專題6微分中值定理及其應(yīng)用nana考研

1、17 堂課搞定高數(shù)重難點(diǎn)授課老17 堂課搞定高數(shù)重難點(diǎn)授課老師教6 微分中值定理及其應(yīng)用定理）如果（1）在閉區(qū)間（2）在開區(qū)間（3）fb)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f( 則在日中值定理）如果（1）在閉區(qū)間（2）在開區(qū)間6 微分中值定理及其應(yīng)用定理）如果（1）在閉區(qū)間（2）在開區(qū)間（3）fb)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f( 則在日中值定理）如果（1）在閉區(qū)間（2）在開區(qū)間則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f(b) f(a) ()( 有 ，則在推論 如果在中值定理（1）在閉區(qū)間（2）在開區(qū)間在(少存在一點(diǎn) fa) f .FF 1（一）a0 L a 求證：方程xnn1 L 0【例 1】nn01n至少有一個實(shí)根（二） ba（

2、三）f 則)f,（一）a0 L a 求證：方程xnn1 L 0【例 1】nn01n至少有一個實(shí)根（二） ba（三）f 則)f,fx0 231213f f( ) f,x1arctanx 2則arctan1 3)223x0 xxx 3故應(yīng)選2（四） 證明存在一個點(diǎn)1. 分析法（還原法（四） 證明存在一個點(diǎn)1. 分析法（還原法) g( )x, f (x), f2. 微分方程法欲證： 1）求微分方程 ( , yy 的通解H2）設(shè)輔助函數(shù)： x, f(2 f (3 . 試證必存在 f( f.例】 ,上連續(xù),)內(nèi)可導(dǎo),f 1 ,求證: f ) f 1. 分析法（還原法 f f 要證 0，即2 ( )( 3

3、使 2 ( ) 2 f f x ，這里g.因此，構(gòu)造輔助函g x x2f2x 2.欲證f f )，解微分方程y使 2 ( ) 2 f f x ，這里g.因此，構(gòu)造輔助函g x x2f2x 2.欲證f f )，解微分方程y 2y,得其通解x函數(shù) f 【證】令f x g(0 , g(1 定理知， 使)( 由 2f 0，原題得證【注】（1）欲證 n )n F（2）欲證 n )令;這里n 為正整數(shù)b) 03設(shè)函數(shù)上連續(xù),在f 內(nèi)可導(dǎo)， 0.使【分析】欲證 0.x 造輔助函數(shù) x x exf 【證】令x F 且Fb) 0，F(xiàn)( e ( ) 0但4 故原題得證【注】 x F x F欲)x F （2）欲證

4、故原題得證【注】 x F x F欲)x F （2）欲證 f x)( f F令F f x 112】 (0,1)試證 （1) 存在, ,使f （2) 對任意實(shí)數(shù)，存在 0 ,使 1【證】 （1）令x 1) 1 1 011 1021由零點(diǎn)定理知( ，使F( 2f ( ( 1，只要證f 1 （2）因此，令x x x x exfx 且(0 ( 0 ，使( ，5從而有 f 1f 故(0 】 從而有 f 1f 故(0 】 f )試證存在1【證】 ) (2 (因此，F(xiàn) x ( 5】設(shè)奇函數(shù) ,12f （1）存在(0, ) f( ;（2）存在 ,1),使 【（1）因?yàn)?,1f(0 因?yàn)楹瘮?shù)上可導(dǎo)，根據(jù)微分中值定

5、理，存在 ff(1 f( 欲證 ( )1,考慮fx 1,令f則解該線性方程得其通解yx 是偶函數(shù)，故 )則可導(dǎo)，且 ( )根定理，存在(, 1,1)，使得F( .F e且e 0，得 6【例6】設(shè)函數(shù)f x在上連續(xù), 在f f( 試證：在內(nèi)至少有一點(diǎn),.g ff 【證】g f f (a) g(b)f(【例6】設(shè)函數(shù)f x在上連續(xù), 在f f( 試證：在內(nèi)至少有一點(diǎn),.g ff 【證】g f f (a) g(b)f()因此令x f(a)g x F( 則Fb0。即f f(a) g(bf(0（五）證明存在兩個中值點(diǎn) , ) ,使 ( f（1） 在同一區(qū)間上用兩次中值定理（2）要求 將區(qū)間, 同號，試證

6、存在 【例 1】 在上連續(xù), , .內(nèi)可導(dǎo),f f .日中知定理知【證fa) f 中值定理知， f( )f )f f f b) 1 試證存在2設(shè)(上連續(xù)內(nèi)可導(dǎo)7 1, 使【證】只要證明ef)日中值定理得(由 日中值定理得 令x x (，F(xiàn)a) e 即從而有 ef )同號，fb1】在(,內(nèi)可導(dǎo)，其存在 1, 使【證】只要證明ef)日中值定理得(由 日中值定理得 令x x (，F(xiàn)a) e 即從而有 ef )同號，fb1】在(,內(nèi)可導(dǎo)，其存在 f, ()ef ( 只要證. 【證】由 e ebfa (12e 即1e.18(0 1a0與b0求證：存在滿足0 1的使 .（逆推法）設(shè) cf0) f (0 c

7、(1 c) fc1c(0 1cf0) (0)a (0 1a0與b0求證：存在滿足0 1的使 .（逆推法）設(shè) cf0) f (0 c(1 c) fc1c(0 1cf0) (0)a bbf)1aaba若 0原題得證，由 0解得c.11a【證】 aaab f faa f，使 (11(1 0) )在區(qū)間, 上連續(xù)，在1. b f cacb證明存在f f上具有二階導(dǎo)數(shù)且fb)0(b ( )，證明存在和 使f( 及f( 上具有2f(103.(20171,2設(shè)函x（）方程 內(nèi)至少存在一個實(shí)根x f( (x)2 0內(nèi)至少存在兩個不同的實(shí)根（）上二階可導(dǎo)，fb)0, 且存在 (b 使 .試證4.設(shè) 95.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 , 同號，證明：在一點(diǎn)f) f 16.設(shè)5.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，