應(yīng)變方向(Direction of Principal Strain)主應(yīng)變(Principal Strain)主平面的法線方向主平面上的正應(yīng)變?cè)O(shè)在ABC面的法線方向有一矢量Sn，基本概念 (Basic Concepts)公式推導(dǎo)(Formula Derivation )zOACBxynSn在變形過(guò)程中，Sn的方向不變只有長(zhǎng)度變化為第28頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三因Sn與 在

9、一條直線上，故Sn與 的分量成正比例，即其中sx,sy,sz及 ， ， 分別為Sn及 在Ox,Oy,Oz軸上投影考慮到同時(shí)，根據(jù)第29頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三其中(where)第一應(yīng)變不變量(the first invariant of strains)第二應(yīng)變不變量(the second invariant of strains)第三應(yīng)變不變量(the third invariant of strains)有三個(gè)實(shí)根，即主應(yīng)變 ， ， 。 最大剪應(yīng)變maximum shear strain 第30頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三八面體剪

10、應(yīng)變Octahedral Shear Strain一點(diǎn)的Cauchy應(yīng)變張量 可以分解為球形應(yīng)變張量Spherical Strain Tensor偏斜應(yīng)變張量Deviatoric Strain Tensor應(yīng)變偏張量不變量the Invariant of the Deviatoric Strain Tensor第31頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三3.4 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程Compatibility Equations In Terms of Strains在我們所講的問(wèn)題范圍內(nèi)，物體變形后必須保持其整體和連續(xù)性，即變形的協(xié)調(diào)性。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)說(shuō)，要求位移函數(shù)u,v,w在其定義

11、域內(nèi)為單值連續(xù)函數(shù)。容易理解，若把一個(gè)矩形物體劃分為一些方格，如對(duì)應(yīng)變不加任何約束，即不要求協(xié)調(diào)性的話，就可能在變形后出現(xiàn)“撕裂”或“套疊”等現(xiàn)象。顯然，出現(xiàn)“撕裂”現(xiàn)象后位移函數(shù)出現(xiàn)了間斷，出現(xiàn)了“套疊”現(xiàn)象后位移函數(shù)不會(huì)是單值的。這些現(xiàn)象破壞了物體的整體性和連續(xù)性。因此，為保持物體的整體性，各應(yīng)變分量之間，必須要有一定的關(guān)系。第32頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三柯西公式表明 6個(gè)應(yīng)變分量是通過(guò)3個(gè)位移分量表示的 因此這6個(gè)應(yīng)變分量不是互不相關(guān)的， 必定存在著某種關(guān)聯(lián)。 如果以位移為未知函數(shù)，并任意給出一組“應(yīng)變分量”， 則柯西方程給出包含6個(gè)方程而只有3個(gè)未知函數(shù)的偏微分方程組， 由于方程的個(gè)數(shù)超出了未知函數(shù)的個(gè)數(shù)， 方程組可能是矛盾的 要使方程組不矛盾， 則6個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件第33頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三現(xiàn)推導(dǎo)二維情況下的變形協(xié)調(diào)方程將 和 分別對(duì)y和x求二階偏導(dǎo)數(shù)后相加，得即二維情況下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程圣維南方程三維為此，我們從柯西方程中消去位移分量第34頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)38分，星期三需要指出的是，如果位移函數(shù)是連續(xù)的，變形自然也