單因素試驗的統(tǒng)計分析

1、第十二章 單因素試驗的統(tǒng)計分析第一節(jié) 對比法和間比法試驗的統(tǒng)計分析第二節(jié) 完全隨機和隨機區(qū)組試驗的統(tǒng)計分析第三節(jié) 拉丁方試驗的統(tǒng)計分析第四節(jié) 試驗處理的合并比較第一節(jié) 對比法和間比法試驗的統(tǒng)計分析一、對比法試驗結果的統(tǒng)計分析二、間比法試驗結果的統(tǒng)計分析一、對比法試驗結果的統(tǒng)計分析百分比法：設對照(CK)的產量(或其它性狀)為100，然后將各處理產量和對照相比較，求出其百分數。但因處理作順序排列不能估計無偏的試驗誤差，難以進行假設測驗和統(tǒng)計推斷。例12.1 有A、B、C、D、E、F 6個玉米品種的比較試驗，設標準品種CK，采用3次重復的對比設計，田間排列在表12.1第1列基礎上作階梯式更替，此處

2、圖形從略。小區(qū)計產面積40m2，所得產量結果列于表12.1，試作分析。表12.1首先將各品種在各重復中的小區(qū)產量相加，得面積上的產量總和 。然后，將各個 除以重復次數得各小區(qū)平均產量。再計算各品種產量對鄰近CK產量的百分數： 例如 或 其余品種皆類推。表12.1 玉米品比試驗(對比法)的產量結果分析 總和平均品種名稱各重復小區(qū)產量(kg)對鄰近CK的%CK37.036.535.5109.036.3100.0A36.436.834.0107.235.798.3B38.037.034.5109.536.5119.3CK31.530.829.591.830.6100.0C36.535.031.010

3、2.534.2111.7D35.232.030.197.332.4106.7CK30.632.927.791.230.4100.0E28.425.823.677.825.985.3F30.629.728.388.629.590.4CK35.232.330.598.032.7100.0計算各品種對鄰近CK的百分數是為得到一個比較精確的、表示各品種相對生產力的指標。相對生產力100%的品種，其相對生產力愈高，就愈可能顯著地優(yōu)于對照品種。但是決不能認為相對生產力100%，所有品種都是顯著地優(yōu)于對照的。由于誤差的存在，一般田間試驗很難察覺處理間差異在5%以下的顯著性。對于對比法(以及后面的間比法)的試

4、驗結果，要判斷某品種的生產力確優(yōu)于對照，其相對生產力一般至少應超過對照10%以上；相對生產力僅超過對照5%左右的品種，宜繼續(xù)試驗，再作結論。當然，由于不同試驗的誤差大小不同，上述標準僅具有參考性質。在本例，B品種產量最高，超過對照19.3%；C品種占第二位，超過對照11.7%；大體上可以認為它們確是優(yōu)于對照。D品種占第三位，僅超過對照6.7%；再查看各重復的產量，有兩個重復(和)D超過CK，一個重復()D低于CK；因而顯然不能作出D品種確優(yōu)于對照的結論。作物產量習慣于用每畝產量表示。其折算方法，先算得對照區(qū)的總產量。然后將對照區(qū)總產量乘以化對照區(qū)總產量為畝產量的改算系數cf，得到對照的畝產量。

5、(121)中的A是小區(qū)計產面積，以m2為單位；n是小區(qū)數目。最后可用各品種的相對生產力乘對照的畝產量，即得各品種的畝產量。(121) 如本例，由表12.1可算得對照區(qū)總產量=109.9+91.8+91.2+98.0=390.0(kg)，cf=666.67/(1240)=1.3889，所以 對照種畝產量=390.01.3889=541.7(kg) A品種畝產量=541.798.3%=532.5(kg) ，依此類推。本例題的田間排列方法也可以按第二章第五節(jié)所提排列，即A，CK，B，C，CK，D，E，CK，F，這樣可以減少一個對照小區(qū)，分析方法相同。二、間比法試驗結果的統(tǒng)計分析1：計算前后兩個對照產

6、量的平均數 。2：計算各品系產量相對應 產量的百分數，即得各品系的相對生產力。間比法設計中，采用推廣良種作為對照計算肥力指數調整供試家系產量，所以在參試家系數目較多時一般常用兩個或兩個以上的對照品種。 例12.2 有12個小麥新品系鑒定試驗，另加一推廣品種CK，采用5次重復間比法設計，田間排列在表12.2第1列基礎上按階梯式更替，小區(qū)計產面積70m2，每隔4個品系設一個CK，所得產量結果列于表12.2，試作分析。表12.2 小麥品系鑒定試驗(間比法)的產量結果與分析總 和平 均對 照對品 系各重復小區(qū)產量(kg)的%CK135.940.528.231.929.0165.533.1A37.139

7、.434.036.935.8183.136.633.3109.9B39.842.036.841.428.9188.937.833.3113.5C38.239.925.433.128.9165.533.133.3 99.4D37.343.239.134.934.0188.537.733.3113.2CK233.042.129.034.628.8167.533.5E38.040.234.539.837.5190.038.034.2111.1F36.134.332.827.129.7160.032.034.2 93.6G37.836.341.334.239.9189.037.834.2110.5H3

8、4.039.127.334.728.9164.032.834.295.9CK336.040.131.537.829.6175.035.0I29.038.140.034.331.1172.534.533.7102.4J36.336.038.239.137.4187.037.433.7111.0K43.034.241.239.936.2194.538.933.7115.4L29.423.030.834.132.9150.530.133.7 89.3CK435.238.727.432.528.2162.032.4首先，計算前后兩個對照產量的平均數 如A、B、C、D 4品系的=(33.1+33.5)/

