圓錐曲線存在性問題

1、精心整理精心整理圓錐曲線中的存在性問題一、基礎(chǔ)知識1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點(diǎn)，線，圖形或是參數(shù)）存在，并用代數(shù)形式進(jìn)行表示。再結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，若能求出相應(yīng)的要素，則假設(shè)成立；否則即判定不存在2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替（1）點(diǎn)：坐標(biāo)（x,y）（2）直線：斜截式或點(diǎn)斜式（通常以斜率為未知量）（3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程3、解決存在性問題的一些技巧：（1）特殊值（點(diǎn)）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。（2）核心變量的選?。阂驗榻鉀Q存在性問題的核心在

2、于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去。（3）核心變量的求法：直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程（組），運(yùn)用方程思想求解。二、典型例題：例1：已知橢圓C:蘭+蘭=i(ab0)的離心率為遠(yuǎn)，過右焦點(diǎn)F的直a2b23線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)/的斜率為1時，坐標(biāo)原點(diǎn)O到/的距離為至。2求a,b的值C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F旋轉(zhuǎn)到某一位置時，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)和l的方程，若不存在，說明理由解：e=3:b:c=、；

3、3:邁:1a3則a=、，3c,b=Qc，依題意可得：F(c,0)，當(dāng)l的斜率為1時d=旦=解得：c=10-1b0)的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩a2b22點(diǎn)，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)，已知AFB的周長為8，橢圓的離心率為112求橢圓r的方程是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓r恒有兩個交點(diǎn)P,Q，且OP丄OQ?若存在，求出該圓的方程；若不存在,請說明理由解：由AFB的周長可得：4a=8na=21橢圓r:乂+y2=14(2)假設(shè)滿足條件的圓為x2+y2=r2，依題意，若切線與橢圓相交,則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi)若直線PQ斜率存在，設(shè)PQ:y=kx+m，P(x,y),Q(x,y)1122PQ與圓相切.

4、dPQ與圓相切.dO-lm=rum2=rk2+12+1)OP丄OQnOP-OQ0即xx+yy01212聯(lián)立方程：Tjkx+m(聯(lián)立方程：TnU+4k2丿x2+8kmx+4m2-40 x2+4y245m2一4k2一4=0對任意的m,k均成立將m將m2=r2(k2+1)代入可得:5r2(k2+1)一4(k2+1)=0存在符合條件的圓，其方程為：X2+y2=5當(dāng)PQ斜率不存在時，可知切線PQ為x=255若PQ若PQ:x=25，貝IP|丈,?:.0P-OQ=0.PQ:x=2b0)經(jīng)過點(diǎn)C&3),離心率為1，左，右焦點(diǎn)分別為a2b22F(-c,0)和F(c,0)12求橢圓c的方程設(shè)橢圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)

5、為A，過點(diǎn)M(-4,0)作斜率為k(k豐0)的直線l，交橢圓C于B,D兩點(diǎn)(B在M,D之間)，N為BD中點(diǎn)，并設(shè)直線ON的斜率為k1證明：k-k為定值1是否存在實數(shù)k，使得FN丄AD?如果存在，求直線/的方程；如果不存在，請說明1理由解：(1)依題意可知：e=-=可得：a:b:c=2:J3:1a2:橢圓方程為：二+啟=1，代入)可得：c=14c23c2：橢圓方程為：才+=1(2)證明：設(shè)B(x,y),D(x,y)，線段BD的中點(diǎn)N(x,y)112200設(shè)直線l的方程為：y=k(x+4)，聯(lián)立方程：y_+化為:（3+4k2）x2+32k2X+64k212=03x2+4y2=12由A0解得：k20

