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1、第九章 壓 桿 穩(wěn) 定軸向受壓?jiǎn)蜗蚱氖軌?-1 壓桿穩(wěn)定性的概念 與剛體平衡類(lèi)似，彈性體平衡也存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定問(wèn)題。 細(xì)長(zhǎng)桿件承受軸向壓縮載荷作用時(shí)，將會(huì)由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱(chēng)為穩(wěn)定性失效(failure by lost stability)，又稱(chēng)為屈曲失效(failure by buckling)。 壓桿桁架中的壓桿液壓缸頂桿高壓輸電線路保持相間距離的受壓構(gòu)件腳手架中的壓桿 什么是受壓桿件的穩(wěn)定性，什么是屈曲失效，按照什么準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)，才能保證壓桿安全可靠地工作，這是工程常規(guī)設(shè)計(jì)的重要任務(wù)之一。 本章首先介紹關(guān)于彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定性的基本概念，包括：平衡構(gòu)形、平衡構(gòu)形的分

2、叉、分叉點(diǎn)、屈曲以及彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)判別準(zhǔn)則。 然后根據(jù)微彎的屈曲平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程以及端部約束條件，確定不同剛性支承條件下彈性壓桿的臨界力。 壓桿從直線平衡構(gòu)形到彎曲平衡構(gòu)形的轉(zhuǎn)變過(guò)程，稱(chēng)為“屈曲”。由于屈曲，壓桿產(chǎn)生的側(cè)向位移，稱(chēng)為屈曲位移。FPFPFP 壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉 FPOFPFPFPcrFPcrFPFPFPcrFP 分叉點(diǎn)(臨界點(diǎn))FPFPFPFP平衡路徑分叉點(diǎn)FPOFPcr平衡路徑平衡路徑 平衡路徑的分叉點(diǎn)平衡路徑開(kāi)始出現(xiàn)分叉的那一點(diǎn)。 分叉載荷（臨界載荷） 分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)的載荷。用FPcr 表示平衡構(gòu)形壓桿的兩種平衡構(gòu)形 (equilibri

3、um configuration)FPFPcr : 彎曲平衡構(gòu)形 (在擾動(dòng)作用下)FP 判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則 FP FPFPcr :在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱(chēng)原來(lái)的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。FPFP 判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（statical criterion for elastic stability） 當(dāng)壓縮載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，壓桿都要由直線的平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形，這一過(guò)程稱(chēng)為屈曲（buckling）或失穩(wěn)（lost stability）。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿，由于屈曲過(guò)程中出現(xiàn)平衡路徑的

4、分叉，所以又稱(chēng)為分叉屈曲（bifurcation buckling）。 穩(wěn)定的平衡構(gòu)形與不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形之間的分界點(diǎn)稱(chēng)為臨界點(diǎn)（critical point）。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿，因?yàn)閺呐R界點(diǎn)開(kāi)始，平衡路徑出現(xiàn)分叉，故又稱(chēng)為分叉點(diǎn)。臨界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載荷稱(chēng)為臨界載荷（critical load）或分叉載荷（bifurcation load），用FP表示。 圖示一600mm長(zhǎng)的鋼板尺兩端鉸接放入實(shí)驗(yàn)架中受軸向壓力，其橫截面積為32mm1mm。按上面給出的強(qiáng)度條件，求鋼板尺能承受的荷載.2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式簡(jiǎn)化1 剪切變形的影響可以忽略不計(jì)2 不考慮桿的軸向變形邊界條件撓曲線中點(diǎn)的撓度歐拉公

5、式撓曲線為半波正弦曲線 3 不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式 . 壓桿的長(zhǎng)度因數(shù) L LLL 利用歐拉公式計(jì)算前面鋼板尺的臨界應(yīng)力 兩桿均為細(xì)長(zhǎng)桿的桿系如圖示，若桿件在ABC面內(nèi)因失穩(wěn)而引起破壞，試求載荷F為最大值時(shí)的角（設(shè)02）。設(shè)AB桿和BC桿材料截面相同。例 題 9.11.節(jié)點(diǎn)B的平衡2.兩桿分別達(dá)到臨界力時(shí)F可達(dá)最大值例 題 9.2 兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)壓桿失穩(wěn)可能有以下三種形式:1.每根壓桿兩端固定分別失穩(wěn)例 題 9.2 兩根直徑為d的圓桿,上下兩端

6、分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)2.兩桿下端固定上端自由，以z為中性軸彎曲失穩(wěn)。例 題 9.2 兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)3.兩桿下端固定上端自由，以y為中性軸彎曲失穩(wěn)。 一中心受壓直桿如圖所示，兩端固定，但上端可沿水平方向移動(dòng)，設(shè)EI為常數(shù)，求臨界力。例 題 9.3將x=0,y=0, 代入上述二式得X=L4 歐拉公式的應(yīng)用范圍.臨界應(yīng)力總圖柔度大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿不能用歐拉公式.根據(jù)柔

7、度的大小可將壓桿分為三類(lèi):1.大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿 壓桿將發(fā)生彈性屈曲.此時(shí)壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限.2.中長(zhǎng)桿 壓桿亦發(fā)生屈曲.此時(shí)壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應(yīng)力已超過(guò)材料的比例極限.截面上某些部分已進(jìn)入塑性狀態(tài).為非彈性屈曲.3.粗短桿 壓桿不會(huì)發(fā)生屈曲,但將會(huì)發(fā)生屈服.臨界應(yīng)力總圖 圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件不相同。試：1.分析那一根桿的臨界荷載較大？2.計(jì)算d160mm，E206GPa時(shí)，二桿的臨界荷載。例 題 9.41. 計(jì)算柔度判斷兩桿的臨界荷載兩端鉸支壓桿的臨界荷載小于兩端固定壓桿的臨界荷載。 圖中所示