9、2=33.3(kg)，然后，計算各品系產量相對應產量的百分數，即得各品系的相對生產力。如品系A的相對生產力(%)= 100=109.9，等。結果表明，相對生產力超過對照10%以上的品系有K、B、D、E、J、G 6個，其中K品系增產幅度最大，達15.4%。間比法設計中，采用推廣良種作為對照計算肥力指數調整供試家系產量，所以在參試家系數目較多時一般常用兩個或兩個以上的對照品種。第二節(jié) 完全隨機和隨機區(qū)組試驗的統(tǒng)計分析一、完全隨機試驗設計的統(tǒng)計分析二、隨機區(qū)組試驗結果的分析示例三、隨機區(qū)組的線性模型與期望均方四、隨機區(qū)組試驗的缺區(qū)估計和結果分析一、完全隨機試驗設計的統(tǒng)計分析完全隨機試驗設計是指每一供

10、試單位都有同等機會(等概率)接受所有可能處理的試驗設計方法，沒有局部控制，但要求在盡可能一致的環(huán)境中進行試驗。它用于估算試驗誤差的自由度最多，統(tǒng)計顯著性要求的F 值最小。 二、隨機區(qū)組試驗結果的分析示例隨機區(qū)組試驗結果的統(tǒng)計分析，可應用第六章所述兩向分組單個觀察值資料的方差分析法。這里可將處理看作A因素，區(qū)組看作B因素，其剩余部分則為試驗誤差。設試驗有 個處理， 個區(qū)組，則其自由度和平方和的分解式如下： 總自由度=區(qū)組自由度+處理自由度+誤差自由度 (123) (122)y表示各小區(qū)產量(或其他性狀)， 表示區(qū)組平均 數， 表示處理平均數， 表示全試驗平均數。 總平方和=區(qū)組平方和+處理平方和

11、+試驗誤差平方和 例12.3 有一小麥品比試驗，共有A、B、C、D、E、F、G、H 8個品種(k =8)，其中A是標準品種，采用隨機區(qū)組設計，重復3次(n =3)，小區(qū)計產面積25m2，其產量結果列于表12.3，試作分析。表12.3 小麥品比試驗(隨機區(qū)組)的產量結果(kg) 品 種區(qū) 組A10.99.112.232.210.7B10.812.314.037.112.4C11.112.510.534.111.4D9.110.710.129.910.0E11.813.916.842.514.2F10.110.611.832.510.8G10.011.514.135.611.9H9.310.414

12、.434.111.483.191.0103.9T=278.010.411.413.0=11.6(1) 自由度和平方和的分解 自由度的分解：總 區(qū)組 品種誤差 平方和的分解：矯正數總 區(qū)組品種誤差 =84.61-27.56-34.08=22.97(2) F 測驗將上述計算結果列入表12.4，算得各變異來源的MS值。表12.4 表12.3結果的方差分析變異來源DFSSMSFF0.05區(qū) 組 間 227.5613.788.403.74品 種 間 734.08 4.872.972.77誤 差1422.97 1.64總 變 異2384.61對區(qū)組間MS作F測驗，在此有H0： ，HA： 、 、 不全相等(

13、 、 、 分別代表區(qū)組、的總體平均數)，得F =13.78/1.64=8.40F0.05，所以H0應予否定，說明3個區(qū)組間的土壤肥力有顯著差別。在這個試驗中，區(qū)組作為局部控制的一項手段，對于減少誤差是相當有效的(一般區(qū)組間的F測驗可以不必進行，因為試驗目的不是研究區(qū)組效應)。對品種間MS 作F 測驗，有H0： ，HA： 、 、 不全相等( 、 、 分別代表品種A、B、H的總體平均數)，得 F =4.87/1.64=2.97F0.05，所以H0應予否定，說明8個供試品種的總體平均數有顯著差異。需進一步作多重比較。(3) 品種間平均數的多重比較 最小顯著差數法(LSD法) 本例目的是要測驗各供試品

14、種是否與標準品種A有顯著差異，宜應用LSD法。首先應算得品種間平均數或總和數差數的標準誤。在以各品種的小區(qū)平均產量作比較時，差數標準誤為：(124) 從而(125) 如果以各品種的小區(qū)總產量作比較，則因總產量大 n 倍，故差數標準誤為： (124)(127)中，為方差分析表中的誤差項均方MS；t值的，即誤差項自由度。凡品種與對照的差異達到或超過者為顯著，達到或超過者為極顯著。如果試驗結果需以畝產量表示，只要將總產量和總產量的LSD皆乘以cf即可。 (126) 并有：(127) 在此，如以各品種的小區(qū)平均產量(即表12.3的)進行比較，則由于 時， =2.145， =2.977，故 (kg)，

15、(kg)如對各品種的三個小區(qū)總產量(表12.3的 )進行比較，則(kg) 如以畝產量表示試驗結果，則可算得化各品種總產量為畝產量的改算系數：因此，品種A的畝產量= (kg)(kg) (kg) (kg) 品種B的畝產量= (kg) ，余類推并且有 畝產量 (kg) 畝產量 (kg)上述結果皆列于表12.5不論哪一種比較，結果都完全一樣，只有E品種與對照有極顯著的差異，其余品種都和對照沒有顯著差異。表12.5 表12.3資料各品種產量和對照相比的差異顯著性 品 種 的 比 較 的 比 較畝產量的比較差 異差 異kg/畝差 異E14.23.5*42.510.3*37892*B12.41.737.14

16、.933044G11.91.235.63.431630H11.40.734.11.930216C11.40.734.11.930216F10.80.132.50.32882A(CK)10.732.2286D10.0-0.729.9-2.3266-20 新復極差測驗(LSR法) 如果我們不僅要測驗各品種和對照相比的差異顯著性，而且要測驗各品種相互比較的差異顯著性，則宜應用LSR法。首先，應算得品種的標準誤SE。在小區(qū)平均數的比較時為(128) 在小區(qū)總數的比較時為 (129) 在畝產量的比較時為然后，查附表8當 時， 自2至 的SSR0.05和SSR0.01值，進而算得LSR0.05和LSR0.