6、解得：k24且X+X=,XX=124k2+3124k2+3假設(shè)存在實數(shù)k，使得F1N丄AD，則%-kAD=-1即4k2x+16k2二2二（4k2一1）x+8k2一2nx=2-8k2b0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P1,3在橢圓Ea2b2I2丿上，直線1：3x-4y-10=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓E的長半軸長為半0徑的圓相切求橢圓E的方程過點(diǎn)F的直線1與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q，問是否存在直線1,使得四邊形PABQ的對角線互相平分？若存在，求出1的方程；若不存在，說明理由解：(1)1與圓相切0將p1斗代入橢圓方程蘭+22=1可得：b=73I2丿4b2橢圓方程為：乂+21

7、=143(2)由橢圓方程可得：F(1,0)設(shè)直線1:y=k(x-1)，則pQ:y一3=k(X一1)聯(lián)立直線1與橢圓方程：y-kx-1消去y可得：(4k2+3)x2-8k2X+4k2-12=03x2+4y2=12同理：聯(lián)立直線PQ與橢圓方程:3b0)的左右焦點(diǎn)分別為F,F，右頂點(diǎn)為A，TOC o 1-5 h za2b212P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且PFPF的最大值的取值范圍是c2,3c2，112L其中c=；a2-b2求橢圓C的離心率e的取值范圍1設(shè)雙曲線C以橢圓C的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，B是雙曲線C212在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)e取得最小值時，試問是否存在常數(shù)九(九0)，使得ZBAF=XZBFA

8、恒成立？若存在，求出九的值；若不存i在，請說明理由解:設(shè)P(x,y),F(-c,0),F(c,0)12由乂+蘭二1可得：y2二b2-冬x2代入可得:a2b2a2當(dāng)e=1時，可得：a=2c,b仝c2雙曲線方程為乂-蘭=1,A(2c,0),F(-c,0)，設(shè)B(x,y),x0,y0c23c210000當(dāng)AB丄x軸時，00tanBFA=3c=1.ZBFA丄因為ZBAF=-13c1412所以九二2，下面證明九二2對任意B點(diǎn)均使得ZBAF=XZBFA成立11考慮tanZBAF=-k=-yo,tanZBFA=k=yo1ABx-2c1BF1x+c00由雙曲線方程乂-2L=1，可得：y2=3x2c23c200

9、結(jié)論得證/.X=2時，ZBAF=XZBFA恒成立11例6:如圖，橢圓E:乂+21=1(ab0)的離心率是連，過點(diǎn)P(0,1)的a2b22動直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2邁(1)求橢圓E的方程(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得對于任意直線1，闕嘀恒成立？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解:(1)解:(1)c邁e=a2:.a:b:c=；2:1:1.橢圓方程為工+蘭=12b2b2由直線1被橢圓E截得的線段長為2遼及橢圓的對稱性可得:點(diǎn)(21)在橢圓上橢圓方程為寧+琴=1(2)當(dāng)1(2)當(dāng)1與x軸平行時，由對稱

10、性可得:PA=PB圈=開=1即創(chuàng)=的Q在AB的中垂線上，即Q位于y軸上，設(shè)Q(0,y)當(dāng)i與x軸垂直時，則a忑),bC-72)PAPB=、PAPB=、2-1可解得y=1或y=20y+V2/2+10y0P,Q不重合y=2P,Q不重合y=20下面判斷Q(0,2)能否對任意直線均成若直線1的斜率存在，設(shè)l:y=kx+1，QBxA(x,y),B(x,y)1122聯(lián)立方程可得:x2聯(lián)立方程可得:x2+2y2=4y=kx+1nC+2k2)x2+4kx-2=0由回-QB由回-QB|PB|只需證明k=knk+k=0QAQBQAQBy-2y-2x(y-2)+x(y-2)k+k=厶+2=2_112QAQBxxxx