8、之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件不相同。試：1.分析那一根桿的臨界荷載較大？2.計(jì)算d160mm，E206GPa時(shí)，二桿的臨界荷載。例 題 9.42. 計(jì)算各桿的臨界荷載 Q235鋼制成的矩形截面桿,兩端約束以及所承受的載荷如圖示（a）為正視圖（b）為俯視圖），在AB兩處為銷(xiāo)釘連接。若已知L2300mm，b40mm，h60mm。材料的彈性模量E205GPa。試求此桿的臨界載荷。例 題 9.5正視圖平面彎曲截面z繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)；俯視圖平面彎曲截面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。正視圖： Q235鋼制成的矩形截面桿,兩端約束以及所承受的載荷如圖示（a）為正視圖（b）為俯視圖），在AB兩處為銷(xiāo)釘

9、連接。若已知L2300mm，b40mm，h60mm。材料的彈性模量E205GPa。試求此桿的臨界載荷。例 題 9.5俯視圖： A3鋼制成的矩形截面桿，受力情況及兩端銷(xiāo)釘支撐情況如圖所示，b40mm，h75mm，L2100mm，L12000mm，E206GPa，試求壓桿的臨界應(yīng)力。例 題 9.65 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算.壓桿的合理截面5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算.壓桿的合理截面影響壓桿承載能力的因素:1. 細(xì)長(zhǎng)桿影響因素較多,與彈性模量E，截面形狀，幾何尺寸以及約束條件等因素有關(guān)。2. 中長(zhǎng)桿影響因素主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長(zhǎng)細(xì)比及壓桿的橫截面面積2. 粗短桿

10、影響因素主要取決于材料的屈服強(qiáng)度和桿件的橫截面面積。提高壓桿承載能力的主要途徑 為了提高壓桿承載能力，必須綜合考慮桿長(zhǎng)、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。可能的措施有以下幾方面：（1）盡量減少壓桿桿長(zhǎng) 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界荷載與桿長(zhǎng)平方成反比。因此，減少桿長(zhǎng)可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小桿長(zhǎng)從而提高壓桿承載能力的目的。兩種桁架中的、桿均為壓桿，但圖b中壓桿承載能力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖a中的壓桿。（2）增強(qiáng)支承的剛性提高壓桿承載能力的主要途徑 支承的剛性越大，壓桿長(zhǎng)度系數(shù)值越低，臨界載荷越大。如，將兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將

11、呈數(shù)倍增加。（3）合理選擇截面形狀 當(dāng)壓桿兩端在各個(gè)方向彎曲平面內(nèi)具有相同的約束條件時(shí),壓桿將在剛度最小的平面內(nèi)彎曲.這時(shí)如果只增加截面某個(gè)反方向的慣性矩,并不能提高壓桿的承載能力,最經(jīng)濟(jì)的辦法是將截面設(shè)計(jì)成空的,且盡量使從而加大截面的慣性矩.并使截面對(duì)各個(gè)方向軸的慣性矩均相同.因此,對(duì)一定的橫截面面積,正方形截面或圓截面比矩形截面好,空心截面比實(shí)心截面好. 當(dāng)壓桿端部在不同的平面內(nèi)具有不同的約束條件時(shí),應(yīng)采用最大與最小慣性矩不等的截面,并使慣性矩較小的平面內(nèi)具有較強(qiáng)剛性的約束.（4）合理選用材料 在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細(xì)長(zhǎng)壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于

12、銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強(qiáng)度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，若選用高強(qiáng)度鋼，對(duì)壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費(fèi)。 但對(duì)于粗短桿或中長(zhǎng)桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈服強(qiáng)度有關(guān)，這時(shí)選用高強(qiáng)度鋼會(huì)使臨界載荷有所提高。例 題 9.7壓桿穩(wěn)定問(wèn)題中的長(zhǎng)細(xì)比反應(yīng)了桿的尺寸，（ ）和（ ）對(duì)臨界壓力的綜合影響。截面形狀約束例 題 9.8 兩根細(xì)長(zhǎng)壓桿a與b的長(zhǎng)度、橫截面面積、約束狀態(tài)及材料均相同，若其橫截面形狀分別為正方形和圓形，則二壓桿的臨界壓力Facr和Fbcr的關(guān)系為（ ）。A.Facr=Fbcr；B.FacrFbcr；C.Fac

13、rFbcr；D.不確定C例 題 9.9 材料和柔度都相同的兩根壓桿（ ）。A. 臨界應(yīng)力一定相等，臨界壓力不一定相等；B. 臨界應(yīng)力不一定相等，臨界壓力一定相等；C. 臨界應(yīng)力和壓力都一定相等；D. 臨界應(yīng)力和壓力都不一定相等。A 圖示兩端鉸支壓桿的截面為矩形。當(dāng)其失穩(wěn)時(shí)，（ ）。A.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；B.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)；C.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；D.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)。例 題 9.10B 圖示三根壓桿，橫截面面積及材料各不相同，但它們的（ ）相同。A.長(zhǎng)度因數(shù)；B.相當(dāng)長(zhǎng)度；C.柔度；D.臨界壓力。例 題 9.11B例 題 9.12 在下列有關(guān)壓桿臨界應(yīng)力cr的結(jié)論中， （ ）是正確的。A. 細(xì)長(zhǎng)桿的cr值與桿的材料無(wú)關(guān)；B. 中長(zhǎng)桿的cr值與桿的柔度無(wú)關(guān)；C. 中長(zhǎng)桿的cr值與桿的材料無(wú)關(guān)；D. 短粗桿的cr值與桿的柔度無(wú)關(guān)。D例 題 9.13 圖示各桿橫截面面積相等，在其它條件均相同的條件下，壓桿采