17、01值。本例如以小區(qū)平均數為比較標準，則有查附表8，得到自由度、不同顯著水平和秩次距p下的SSR值，進而算得LSR值(表12.6)。品種平均數差(1210) (kg) 異顯著性結果見表12.7。表12.6 表12.3資料新復極差測驗的最小顯著極差 p23456783.033.183.273.333.373.393.414.214.424.554.634.704.784.832.242.352.422.462.492.512.523.123.273.373.433.483.543.57表12.7 表12.3資料的新復極差測驗結果產 量(品 種)差 異 顯 著 性 5% 1%E14.2 a AB1

18、2.4 ab ABG11.9 ab ABH11.4 b ABC11.4 b ABF10.8 b ABA10.7 b ABD10.0 b B結果表明：E品種與H、C、F、A、D 5個品種有5%水平上的差異顯著性，E品種與D品種有1%水平上的差異顯著性，其余各品種之間都沒有顯著差異。以上是以各品種的小區(qū)平均產量為比較標準。如以各品種總產量或畝產量為比較標準，則只要應用由(129)或(1210)算出的SE 值即可，方法類同，不再贅述。用時，僅需選擇上述3種比較的任一種。三、隨機區(qū)組的線性模型與期望均方(一) 線性模型一個隨機區(qū)組的試驗結果，若以I 代橫行(處理)，則i=1，2，k ；以j 代縱行(區(qū)

19、組)，則j =1，2，n，整個資料共有k行n列。所以，在第i行j列的方格可以ij表示之(參見表12.3)。如果每一方格僅有一個觀察值yij，則其線性模型為： 上式中， 為總體平均， 為行的效應或處理效應，可為固定模型或隨機模型，在固定模型中，假定 ，在隨機模型中，假定 N(0， ）； 為列的效應或區(qū)組效應，一般為隨機模型，假定 N(0， ），若為固定模型則假定 ；而 則為相互獨立的隨機誤差，服從N(0， ）。 (1211) (二) 期望均方隨機區(qū)組的各種效應一般有3種模型(參見第六章)，即固定模型(稱模型)，隨機模型(稱模型)和混合模型。這3種模型的期望均方(EMS )列于表12.8。 表12

20、.8 隨機區(qū)組設計的期望均方變異來源DFMS固定模型(區(qū)組、處理均固定)隨機模型(區(qū)組、處理均隨機)混 合 模 型(區(qū)組隨機，處理固定)(區(qū)組固定，處理隨機)區(qū) 組 間MSR處理或品種MSt試驗誤差MSe固定模型：隨機區(qū)組中僅有兩個或較少的處理或品種時是適用。隨機區(qū)組試驗是隨機模型，則表示處理(或品種)和區(qū)組都是從處理(或品種)總體和區(qū)組總體中隨機抽取的。試驗結論則推斷到有關處理(或品種)和區(qū)組總體，而不是僅涉及某一特定處理(或特定品種)。 四、隨機區(qū)組試驗的缺區(qū)估計和結果分析缺區(qū)估計可采用最小二乘法 (1212) 移項可得缺區(qū)估計值為：(1213) (一) 隨機區(qū)組試驗缺一個小區(qū)產量的結果分

21、析 例12.4 有一玉米栽培試驗，缺失一區(qū)產量ye(kg)，其結果如表12.9，試作分析。表12.9 玉米隨機區(qū)組試驗缺一區(qū)產量(kg)的試驗結果處 理區(qū) 組A27.827.328.538.5122.1B30.628.8ye39.598.9+yeC27.722.734.936.8122.1D16.215.014.119.664.9E16.217.017.715.466.3F24.922.522.726.396.4143.4133.3117.9+ye176.1570.7+ye首先，應估計出缺值ye。根據(1212)可得：如將表12.9中有關數值代入(1213)，也同樣可得：即 所以， (kg)

22、然后，將該置入表12.9 ye的位置，得表12.10。表12.10的形式和表12.3完全一樣，因此可同樣進行平方和的分解；但在分解自由度時需注意：因為是一個沒有誤差的理論值，它不占有自由度，所以誤差項和總變異項的自由度都要比常規(guī)的少1個。由此得到的方差分析表如表12.11。表12.10 玉米隨機區(qū)組試驗結果 處 理區(qū) 組A27.827.328.538.5122.1B30.628.833.039.5131.9C27.722.734.936.8122.1D16.215.014.119.664.9E16.217.017.715.466.3F24.922.522.726.396.4143.4133.3

23、150.9176.1603.7表12.11 玉米栽培試驗(缺一區(qū))的方差分析 變異來源DFSSMSFF0.05區(qū) 組 3 166.84處 理 51093.20218.6421.502.66誤 差14 142.44 10.17總 變 異221402.48 在進行處理間的比較時，一般用t 測驗。對于非缺 區(qū)處理間的比較，其仍由(124)式算出(假定以小區(qū) 平均產量作為比較標準)，對于缺區(qū)處理和非缺區(qū)處 理間的比較， (1214) 上式的MSe為誤差項均方，n為區(qū)組數，k為處理數。在本例可求得：(kg) (二)隨機區(qū)組試驗缺二個小區(qū)產量的結果分析例12.5 有一水稻栽培試驗，假定缺失兩區(qū)產量(yc和

