差分方程方法與應用應用舉例

1、差分方程方法與應用應用舉例第1頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三差分方程建模處理動態(tài)的離散型的問題處理對象雖然涉及的變量(如時間)是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型(微分方程)化為離散型(差分方程)問題 第2頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型2 銀行復利問題3 抵押貸款買房問題 4 差分形式的阻滯增長模型5 減肥計劃節(jié)食與運動6 按年齡分組的種群增長7 差分基礎(chǔ)知識第3頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三1 蛛 網(wǎng) 模 型gx0y0P0fxy0

2、xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格消費者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0) 平衡點一旦xk=x0，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 第4頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三xy0fgy0 x0P0設(shè)x1偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0 x0P0fg曲線斜率蛛 網(wǎng) 模 型第5頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方 程 模 型方程模型與蛛網(wǎng)

3、模型的一致第6頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 商品數(shù)量減少1單位, 價格上漲幅度 價格上漲1單位, (下時段)供應的增量考察 , 的含義 消費者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋第7頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使 盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變2. 使 盡量小，如 =0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直第8頁，共54頁，2022年

4、，5月20日，4點45分，星期三模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件第9頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三方程通解(c1, c2由初始條件確定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件 放寬了模型的推廣第10頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三2 銀行復利問題 背景所付利息一年內(nèi)復合n次，即把一年分n個相等的時間段，而所付利息為每一時間段的未尾 .給出一個可以

5、預測在任意給定時間的帳目余額 分析帳目余額與時間直接相關(guān)，而時間是離散的本期結(jié)束時的總存款等于前一時期余下的本利，及本利得到的利息與第本期內(nèi)新存入的存款之和 任何時候都可以存款第11頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三模型假設(shè)1. 儲蓄的年利率為 r2. 任何時候都可以存款，但存款利息只從下一時期開始計算，如時間段開始第一天的存款即開始計算利息 t期結(jié)束時的總存款 記號第t期內(nèi)的新存款 第12頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三模 型注：上式中n=2時，相應于半年的復利，而n=365則是相應于逐日計算的復利第13頁，共54頁，2022年，5月20日，4點

6、45分，星期三3 抵押貸款買房問題 背景 每戶人家都希望有一套屬于自己的住房，但又沒有足夠的資金一次買下。這就產(chǎn)生了貸款買房問題。某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則理想的房產(chǎn)廣告：“名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優(yōu)惠價40.2萬元。若不能一次性付款也沒關(guān)系，只付首期款為15萬元，其余每月1977.04元等額償還，15年還清。(公積金貸款月利息為3.675）。問題公寓原來價多少？每月等額付款如何算出來？第14頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三假設(shè)貸款期限內(nèi)利率不變 銀行利息按復利計算 記號A（元）：貸款額（本金） n（月）：貨款期限r(nóng) ：月利

7、率B(元) :月均還款額 Ck：第k個月還款后的欠款第15頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三模型求解代入n=180、 r=0.003675、 B=1977.04結(jié)果： A=260000（元）一次性優(yōu)惠價9.8折還款總額 ？ 利息負擔總額 ？第16頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4 差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關(guān))離散形式x(t) 某種群 t 時刻的數(shù)量(人口)yk 某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN

8、 ？y*=N 是平衡點第17頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程 (1)的平衡點y*=N討論 x* 的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點第18頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三(1)的平衡點 x*代數(shù)方程 x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性第19頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x* 穩(wěn)定x* 不穩(wěn)定另一

9、平衡點為 x=0不穩(wěn)定第20頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三01/2101的平衡點及其穩(wěn)定性第21頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三初值 x0=0.2數(shù)值計算結(jié)果b 3.57, 不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象4倍周期收斂第25頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b第26頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三5 減肥計劃節(jié)食與運動背景 多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（

10、吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重; BMI30 肥胖.第27頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第28頁，共54頁，2022年，5月2

11、0日，4點45分，星期三基本模型w(k) 第k天(末)體重c(k) 第k天吸收熱量 代謝消耗系數(shù)(因人而異): 因運動,每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡) (因運動項目而異)t: 每天運動時間(小時)第29頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的

12、方案。第30頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡基本模型w(k) 第k周(末)體重c(k) 第k周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡 w=100千克不變第31頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第32頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 第二階段：每

13、周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第33頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克。第34頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三運動 t=24 (每周跳舞8小時或自行車10小時), 14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡): 跑步 跳舞 乒乓 自行車(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動時間(小時)基

14、本模型第35頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變 不運動 運動(內(nèi)容同前)第36頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三6 按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2, , n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個體數(shù)量為對象 第i 年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi 第i 年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- d

15、i第37頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三假設(shè)與建模xi(k)時段k第i 年齡組的種群數(shù)量按年齡組的分布向量預測任意時段種群按年齡組的分布Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個bi0)第38頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識 L矩陣存在正單特征根1， 若L矩陣存在bi, bi+10, 則 P的第1列是x*特征向量, c是由bi, si, x(0)決定的常數(shù) 且解釋L對角化第39頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關(guān)。

16、 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， 稱固有增長率與基本模型比較3）=1時 各年齡組種群數(shù)量不變第40頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 1個個體在整個存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析存活率 si是同一時段的 xi+1與 xi之比（與si 的定義 比較） 3）=1時第41頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三處一階向前差分 7 差分基礎(chǔ)知識一 差分 1.概念 （h為非零實數(shù)稱為步長 ）處k階向前差分 第42頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三處一階向后差分 處k階向后差分 處一階中心差分 處k階中心差分 第43頁，共54頁，2022年，5

17、月20日，4點45分，星期三2. 性質(zhì)第44頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三二 常微分方程化為差分方程 用導數(shù)近似式替代導數(shù)或者說用適當近似式替代含有導數(shù)的表達式，可以得到這些近似值滿足的代數(shù)方程-差分方程 以二階常微分方程邊值問題為例 目的求差分法第45頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三一般k階常系數(shù)線性差分方程為差分方程第46頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三三 偏微分方程化為差分方程以二階橢圓方程的邊值問題為例用兩族平行坐標軸的直線 正方形網(wǎng)格把區(qū)域G剖分 第47頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三節(jié)點可分三類 1通過該節(jié)點的網(wǎng)格線上的相鄰四網(wǎng)點都在G內(nèi),記 G12在G內(nèi)部但不屬于G1 ，記G23恰在邊界上記G3 確定各節(jié)點處解的近似值uij，需要建立代數(shù)方程，每一節(jié)點建立一個代數(shù)方程任務第48頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三(i，j-1) (i，j+1) (i-1，j)(i，j)(i+1，j)偏導數(shù)近似式替代第49頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三差分方程 N (i，j) E第50頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 偏導數(shù)近似式替代第51頁，共54頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三四 二階常