常微分方程 微分方程的向量場(chǎng)

1、常微分方程 微分方程的向量場(chǎng)1第1頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三將這個(gè)方向場(chǎng)稱為由微分方程所確定的向量場(chǎng)。就是該曲線上的點(diǎn) 處的切線斜率，曲線上點(diǎn)的切線斜率就是。的一條曲線，幾何意義: 解 就是通過點(diǎn) 解曲線在區(qū)域中任意點(diǎn) 的切線斜率是。如果我們?cè)趨^(qū)域內(nèi)每一點(diǎn) 都畫上一個(gè)以值為斜率中心在 點(diǎn)的線段，我們就得到一個(gè)方向場(chǎng).盡管我們不一定能求出方程的解， 但我們知道2第2頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三向量場(chǎng)中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的每一點(diǎn)都與從幾何上看，方程 的一個(gè)解 就是位于向量場(chǎng)在這一點(diǎn)的方向相切。方向行進(jìn)的曲線，求方程滿足初始值的解，的一

2、條曲線。就是求通過點(diǎn)形象的說，解就是始終沿著向量場(chǎng)中的3第3頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三因?yàn)?，可根?jù)向量場(chǎng)的走向來近似求積分曲線，同時(shí)也可根據(jù)向量場(chǎng)本身的性質(zhì)來研究解的性質(zhì)。在該點(diǎn)的向量相重合。 定理1.3L為的積分曲線的充要條件是：曲線在L上任一點(diǎn)，L的切線與所確定的向量場(chǎng) 向量場(chǎng)對(duì)于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質(zhì)極為重要， 4第4頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三例1.3.1 在區(qū)域 內(nèi)畫出方程 的向量場(chǎng)和幾條積分曲線。解：可以用計(jì)算各點(diǎn)斜率的方法在網(wǎng)格點(diǎn)上手工畫出向量場(chǎng)的方向可以得到向量場(chǎng)，但手工繪圖誤差較大。我們用Mapl

3、e 軟件包來完成。5第5頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三Maple指令：DEtoolsphaseportrait # 畫向量場(chǎng)及積分曲線(diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定義微分方程x=-2.2, # 指定x范圍y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 給出3個(gè)初始值dirgrid=17,17, # 定義網(wǎng)格密度arrows=LINE, # 定義線段類型axes=NORMAL; # 定義坐標(biāo)系類型類型6第6頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三回車后Maple就在 三條積分曲線。 的圖形，并給出了過點(diǎn)的網(wǎng)格點(diǎn)上畫出了

4、向量場(chǎng)的7第7頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三所謂圖解法就是不用求微分方程解的具體表達(dá)式，根據(jù)右端函數(shù)和向量場(chǎng)作出積分曲線的大致圖形。圖解法只是定性的反映積分曲線的一部分主要特征。該方法的思想十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒?求解的方程極少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對(duì)了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導(dǎo)意義。二、 積分曲線的圖解法8第8頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三方程所決定的曲線上任意一點(diǎn)處 方程的向量場(chǎng)的方向都相同。 稱為微分方程 我們把 所確定的曲線的等傾線。9第9頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三例如：微分方程的等傾線為的等傾線為零等傾線稱為極值曲線。10第10頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三拐點(diǎn)曲線：設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則一個(gè)點(diǎn)成為的拐點(diǎn)的必要條件是，11第11頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三例1.3.4 討論方程的拐點(diǎn)曲線。解：由方程得,令,得容易驗(yàn)證不是方程的積分曲線，在區(qū)域 上， 是方程的拐點(diǎn)曲線。 上， 在區(qū)域 平面分為 和 兩部分，它將 12第12頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星期三13第13頁，共14頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)19分，星