24、ya)，其結果如表12.12，試分析。表12.12 水稻隨機區(qū)組試驗缺兩區(qū)產量(kg/小區(qū))的試驗結果處 理區(qū)組A 81412 816ya58+yaB 91110 711 957C16171412yc1372+yc3342362727+yc22+ya187+yc+ya首先，應估計出缺值yc和ya。采用解方程法，根據(1212)，對yc有方程對ya有方程整理成二元一次聯(lián)立方程，解之得：yc=18.09(kg)，ya=10.09(kg)將yc18kg，ya10kg置入表12.12中，即得表12.13。然后進行方差分析，得到表12.14。由于表12.13中有兩個缺區(qū)估計值，它們不占有自由度，故表12

25、.14中誤差項和總變異項的自由度均比通常的少2個。表12.13 水稻隨機區(qū)組試驗結果 處 理區(qū)組A 81412 816(10) 68B 91110 711 9 57C16171412(18)13 90334236274532215表12.14 水稻隨機區(qū)組試驗(缺二區(qū))的方差分析 在進行處理間比較時，非缺區(qū)處理間比較的差數標準誤仍由(124)給出(當以各處理小區(qū)平均數相比較時)；若相互比較的處理中有缺區(qū)的，則其平均數差數的標準誤為變異來源DFSSMSFF0.05區(qū) 組574.28處 理294.1147.0620.283.68誤 差818.562.32總 變 異15186.95 上式中的為誤差項

26、均方，和分別表示兩個相比較處理的有效重復數，其計算方法是：在同一區(qū)組內，若兩處理都不缺區(qū)，則各記為1；若一處理缺區(qū)，另一處理不缺區(qū)，則缺區(qū)處理記0，不缺區(qū)處理記，其中k為試驗的處理數目。 例如，本試驗在A和B比較時，(1215) A的有效重復數 B的有效重復數 在A和C比較時， A的有效重復數 C的有效重復數故 故 (kg)(kg)第三節(jié) 拉丁方試驗的統(tǒng)計分析一、拉丁方試驗結果的分析示例二、拉丁方的線性模型與期望均方三、拉丁方試驗的缺區(qū)估計和結果分析一、拉丁方試驗結果的分析示例拉丁方試驗在縱橫兩個方向都應用了局部控制，使得縱橫兩向皆成區(qū)組。設有k個處理(或品種)作拉丁方試驗，則必有橫行區(qū)組和縱

27、行區(qū)組各k個，其自由度和平方和的分解式為： (1216)總自由度=橫行自由度+縱行自由度+處理自由度+ 誤差自由度 (1217)總平方和 = 橫行平方和+縱行平方和+處理平方和+誤差平方和 例12.6 有A、B、C、D、E 5個水稻品種作比較試驗，其中E為標準品種，采用55拉丁方設計，其田間排列和產量結果見表12.15，試作分析。表12.15 水稻品比55拉丁方試驗的產量結果(kg)橫行區(qū)組縱 行 區(qū) 組D(37)A(38)C(38)B(44)E(38)195B(48)E(40)D(36)C(32)A(35)191C(27)B(32)A(32)E(30)D(26)147E(28)D(37)B(

28、43)A(38)C(41)187A(34)C(30)E(27)D(30)B(41)162174177176174181T=882首先，在表12.15算得各橫行區(qū)組總和和各縱行區(qū)組總和，并得全試驗總和。再在表12.16算得各品種的總和和小區(qū)平均產量。然后進入以下步驟：表12.16 表12.15資料的品種總和和品種平均數品 種A38+35+32+38+34=17735.4B44+48+32+43+41=20841.6C38+32+27+41+30=16833.6D37+36+26+37+30=16633.2E38+40+30+28+27=16333.6(1) 自由度和平方和的分解 自由度的分解 由

29、(1216)可得：總 橫行 縱行 品種 誤差 平方和的分解 由(1217)可得：矯正數 總 橫行區(qū)組 縱行區(qū)組 品種 =815.04-348.64-6.64-271.44=188.32(2)方差分析和F 測驗將上述結果列入表12.17，算得各變異來源的MS值。表12.17 表12.15資料的方差分析對品種間作F 測驗， ， 、 、不全相等( 、 、 )分別代表A、B、E品種的總體平均數)得，變異來源DFSSMSFF0.05橫行區(qū)組4348.6487.16縱行區(qū)組46.641.66品 種4271.4467.864.333.26試驗誤差12188.3215.69總 變 異24815.04 F0.0

30、5=3.26，所以 應被否定，即各供試品種的產量有顯著差異。(3) 品種平均數間的比較 最小顯著差數法(LSD 法) 應用(124)，得當 =12時， ， ，應用(125)(kg) (kg) (kg) 以之為尺度，在表12.18測驗各品種對標準品種(E)的差異顯著性。結果只有B品種的產量極顯著地高于對照，其余品種皆與對照無顯著差異。表12.18 表12.15資料各品種與標準品種相比的差異顯著性品 種小區(qū)平均產量(kg)差 異B41.69.0*A35.42.8C33.61.0D33.20.6E(CK)32.6*表示達1%顯著水平 新復極差測驗(LSR 法) 根據(128)計算，求得再根據 =12

31、時的和的值算得 =2，3，4，5時的和的值于表12.19。根據表12.19的和的尺度，測驗各品種小區(qū)平均產量的差異顯著性于表12.20。表12.19 表12.15資料各品種小區(qū)平均產量( )互比時的LSR 值(kg) 23453.083.233.333.364.324.554.684.765.455.725.895.957.648.038.288.43表12.20 水稻品比試驗的新復極差測驗由表12.20可見，B品種與其他各品種的差異都達到 =0.05水平，而B品種與D、E品種的差異達到 =0.01水平，A、C、D、E 4品種之間則無顯著差異。小區(qū)平均產量(品 種 )差異顯著性5%1%B41.

