超市服務(wù)方案的隨機(jī)模型

1、超市服務(wù)方案的隨機(jī)模型數(shù)學(xué)系 01 數(shù)本 2001141120 劉晨凡指導(dǎo)老師：周天明摘要 ： 為了提高超市服務(wù)效率，我們根據(jù)超市顧客到達(dá)及服務(wù)問題的基本規(guī)律，建立了超市服務(wù)系統(tǒng)的隨機(jī)模型，并由此得出最佳服務(wù)方案，并對(duì)所建立的模型進(jìn)行仿真模擬， 驗(yàn)證了所得模型的合理性。本方案可以用于超市服務(wù)方案的確定。關(guān)鍵詞：隨機(jī)摸擬；隨機(jī)數(shù)字；隨機(jī)變量；仿真摸擬；Poisson分布；指數(shù)分布；隨機(jī)模型0、引言超級(jí)市場門口排列著若干收款臺(tái)，顧客攜帶著采購的商品在收款臺(tái)前排 隊(duì)等候驗(yàn)貨付款。若在顧客少時(shí)，就能只接付款離開；若在購物高峰期，顧 客就得排隊(duì)等待。作為顧客，我們所關(guān)心的是何時(shí)能付款后離開，作為超市 又

2、不可能為每一個(gè)顧客提供一個(gè)收款臺(tái)，這樣會(huì)花費(fèi)大量的金錢，但是他會(huì) 增開幾個(gè)收款臺(tái)使得排隊(duì)的人數(shù)恢復(fù)到原來的水平。那么要增開幾個(gè)這樣的收款臺(tái)才能即不多花錢又能使顧客不至于排隊(duì)等太久呢？這就是本文所要探 討的。1、隨機(jī)模型基本假設(shè)：隨機(jī)服務(wù)過程滿足三個(gè)性質(zhì)：顧客到達(dá)平穩(wěn)性、獨(dú)立增量性和普 通性.根據(jù)排隊(duì)付款問題我們就這三個(gè)性質(zhì)做如下假設(shè)，并由此得到 關(guān)于顧客到達(dá)時(shí)刻和服務(wù)時(shí)間的概率分布。顧客到達(dá)平穩(wěn)性：設(shè)在t,t t時(shí)間內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)只與時(shí)間間隔t有關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)t無關(guān)，若以R t記為在0,t時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率，則顯然有：P1t 1n 0獨(dú)立增量性：在t,t t內(nèi)來到n個(gè)顧客這一事件與時(shí)刻

3、t以前發(fā)生的事件 獨(dú)立。普通性：在充分小的時(shí)間間隔中，最多來到一個(gè)顧客，即，若記tPn t 1P0 t P t 應(yīng)有 t o t ,即 lim - 0n 2 n01t 0 t普通性表明，在同一時(shí)間來兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客實(shí)際上幾乎是 不可能的，因此在后續(xù)的推導(dǎo)及計(jì)算時(shí)予以忽略。主要結(jié)論 TOC o 1-5 h z 引理1若f x是連續(xù)函數(shù)，且對(duì)一切x, y有f x f y f x y(1)則 f xax2x證明：由fxfy f x y知對(duì)任息x, f x f -02因此f x非負(fù)。一直用(1)式，對(duì)任意正整數(shù)n及實(shí)數(shù)x有f nx f x n (2)n(3)1 一 . .1在上式中取x -行以考慮

4、f 1 f - nnan1 m(4)因此對(duì)于任意正整數(shù)m及n成立f m f 1 an n n這樣，我們已證得（4）對(duì)一切有理數(shù)成立，再用利用無理數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的連續(xù)性可以 證明對(duì)無理數(shù)也成立，從而證明了引理。引理2:用 表示0,t內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，則服從參數(shù)為t的Poisson分布，即nt tPn tP n e t on!證明：對(duì)t 0 ,考慮0,t t中來到n個(gè)顧客的概率是R t t ,由獨(dú)立性增量性 及全概率公式得P1t tPntP3tpi1 t P tPotPnt（5）特別地F0t tPotP0t ,Pot表示在長度為t的時(shí)間間隔中沒有來顧客的概率，因此它關(guān)于t單調(diào)下降，由引理知P0 ta

5、t o其中a 0,若a 0,則P形不在我們考慮之列。止匕外,因 P0 t是概率，故應(yīng)有a1 ,而當(dāng)a 1時(shí),P0 t 1,這表示不來顧客，也不是我們想要的，所以應(yīng)有從而存在使P0 t因此當(dāng)t 0時(shí)，我們有P0t 0,這說明不管怎么短的時(shí)間間隔內(nèi)都要來顧客，這種情P t 1 P0由（5）因此P1 tP11tp tl 2得 Pn t tPn t 1P1t tPn ttPntPn 1PltPn1 tPn tPn t,n 1,n由于已知R tt,這樣下去，可解得一切Pn t Otn!n 0,1,2,這正是參數(shù)為 t的Possion分布。tot,由基本假從而，在該區(qū)間內(nèi)有一位顧客到達(dá)的概率為P( 1)=