11、1212PA可想到角平分線公式，即只需證明QP平分ZBQAxy+xy-2(x+x)-1-212xx12因為A(x,y),B(x,y)在直線y=kx+1上,人=+1代入可得1122Iy=kx+122聯(lián)立方程可得：|x2+2y2=4n(1+2k2)x2+4kx-2=0Iy=kx+1k+k二0成立QAQBQP平分ZBQA由角平分線公式可得：里=旦|QB|PB|例7：橢圓C:a2+備=心b)的上頂點(diǎn)為A,(3,(是C上的一點(diǎn),以AP為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F求橢圓C的方程動直線1與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，問：在x軸上是否存在兩個定點(diǎn)，它們到直線1的距離之積等于1?若存在，求出這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)；如

12、果不存在，請說明理由解：由橢圓可知：A(o,b),F(c,0)AP為直徑的圓經(jīng)過FFA丄FP由pf4b在橢圓上，代入橢圓方程可得：33丿橢圓方程為乂+y2=12(2)假設(shè)存在x軸上兩定點(diǎn)M(九,0),M(九,0)，(九b0)的焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離為也9,a2b25離心率為2遼，拋物線G:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合，斜率為k的直線1過G的焦點(diǎn)與E交于A,B，與G交于C,D(1)求橢圓E及拋物線G的方程為常數(shù)？若存在，求出九的值;(2)是否存在常數(shù)九，使得丄+厶為常數(shù)？若存在，求出九的值;|AB|CD|若不存在，請說明理由解:(1)設(shè)E,G的公共焦點(diǎn)為F(c,0)(2)設(shè)

13、直線1:y=k(x-2)，A(x,y),B(x,y),C(x,y),D(x,y)11223344與橢圓聯(lián)立方程：Jy=k(x-2)(與橢圓聯(lián)立方程：Jn5k2+1丿x2-20k2x+20k2-5=0 x2+5y2=5直線與拋物線聯(lián)立方程：J直線與拋物線聯(lián)立方程：Jnk2x2一(4k2+8)x+4k2=088(k2+1)CD=x+x+4=34k2.x+x二圧+*cd是焦點(diǎn)弦4k2若命+侖為常數(shù)，則20+心4例10:如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓c:乂+蘭=1(ab0)的a2b2離心率為總,直線1與x軸交于點(diǎn)E,與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線1垂直于x1垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的右焦點(diǎn)時，弦

14、AB的長為空63（1）求橢圓C的方程（2）是否存在點(diǎn)E，使得丄+丄為定EA2EB2值？若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由解：依題意可得：e二C出a:b:c=朽:1:邁a3當(dāng)1與x軸垂直且E為右焦點(diǎn)時，|AB|為通徑（2）思路：本題若直接用用字母表示A,e,B坐標(biāo)并表示EB，則所求式子較為復(fù)雜，不易于計算定值與E的坐標(biāo)。因為E要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出E點(diǎn)及定值，再取判定（或證明）該點(diǎn)在其它直線中能否使得丄+丄為定值。EA2EB2解：（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，設(shè)E（x,0）若直線AB與x軸重合，則AC/6,o）BC/6,0）若直線|AB|與x軸垂直，則A,B關(guān)

15、于x軸對稱(x2+6)C-x2)=6(x2-6丄，可解得:00設(shè)(x2+6)C-x2)=6(x2-6丄，可解得:00TOC o 1-5 h z2x2+126二n2-6)26-x20oo若存在點(diǎn)E，則EC3,0)。若EC3,0)，設(shè)A(x,y),B(x,y)1122設(shè)AB:x二my+護(hù),與橢圓C聯(lián)立方程可得：壯+眇=6,消去y可得:x=my+-J31EA2/1、（31EA2/1、（3一x）+y2iim2y2+y211=/1、Cm21同理：1EB21、+l）y22代入y+代入y+y1223m一冇y1y2一3可得:m2+3所以+為定值，定值為2|EA|2|EB|2若ECp3,0），同理可得+為定值2