32、6 a AA35.4 b ABC33.6 b ABD33.2 b BE32.6 b B二、拉丁方的線性模型與期望均方用 代表拉丁方的 橫行、 縱行的交叉觀察值，再以 代表處理，則拉丁方試驗的線性模型為： (1218) 上式中 為總體平均數； 為橫行效應， 為縱行效應，若兩者為固定模型，有若兩者均為隨機模型，有 N(0， )， N(0， )； 為處理效應，固定模型有 ，隨機模型時 N(0， )；相互獨立的隨機誤差 N(0， )。 拉丁方設計的固定模型和隨機模型的期望均方如下表： 拉丁方設計的期望均方 變異來源DF固定模型隨機模型橫 行 間縱 行 間處 理 間試驗誤差三、拉丁方試驗的缺區(qū)估計和結果

33、分析缺值ye的估計公式為： (1219) 移項可得： (1220) 當僅有一個缺區(qū)時，可由(1219)或(1220) 直接解得 ye 值；當有多個缺區(qū)時，可由(1219)建立聯(lián)立方程組，解出各個缺區(qū)估計值。例12.7 有一甘蔗品比試驗，采用55拉丁方設計，缺失一區(qū)產量，其結果見表12.22，試求該缺區(qū)估計值ye并作分析。 表12.22 55甘蔗試驗缺失一區(qū)產量的試驗結果(100kg/區(qū)) 橫行區(qū)組縱 行 區(qū) 組A 14E 22D 20C 18B 2599D 19B 21A 16E 23C 1897B 23A 15C 20D 18E 2399C 21D (ye)E 24B 21A 1783+ye

34、E 23C 16B 23A 17D 209910074+ye10397103477+ye首先求缺區(qū)估計值ye。將表12.21的有關數值代入(1219)可得：則 (100kg)同樣，代入(1220)得： (100kg)將置入表12.22的ye位置，得表12.23。表12.23 55甘蔗試驗具有一個估計值的試驗結果(100kg/區(qū))橫行區(qū)組縱 行 區(qū) 組A 14E 22D 20C 18B 2599D 19B 21A 16E 23C 1897B 23A 15C 20D 18E 2399C 21 D (18)E 24B 21A 17101E 23C 16B 23A 17D 20991009210397

35、103T=495A=79B=113C=93D=95E=11515.822.618.619.023.0表12.23可按沒有缺區(qū)的拉丁方資料作出方差分析，僅誤差項和總變異項的自由度比沒有缺區(qū)的拉丁方資料少一個，因為有一個缺區(qū)估計值，它不占有自由度。由此所得的結果列于表12.24。表12.24 甘蔗55拉丁方試驗(缺一區(qū))的方差分析變異來源DFSSMSFF0.05橫 行41.60.40縱 行417.24.30品 種4180.845.2024.433.36誤 差1120.41.85總 變 異23220.0在對各品種的小區(qū)平均數作t測驗時，沒有缺區(qū)品種間的比較仍用(124)；但當缺區(qū)品種與非缺區(qū)品種比較

36、時，其差數標準誤應為：(1221) 如在本例中， (100kg) 以上是有一個缺區(qū)的拉丁方試驗的分析。如果拉丁方試驗有幾個缺區(qū)，則首先應算得各個缺區(qū)的估計值。這些估計值可由(1219)建立聯(lián)立方程解出。算得各缺區(qū)估計值后，可按正常(沒有缺區(qū)的)拉丁方資料計算各變異來源的平方和，但誤差項和總變異項的自由度要比正常的少l個（l為缺區(qū)數目）。在對各處理小區(qū)平均數作t測驗時，沒有缺區(qū)的處理間比較的差數標準誤仍由(124)給出；若相互比較的處理中有缺區(qū)存在，則其平均數差數的標準誤為： (1222)中的為誤差項均方，和分別代表兩個相互比較的處理的有效重復數，其計算方法是：（1）若相互比較的甲、乙二處理在橫

37、行和縱行皆不缺區(qū)，則分別記1；（2）若甲處理不缺區(qū)，而其所在的橫行或縱行的乙處理缺一區(qū)，則甲記2/3；（3）若甲處理不缺區(qū)，而其所在的橫行和縱行的乙處理皆缺區(qū)，則甲記1/3；（4）若甲處理本身為缺區(qū)，則記0。例如，有一55拉丁方試驗為：(1222) 以上有圓圈者表示缺區(qū)。則在B、C、E處理間比較時，其 用(124)，其余各處理相互比較都要先計算有效重復數，再代入(1222)計算 。如：A與E比較時，A的有效重復數AEDCBDBAECBACDECEBECBA E的有效重復數故 而A與D比較時，A的有效重復數D的有效重復數故其余類推。第四節(jié) 試驗處理的合并比較正交性(orthogonality)：