6、 te設(shè)(3)知沒有顧客到達(dá)的概率是1 tot。引理3:若 服從參數(shù)為t的Possion分布，若以T表示顧客到達(dá)的時(shí)間問隔，則 T 服從參數(shù)為的指數(shù)分布。證明：PT t 0,而當(dāng)t 0時(shí)，因?yàn)樵诘却龝r(shí)間內(nèi)沒有顧客來，所以有P T t P 0 e t ,t0 時(shí)，P T t 0, 所以P T t 1 P T t let即為服從參數(shù)為的指數(shù)分布函數(shù)的分布函數(shù)。又因?yàn)槊總€(gè)Ti,T2, Tk都為時(shí)間問隔，那么Ti,T2, Tk都滿足P T t e t為 的指數(shù)分布.同理每一位顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。由上面的討論有以下結(jié)論： 顧客接受服務(wù)時(shí)間為丁，由指數(shù)分布的無后效性，則在該區(qū)間有一位顧客接

7、受完服務(wù) 離去的概率為P T t|T 1 P T t|T 1 P T tP T t 1 e t t o t沒有顧客離去的概率為1 t o t多于一個(gè)顧客到達(dá)或離去的概率為1.3隨機(jī)模型：綜上，在tPn t t Pn t R 1 t 1 t Pn t 1 tP1t t Pn t t o tP11tPm tPn t是由于假設(shè)t時(shí)間內(nèi)已有n個(gè)顧客，那么Pn t 1t時(shí)刻，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率Pn ttP1tt ttPn 1 t t 1 ttP11tt P11t t o t客，t內(nèi)沒一人來到也沒一人離開的概率；Pn tt滿足t 1 t就能解釋為t時(shí)間內(nèi)有n個(gè)顧t即為t一人到來一人離開的概率；Ri t

8、 1 t t為t時(shí)間內(nèi)已有n 1個(gè)顧客，t內(nèi)沒人到來，有一人離開的概率;Pni t t 1 t為t時(shí)間內(nèi)已有n 1個(gè)顧客，t內(nèi)有一人到達(dá)而沒人離開由此可以得到超市服務(wù)的隨機(jī)模型：d Pndtd PodtPn 1Pn 1(PgPg)Pn。)n 1,2,2、關(guān)于服務(wù)方案問題當(dāng)顧客平均到達(dá)率上升引起服務(wù)強(qiáng)度/增加致使平均隊(duì)長L太大，甚至由于 1使隊(duì)長趨向無限時(shí)，在平均服務(wù)率不變的情況下就只能增加服務(wù)員。 下面討論有2個(gè)服務(wù)員 且他們的平均服務(wù)率相等的情況。2個(gè)服務(wù)員的排隊(duì)服務(wù)有兩種形式分別如下兩圖所示：由相關(guān)的文獻(xiàn)資料網(wǎng) 之比為我們可以知道，2個(gè)服務(wù)員的兩種服務(wù)形式平均隊(duì)長 L,等待時(shí)間W2L1L2

9、幽12W2注意到02 1,就人們最關(guān)心的等待時(shí)間而言有1 W 2,而當(dāng)2/2 2較大時(shí)圖1的W2形式可以比圖2的形式節(jié)省較多的等待時(shí)間，由此可見，對(duì)于設(shè)置多個(gè)服務(wù)員的隨機(jī)過程，如 果僅從等待時(shí)間角度考慮應(yīng)該讓顧客只排一個(gè)隊(duì)。3、系統(tǒng)仿真隨機(jī)數(shù)字的產(chǎn)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行摸擬，就是對(duì)隨機(jī)變量取值的模擬，也就是利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一系列服從 一定概率分布的數(shù)值。我們根據(jù)同余法遞推方法1,取 3,6,M 103,得到了本方案中所需的服從（0, 1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。x0 3 6 18x1 18 ,r1 18/1000 0.018 ; TOC o 1-5 h z Xi618108 ,X2108,2108/100

10、00.108;x2 6 108 648 ,x3 648 ,r3 648/1000 0.648 ;x36648 3888,x4888,r4888/10000.888;X46888 5328,%328,5328/10000.328;其余類推。隨機(jī)變量的摸擬對(duì)于給定分布的連續(xù)型隨機(jī)變量，可以利用在區(qū)間（0, 1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)來摸 擬，最常用的方法是反函數(shù)法。由概率論的理論可以證明。若隨機(jī)變量 Y有連續(xù)的分布函數(shù)F（y）,而X是區(qū)間（0, 1）上均勻分布的隨機(jī)變量。令Z F 1（X）,則Z與Y有相同的分布，由此若已知Y的密度函Y數(shù)f y ,由Y F 1（X）可得X F y f y dy是區(qū)間（0