16、|EA|2|EB|2綜上所述：存在點(diǎn)E.3,0），使得+L為定值2|EA|2|EB|2三、歷年好題精選1、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E:蘭+21=心b0）過a2b2點(diǎn)p近，離心率為1，過直線l:x=4上一點(diǎn)M引橢圓E的兩條切I2丿2線，切點(diǎn)分別是A,B（1）求橢圓E的方程（2）若在橢圓乂+2!=i（ab0）上的任一點(diǎn)N（x,y）處的切線方程a2b2oo是豊+注=1，求證：直線AB恒過定點(diǎn)C，并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)a2b2（3）是否存在實數(shù)九，使得|Aq+|Bq=x|Aq|Bq恒成立？（點(diǎn)c為直線ab恒過的定點(diǎn)），若存在，求出九的值；若不存在，請說明理由2、已知橢圓C:蘭+21=1（ab0

17、）的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)a2b2重合，d1,3是橢圓C上的一點(diǎn)I2丿（1）求橢圓C的方程（2）設(shè)a,B分別是橢圓C的左右頂點(diǎn)，P,Q是橢圓C上異于A,B的兩個動點(diǎn)，直線AP,AQ的斜率之積為-1，設(shè)APQ與BPQ的面積分別4為S,S，請問：是否存在常數(shù)X（XeR），使得S=九S恒成立？若存在,1212求出九的值，若不存在，請說明理由3、已知橢圓一l（ab0）經(jīng)過點(diǎn)丿，離心率為入，左，右焦點(diǎn)分別為a2b22F（-c,0）和F（c,0）12（1）求橢圓C的方程（2）設(shè)橢圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A，過點(diǎn)M（-4,0）作斜率為k（k主0）的直線l，交橢圓C于B,D兩點(diǎn)（B在M,D之間），N為

18、BD中點(diǎn)，并設(shè)直線ON的斜率為k1證明：k-k為定值1是否存在實數(shù)k，使得FN丄AD?如果存在，求直線l的方程；如果不存在，請說明1理由4、已知圓M：（+、：5）+y2-36，定點(diǎn)N（5,0），點(diǎn)P為圓M上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足NP2NQ,GQ-NP0（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程_（2）過點(diǎn)（2,0）作直線1,與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OS-OA+OB，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OASB的對角線相等（即O羋|AB|）?若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由5、（2014，福建）已知雙曲線E:蘭-211（a0,b0）的兩條漸近線分a2b2別為l:y2

19、x，l:y-2x12(1)求雙曲線E的離心率如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l分別交直線/,/于A,B兩點(diǎn)(A,B12習(xí)題答案:1、解析：（1）e=na:b:c=2:J3:1a2橢圓過點(diǎn)P苗邁2丿+=1，再由a:b:c=2:富3:1解得：a=2,b=訂3a24b2,橢圓方程為：寧+號=1直線上一點(diǎn)M(4,t)，依題意可(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x,y)直線上一點(diǎn)M(4,t)，依題意可得:兩條切線方程為:罕+単=143，由切線均過M可得:XX+巧=143A(x,y),B(x,y)均在直線11223因為兩點(diǎn)唯一確定一條直線AB:x+3-y=1，即過定點(diǎn)(1,0)，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)3）AC+BC|=X

20、|AC3）AC+BC|=X|AC卜|BC|。九=AC+BCAC-BC11+ACBC聯(lián)立方程：0,y01212+121212+1212,3X4，使得|AC+BCX|AC|-|BC|恒成立2、解析：拋物線y24X的焦點(diǎn)為(I,。).C-1依題意可知:19依題意可知:19+0解得：k21且x+x=,xx=64k2-324124k2+3124k2+3假設(shè)存在實數(shù)k，使得F1N丄AD，則k-k=-11FNAD即4k2x+16k2=(4k2-1)x+8k2-2nx=-2-8k2-2222因為D在橢圓上，所以xe-2,2，矛盾2所以不存在符合條件的直線l4、解析：由NP=2NQGQNP=0可得Q為PN的中點(diǎn)，且GQ丄PNGQ為PN的中垂線-PG=#NG點(diǎn)的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，其半長軸長為a=3，