38、任兩比較間的系數乘積之和為0。正交對比或正交比較(orthogonal comparison)：若在所有對比(比較)中，兩兩比較間的比較系數 ( )乘積之和都為0的比較。這種比較系數稱為正交系數(orthogonal coefficient)。 例如，處理為氨水1(A)、氨水2 (B)、碳酸氫銨(C)、尿素(D)和不施肥(E)按完全隨機設計進行試驗的例6.10，就預先安排了以下幾個特定的比較： 施肥與不施肥，即A+B+C+D與E； 液態(tài)氮與固態(tài)氮，即A+B與C+D； 液態(tài)氮之間的比較，即A與B； 固態(tài)氮之間的比較，即C與D?？梢钥闯?，比較和是將處理合并后進行比較的，因此，這種比較稱為試驗處理的

39、合并比較。在比較、中，相比較的處理個數是相同的，這時在同一比較的所有處理都占相同比例，其系數均為1，但是，在比較中，用A+B+C+D 4處理與E 1個處理比較，其處理數是不同的，顯然不是均衡比較，缺乏可比性，應該將4處理的合并值與E處理的4倍進行比較，即A、B、C、D各用1份而E用4份才有可比性，換句話說，前者的系數為1，后者的系數為4。同時，在同一比較(或對比)中，一方系數為正，另一方系數為負，如比較，若A與B的系數為正，則C與D的系數為負。按此方法將4種比較的系數填于表12.25。表12.25 表6.11資料單一自由度比較的正交系數(Ci)和計算 處 理 A B CD ESSQ(MS) 1

40、08 98 114 126 80比 較A+B+C+D對E 1 1 1 1 -4 126 80 198.45A+B對C+D 1 1 -1 -1 0 -34 16 72.25A對B 1 -1 0 0 0 10 8 12.50C對D 0 0 1 -1 0 -12 8 18.00 總 和 301.20可以發(fā)現，該比較中，任兩比較間的系數乘積之和為0，如與對比：11+11+1(-1)+1(-1)+(-4)0=0這稱為正交性(orthogonality)。若在所有對比(比較)中，兩兩比較間的比較系數()乘積之和都為0，則稱這種對比為正交對比或正交比較(orthogonal comparison)，這種比較

41、系數稱為正交系數(orthogonal coefficient)。例12.8 在采用完全隨機設計的表6.11資料中，已事先確定要研究以下4種比較的差異顯著性； 施肥對不施肥， 施液體肥與施固體肥， 施氨水1對施氨水2， 施碳酸氫銨對施尿素。試作比較。分析比較步驟： (1)將資料各處理的總產量列于表12.25(為便于計算，不用平均產量，但后面所得結果仍是關于平均產量的)。 (2)寫出各個預定比較的正交系數Ci(見上表)。按上述方法獲得正交系數Ci后，可以計算每一比較的差數 (1223) 因而， 由 進一步計算每一比較的SS(即MS，因為每一比較的自由度都是1）： (1224) 例如比較的 同理：

42、 這里可注意 ，正是表6.12中的。也就是我們已將表6.12處理間具4個自由度的平方和再分解為屬于4個獨立比較的平方和，各具，因此，將這種比較也稱為單一自由度的獨立比較(independent comparison of single degree of freedom)，其方差分析表于12.26(與表6.12對照）。表12.26 表6.11資料單一自由度的方差分析變 異 來 源DFQSSQMSQF施 肥 對 不 施 肥1198.45198.4529.49*施固體肥對施液體肥172.2572.2510.74*施氨水1對施氨水2112.5012.501.86施尿素對施碳酸氫銨118.0018.0

43、02.67試 驗 誤 差15101.006.73將表中各個MSQ與MSe比，得到F值，查F表當 ， 時， ， ，結果表明該試驗預定的4個比較中，施肥對不施肥、施固體肥對施液體肥的差異極顯著，其余兩種比較的差異不顯著。如果要計算平均數，可由下式求得：(1225) 式中 表示比較中取正值的正交系數，如 (g) (g)即表示施肥比不施肥平均每盆增產7.875克，施固體 肥比液體肥平均每盆增產4.250克，皆為極顯著。由上分析可知，處理的合并比較十分簡便，值得推廣應用。正確進行處理合并比較的關鍵是正確確定比較的內容和正確寫出比較的正交系數。為此，須滿足下列3個條件：(1) 比較的數目必須為k-1，以使

44、每一比較占有而且 僅占有1個自由度；(2) 每一獨立比較的正交系數之和必須為0，即 以使每一比較都是均衡的。(3) 任何兩個獨立比較的相應正交系數乘積之和必須為0，即 ，以保證 卻好分解為 個 。例如表12.25比較和的 比較和的 等，如果出現 ，則比較就不再是獨立的，其后果是各個比較的 之和必不等于 。 這一點在試驗設計時需特別注意。如有相等的3個處理，其總和數分別為 、 、 ，則2-1-1或 11-20 1-1-11 0等皆為兩個獨立的比較，而1-1 0或0 1-11 0-11-1 0等則為不獨立的，因為前者的 ，后者的 。在具體寫出各個獨立比較的正交系數時，可按下列規(guī)則進行：(1) 若被

45、比較的兩個組的處理數目相等，則給一個組的各處理以系數+1，另一個組的各處理都是系數-1。到底哪個組取+1，哪個組取-1，可以隨便，一般以“在前”的組(如施肥對不施肥的比較，施肥在前)取“+”號。(2) 若被比較的兩個組的處理數目不相等，則第一組的系數為第二組的處理數，第二組的系數為第一組的處理數，例如2個處理(第一組)與3個處理的一個比較，其寫作3，3，-2，-2，-2。(3) 如果寫出的 有公約數，則應將其約為最小的整數，例如4個處理與2個處理的一個比較，按規(guī)則（2）其 為2，2，2，2，-4，-4，應簡化成1，1，1，1，-2，-2。(4) 如果某一處理已經和所有其余處理作過一次比較(如表

