常微分方程 微分方程的向量場

1、常微分方程 微分方程的向量場1第1頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三將這個方向場稱為由微分方程所確定的向量場。就是該曲線上的點 處的切線斜率，曲線上點的切線斜率就是。的一條曲線，幾何意義: 解 就是通過點 解曲線在區(qū)域中任意點 的切線斜率是。如果我們在區(qū)域內每一點 都畫上一個以值為斜率中心在 點的線段，我們就得到一個方向場.盡管我們不一定能求出方程的解， 但我們知道2第2頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三向量場中的一條曲線，該曲線所經過的每一點都與從幾何上看，方程 的一個解 就是位于向量場在這一點的方向相切。方向行進的曲線，求方程滿足初始值的解，的一

2、條曲線。就是求通過點形象的說，解就是始終沿著向量場中的3第3頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三因為，可根據向量場的走向來近似求積分曲線，同時也可根據向量場本身的性質來研究解的性質。在該點的向量相重合。 定理1.3L為的積分曲線的充要條件是：曲線在L上任一點，L的切線與所確定的向量場 向量場對于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質極為重要， 4第4頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三例1.3.1 在區(qū)域 內畫出方程 的向量場和幾條積分曲線。解：可以用計算各點斜率的方法在網格點上手工畫出向量場的方向可以得到向量場，但手工繪圖誤差較大。我們用Mapl

3、e 軟件包來完成。5第5頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三Maple指令：DEtoolsphaseportrait # 畫向量場及積分曲線(diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定義微分方程x=-2.2, # 指定x范圍y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 給出3個初始值dirgrid=17,17, # 定義網格密度arrows=LINE, # 定義線段類型axes=NORMAL; # 定義坐標系類型類型6第6頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三回車后Maple就在 三條積分曲線。 的圖形，并給出了過點的網格點上畫出了

4、向量場的7第7頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三所謂圖解法就是不用求微分方程解的具體表達式，根據右端函數和向量場作出積分曲線的大致圖形。圖解法只是定性的反映積分曲線的一部分主要特征。該方法的思想十分重要。因為能夠用初等方法 求解的方程極少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對了解該方程所反映的實際現象的變化規(guī)律就有很重要的指導意義。二、 積分曲線的圖解法8第8頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三方程所決定的曲線上任意一點處 方程的向量場的方向都相同。 稱為微分方程 我們把 所確定的曲線的等傾線。9第9頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三例如：微分方程的等傾線為的等傾線為零等傾線稱為極值曲線。10第10頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三拐點曲線：設有連續(xù)的偏導數，則一個點成為的拐點的必要條件是，11第11頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三例1.3.4 討論方程的拐點曲線。解：由方程得,令,得容易驗證不是方程的積分曲線，在區(qū)域 上， 是方程的拐點曲線。 上， 在區(qū)域 平面分為 和 兩部分，它將 12第12頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三13第13頁，共14頁，2022年，5月20日，5點19分，星