11、, 1）上均勻分布的隨機(jī)變量，如果給定區(qū)間（0, 1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)n,則具有給定分布的隨機(jī)數(shù) yi可由方程 yir 4 rrif（y）dy中解出。 yi、，當(dāng)我們需要摸擬服從參數(shù)為的指數(shù)分布時(shí)，由ri0 be xdx 1 e yi ,可得yi（1/ ）ln（1 n）。因?yàn)椋? n）和同為（0, 1）區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，故上式可簡化為 yi （ln ri）/。服務(wù)方案的評(píng)價(jià)我們就上述2個(gè)服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行摸擬仿真。在此之前，首先需要確定評(píng)定方案 的標(biāo)準(zhǔn)。在這里我們將顧客在出口處逗留時(shí)間的長短作為標(biāo)準(zhǔn)，先設(shè)兩個(gè)單服務(wù)員系統(tǒng)中服務(wù)員的服務(wù)效率相同均為，那么雙服務(wù)員中服務(wù)效率為2 o并假

12、設(shè)每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間在單服員系統(tǒng)中服從 5,12上的均勻分布，那么在雙服務(wù)員系統(tǒng)中由于服務(wù)效率提高了，假設(shè)在雙服務(wù)系統(tǒng)中每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從3,8上的均勻分布以下按2.1和2.2的方法給出兩個(gè)系統(tǒng)的仿真摸擬：.雙服務(wù)員系統(tǒng)：（參見附表1）雙服務(wù)員系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間為（等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間）/總?cè)藬?shù)于是平均逗留時(shí)間為：（150+20） /30=5.67分.單服務(wù)系統(tǒng)1:（參見附表2）單服務(wù)系統(tǒng)2：（參見附表3）同樣由將上述兩個(gè)表格的時(shí)間進(jìn)行處理單服務(wù)員系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間為（等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間）/總?cè)藬?shù)于是平均逗留時(shí)間為： 323/30=10.77分那么綜上對(duì)比的情況來看, 明顯可以知

13、道雙服務(wù)員的優(yōu)越性。結(jié)束語本方案以超市服務(wù)系統(tǒng)為例，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及結(jié)果，并加以仿真模擬驗(yàn)證，為超市確定服務(wù)方案提供了理論依據(jù)。本方法可以推廣到類似服務(wù)系統(tǒng)，如醫(yī)院排隊(duì)掛號(hào)，客運(yùn)售票之類的問題中，有廣泛的應(yīng)用前景。參考文獻(xiàn)：劉來福，曾文藝數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模北京：北京師范大學(xué)出版社， 2002吳孟達(dá)，成禮智數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐。長沙：國防科技大學(xué)出版社， 1998姜啟源數(shù)學(xué)模型。北京：高等教育出版社， 1993復(fù)旦大學(xué)。概率論（第一冊(cè) 概率論基礎(chǔ)）高等教育出版社， 1979高惠璇。統(tǒng)計(jì)計(jì)算。北京師范大學(xué)出版社，1995，北京AbstractFor the sake of the exalta

14、tion supermarket service efficiency, we arrive according to the supermarket customer and basic regulation of the service problem, built up the random model of the supermarket service system, and get a the best service project from here, and carry on imitating the true emulation to the model build up

15、, verifying the rationality of the income model.This project can used for the assurance of the supermarket service project.Keywords ： Touch draw up random； Random numera；l Change the quantity random；Imitate to really touch draw up； The Poisson distribute； Random model ； The index number distribute附表

16、1雙服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號(hào)顧客達(dá) 時(shí)間問隔1 e -6服務(wù)時(shí)間U3,8到達(dá)時(shí)刻服務(wù)時(shí)間等待時(shí)間離開時(shí)刻15656011274124117345P1651241464224228535255333685335038:756386044864444048945485053105453405711355650611274634067133516650711456716077157478408216451825087176688609418579370100193419644104120851045010921461086111522741115401191236612160

17、1272455128501332566131621392666r 139601452755144511502833I 146341532966F15261159304416140165附表2單服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果I輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號(hào)到達(dá)時(shí)間 間隔1 e -6服務(wù)時(shí)間U7,12到達(dá)時(shí)刻服務(wù)時(shí)間等待時(shí)間離開時(shí)刻15125120173118168125591010035713113811049910948915811810：56102681310966927715128788187171011881109919889683107211211F1081111201231312121120133251012131122145271311：14411115629811152114167附表3單服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果n輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號(hào)到達(dá)時(shí)間 間隔1 e -6服務(wù)時(shí)間U7,12到達(dá)時(shí)刻服務(wù)時(shí)間等待時(shí)間離開時(shí)刻2787801541081782276119國91388129