46、12.25的處理)，則該處理不能再參加其余比較，否則一定破壞了 。因子式試驗在供試因子增加時，處理組合數迅速增加，這給試驗帶來了巨大的工作量和試驗誤差的增大。若試驗目的并不在于研究各因子間的交互作用而是主要了解各因子的主效。那么，有些試驗可以刪去一些次要的處理組合。這時，因子間不是正交的關系，而是一種分枝式關系。如例12.8和例12.9。例12.9 現有一肥料比較的盆缽試驗。每處理含氮量相等，重復六個盆缽，每盆栽5棵稻苗，隨機區(qū)組排列，成熟后收獲計產，結果列于表12.27。試進行處理的合并比較。表12.27 水稻肥料盆缽試驗產量結果(單位：10g)變異來源DFSSMSFF0.01區(qū) 組 510

47、2.5020.5處 理 71210.58172.9429.92*3.20誤 差35202.175.78總471515.25然而，表12.28的結果并未研究因子的主效。為此，應該進行處理的合并比較： 施與未施，即A與B+C+D+E+F+G+H； 化肥與有機肥，即B+C與D+E+F+G+H； 化肥間，即B與C； 畜糞尿與堆肥間，即D+E與F+G+H； 畜糞尿間，即D與E； 堆肥老方法與新方法間，即F與G+H； 堆肥新方法間，即G與H。按正交系數的構成原則，其正交系數見表12.29。對于比較，施肥處理合并與未施肥相比其效應的總和Q1與其平方和 分別為：其余比較同理可得，并將結果一并填入表12.29。

48、并將與誤差均方比較，進行單一自由度的F 測驗( ， )，其結果也見表12.29。 Q1=T2+T3+T8-7T1=32+33+84-722=274 處 理ABCDEFGHQi(MS)FTt22323344119516584比 較Ci-71111111274656223.4438.66*055-2-2-2-2-2401670382.8666.24*01-100000-1620.08100033-2-2-28963044.017.61*0001-1000-7562468.7581.10*000002-1-1-746661.364.62*0000001-1-196230.085.20*總1210.5

49、8表12.29 水稻肥料盆缽試驗各種處理合并的計算和結果 由表12.29可知，比較、均存在極顯著差異，比較差異顯著，只有比較不顯著。第十三章 多因素試驗結果的統(tǒng)計分析第一節(jié) 多因素完全隨機和隨機區(qū)組 試驗的統(tǒng)計分析第二節(jié) 裂區(qū)試驗的統(tǒng)計分析第三節(jié) 一組相同試驗方案數據的聯(lián)合分析第四節(jié) 多因素混雜和部分實施試驗的 設計和分析(正交試驗法)第五節(jié) 響應面分析第一節(jié) 多因素完全隨機和隨機區(qū)組 試驗的統(tǒng)計分析一、二 因素試驗的統(tǒng)計分析二、三因素試驗的統(tǒng)計分析一、二因素試驗的統(tǒng)計分析 (一) 二因素隨機區(qū)組試驗結果的分析設有A和B兩個試驗因素，各具a和b個水平，那么共有ab個處理組合，作隨機區(qū)組設計，有

50、r次重復，則該試驗共得rab個觀察值。它與單因素隨機區(qū)組試驗比較，在變異來源上的區(qū)別僅在于前者的處理項可分解為A因素水平間(簡記為A)、B因素水平間(簡記為B)、和AB互作間(簡記為AB)三個部分。 (131) (132) 其中，j=1，2，r；k=1，2，a；l=1，2，b； 、 、 、 和 分別為第r個區(qū)組平均數、 A因素第k個水平平均數、B因素第l個水平平均數、處理組合AkBl平均數和總平均數。表13.1 二因素隨機區(qū)組試驗自由度的分解 SSR= SSt= SST=變異來源DF平 方 和區(qū) 組 r-1處理組合 ab-1誤 差 (r-1)(ab-1) SSe=SST-SSR-SSt總 變

51、異 rab-1(二) 二因素隨機區(qū)組試驗的線性模型和期望均方二因素隨機區(qū)組試驗的線性模型為: (133)表13.8 二因素隨機區(qū)組設計的期望均方變異來源DF固定模型隨機模型混合模型(A隨機，B固定)區(qū)組間 r-1處理A a-1處理B b-1AB (a-1)(b-1)誤差 (r-1)(ab-1)二、三因素試驗的統(tǒng)計分析(一) 三因素完全隨機試驗的統(tǒng)計分析 在三因素試驗中，可供選擇的一種試驗設計為三因素完全隨機試驗設計，它不設置區(qū)組，每一個處理組合均有若干個(n個)重復觀察值，以重復觀察值間的變異作為環(huán)境誤差的度量。1. 結果整理 2. 自由度和平方和的分解總變異可以分解為處理組合變異加上誤差變異

52、。處理組合變異又可作分解： 處理 DF =DFA +DFB +DFC +DFAB +DFAC +DFBC +DFABC 處理 SS=SSA +SSB +SSC +SSAB +SSAC +SSBC +SSABC 表13.13 三因素完全隨機試驗的平方和及自由度分解變異來源DF SS總 變 異 abcn-1處理組合 abc-1A a-1B b-1C c-1 AB (a-1)(b-1) AC (a-1)(c-1) BC (b-1)(c-1) ABC (a-1)(b-1)(c-1)誤 差 abc(n-1) SSe=SST-SSt3. 多重比較的標準誤公式A因素間比較時單個平均數的標準誤B因素間比較時單

53、個平均數的標準誤C因素間比較時單個平均數的標準誤AB處理組合的平均數的標準誤為： (二) 三因素隨機區(qū)組試驗結果的分析 設有A、B、C三個試驗因素，各具a、b、c個水平，作隨機區(qū)組設計，設有r個區(qū)組，則該試驗共有rabc個觀察值，其各項變異來源及自由度的分解見表13.15。 表13.15 三因素隨機區(qū)組試驗的平方和及自由度分解變異來源DF SS區(qū) 組 r-1處 理 abc-1A a-1B b-1C c-1 AB (a-1)(b-1) -SSA-SSB AC (a-1)(c-1) -SSA-SSC BC (b-1)(c-1) -SSB-SSC ABC (a-1)(b-1)(c-1) SSABC=

54、SSt-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC誤 差 (r-1)(abc-1) SSe=SST-SSt-SSR總 變 異 rabc-1 DFt=DFA+DFB+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+DFABC (134) SSt=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC (135)(三) 三因素試驗的線性模型和期望均方1. 完全隨機設計三因素完全隨機試驗每一觀察值 yijkl 的線性模型為： (136) 變異來源DFMS期望均方EMS固定模型隨機模型混合模型A、B固定，C隨機A a-1 MSAB b-1 MSBC c-1 MSCAB (a-1) (b-1)

55、 MSABAC (a-1) (c-1) MSACBC (b-1) (c-1) MSBCABC (a-1)(b-1)(c-1) MSABC誤 差 abc(n-1) MSe表13.21 三因素隨機試驗設計的期望均方2. 隨機區(qū)組設計三因素隨機區(qū)組試驗每一觀察值yjklm的線性模型為：其中， 代表區(qū)組效應，固定模型時有 ，隨機模型時 ，其余參數參見三因素完全隨機設計的情形。 (137) 變異來源DFMS期望均方固定模型隨機模型混合模型A、B固定，C隨機區(qū)組間 r-1A a-1 MSAB b-1 SSBC c-1 SSCAB (a-1)(b-1) SSABAC (a-1)(c-1) SSACBC (b

56、-1)(c-1) SSBCABC (a-1)(b-1)(c-1) SSABC誤 差 abc(n-1) SSe表13.22 三因素隨機區(qū)組設計的期望均方二、間比法試驗結果的統(tǒng)計分析1：計算前后兩個對照產量的平均數 。2：計算各品系產量相對應 產量的百分數，即得各品系的相對生產力。間比法設計中，采用推廣良種作為對照計算肥力指數調整供試家系產量，所以在參試家系數目較多時一般常用兩個或兩個以上的對照品種。 例12.2 有12個小麥新品系鑒定試驗，另加一推廣品種CK，采用5次重復間比法設計，田間排列在表12.2第1列基礎上按階梯式更替，小區(qū)計產面積70m2，每隔4個品系設一個CK，所得產量結果列于表12

57、.2，試作分析。表12.2 小麥品系鑒定試驗(間比法)的產量結果與分析總 和平 均對 照對品 系各重復小區(qū)產量(kg)的%CK135.940.528.231.929.0165.533.1A37.139.434.036.935.8183.136.633.3109.9B39.842.036.841.428.9188.937.833.3113.5C38.239.925.433.128.9165.533.133.3 99.4D37.343.239.134.934.0188.537.733.3113.2CK233.042.129.034.628.8167.533.5E38.040.234.539.837

58、.5190.038.034.2111.1F36.134.332.827.129.7160.032.034.2 93.6G37.836.341.334.239.9189.037.834.2110.5H34.039.127.334.728.9164.032.834.295.9CK336.040.131.537.829.6175.035.0I29.038.140.034.331.1172.534.533.7102.4J36.336.038.239.137.4187.037.433.7111.0K43.034.241.239.936.2194.538.933.7115.4L29.423.030.834

59、.132.9150.530.133.7 89.3CK435.238.727.432.528.2162.032.4首先，計算前后兩個對照產量的平均數 如A、B、C、D 4品系的=(33.1+33.5)/2=33.3(kg)，然后，計算各品系產量相對應產量的百分數，即得各品系的相對生產力。如品系A的相對生產力(%)= 100=109.9，等。結果表明，相對生產力超過對照10%以上的品系有K、B、D、E、J、G 6個，其中K品系增產幅度最大，達15.4%。間比法設計中，采用推廣良種作為對照計算肥力指數調整供試家系產量，所以在參試家系數目較多時一般常用兩個或兩個以上的對照品種。第二節(jié) 完全隨機和隨機區(qū)

60、組試驗的統(tǒng)計分析一、完全隨機試驗設計的統(tǒng)計分析二、隨機區(qū)組試驗結果的分析示例三、隨機區(qū)組的線性模型與期望均方四、隨機區(qū)組試驗的缺區(qū)估計和結果分析一、完全隨機試驗設計的統(tǒng)計分析完全隨機試驗設計是指每一供試單位都有同等機會(等概率)接受所有可能處理的試驗設計方法，沒有局部控制，但要求在盡可能一致的環(huán)境中進行試驗。它用于估算試驗誤差的自由度最多，統(tǒng)計顯著性要求的F 值最小。 二、隨機區(qū)組試驗結果的分析示例隨機區(qū)組試驗結果的統(tǒng)計分析，可應用第六章所述兩向分組單個觀察值資料的方差分析法。這里可將處理看作A因素，區(qū)組看作B因素，其剩余部分則為試驗誤差。設試驗有 個處理， 個區(qū)組，則其自由度和平方和的分解式