數(shù)學(xué)建模規(guī)劃理論及模型公開課一等獎(jiǎng)優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、 5.非線性規(guī)劃模型 前面介紹了線性規(guī)劃問題，即目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)規(guī)劃問題，但在實(shí)際工作中，還經(jīng)常會(huì)碰到另一類更普通規(guī)劃問題，即目標(biāo)函數(shù)和約束條件中最少有一個(gè)是非線性函數(shù)規(guī)劃問題，即非線性規(guī)劃問題. 第1頁 實(shí)際上，客觀世界中問題許多是非線性，給予線性大多是近似，是在作了科學(xué)假設(shè)和簡化后得到. 為了利用線性知識(shí)，許多非線性問題常進(jìn)行線性化處理. 但在實(shí)際問題中，有一些是不能進(jìn)行線性化處理，不然將嚴(yán)重影響模型對(duì)實(shí)際問題近似可依賴型.第2頁 因?yàn)榉蔷€性規(guī)劃問題在計(jì)算上常是困難，理論上討論也不能像線性規(guī)劃那樣給出簡練結(jié)果形式和全方面透徹結(jié)論. 這點(diǎn)又限制了非線性規(guī)劃應(yīng)用，所以，在數(shù)學(xué)建模

2、時(shí)，要進(jìn)行認(rèn)真分析，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行合理假設(shè)、簡化，首先考慮用線性規(guī)劃模型，若線性近似誤差較大時(shí)，則考慮用非線性規(guī)劃.第3頁非線性規(guī)劃問題標(biāo)準(zhǔn)形式為：第4頁非線性規(guī)劃模型按約束條件可分為以下三類： 無約束非線性規(guī)劃模型： 等式約束非線性規(guī)劃模型：第5頁 不等式約束非線性規(guī)劃模型：1) 無約束非線性規(guī)劃問題.針對(duì)上述三類非線性規(guī)劃模型，其慣用求解基本思緒可歸納以下： 第6頁第7頁第8頁 在下降迭代算法中，搜索方向起著關(guān)鍵作用，而當(dāng)搜索方向確定后，步長又是決定算法好壞主要原因. 非線性規(guī)劃只含一個(gè)變量，即一維非線性規(guī)劃能夠用一維搜索方法求得最優(yōu)解，一維搜索方法主要有進(jìn)退法和黃金分割法. 二維非線性規(guī)

3、劃也能夠像解線性規(guī)劃那樣用圖形求解. 對(duì)于二維非線性規(guī)劃，使用搜索方法是要用到梯度概念，最慣用搜索方法就是最速下降法.第9頁2) 只有等式約束非線性規(guī)劃問題通?？捎孟?、拉格朗日乘子法或反函數(shù)法，將其化為無約束問題求解.3) 含有不等式約束非線性規(guī)劃問題解起來很復(fù)雜，求解這一類問題，通常將不等式化為等式約束，再將約束問題化為無約束問題，用線性迫近方法將非線性規(guī)劃問題化為線性規(guī)劃問題. 下面介紹一個(gè)簡單非線性規(guī)劃問題例子，其中一些約束條件是等式，這類非線性規(guī)劃問題可用拉格朗日方法求解.第10頁 例7（石油最優(yōu)儲(chǔ)存方法）有一石油運(yùn)輸企業(yè)，為了降低開支，希望作了節(jié)約石油存放空間.但要求存放石油能滿

4、足客戶要求.為簡化問題，假設(shè)只經(jīng)營兩種油，各種符號(hào)表示意義如表4所表示.其中供給率指石油企業(yè)供給客戶速度.第11頁表4 各種符號(hào)表示意義表第i種油存放量第i種油價(jià)格第i種油供給率第i種油每單位存放費(fèi)用第i種油每單位存放空間總存放公式第12頁由歷史數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)公式為 :且提供數(shù)據(jù)如表5所表示：第13頁表5 數(shù)據(jù)表已知總存放空間第14頁代入數(shù)據(jù)后得到模型為：模型求解：拉格朗日函數(shù)形式為： 第15頁即:對(duì) 求各個(gè)變量偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，得: 第16頁解這個(gè)線性方程組得：從而可得最小值是 . 第17頁6、多目標(biāo)規(guī)劃模型 在許多實(shí)際問題中，衡量一個(gè)方案好壞標(biāo)準(zhǔn)往往不止一個(gè)，比如設(shè)計(jì)一個(gè)導(dǎo)彈，既要射程

5、最遠(yuǎn)，又要燃料最省，還要精度最高. 這一類問題統(tǒng)稱為多目標(biāo)最優(yōu)化問題或多目標(biāo)規(guī)劃問題. 我們先來看一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃例子.第18頁第19頁第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁第25頁第26頁第27頁第28頁第29頁第30頁第31頁第32頁第33頁我們希望購置DVD總數(shù)量最小，即 :由此，能夠得到問題三雙目標(biāo)整數(shù)線性規(guī)劃模型以下： 第34頁第35頁第36頁第37頁第38頁表6 當(dāng) 時(shí)最小購置量 值DVD編號(hào)D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10最少購置量14211724121719212214DVD編號(hào)D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20最少購置量18

6、181717172418161823DVD編號(hào)D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30最少購置量20182214181715121624DVD編號(hào)D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40最少購置量19222019222213171717DVD編號(hào)D41D42D43D44D45D46D47D48D49D50最少購置量32201621221620152020第39頁續(xù)上表DVD編號(hào)D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60最少購置量24171917191819172021DVD編號(hào)D61D62D63D64D65D66D67D68D69D70

7、最少購置量16191920171917212019DVD編號(hào)D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80最少購置量21221520151412171917DVD編號(hào)D81D82D83D84D85D86D87D88D89D90最少購置量18101412211322151317DVD編號(hào)D91D92D93D94D95D96D97D98D99D100最少購置量24171514251522201122第40頁 我們利用規(guī)劃模型求得每種DVD購置量后，需要對(duì)其進(jìn)行可行性校驗(yàn)，測(cè)試此結(jié)果是否能夠滿足一個(gè)月內(nèi)百分比為95%會(huì)員得到他想看DVD，且含有盡可能大總體滿意度.第41頁校驗(yàn)方法： （

8、一）依據(jù)訂單和求得DVD購置數(shù)量，利用問題二規(guī)劃模型進(jìn)行第一次分配，對(duì)分配情況：租賃會(huì)員，DVD分配情況，剩下各種DVD數(shù)量作統(tǒng)計(jì)；同時(shí)將已租賃會(huì)員在滿意指數(shù)矩陣指數(shù)全變?yōu)?，即不考慮對(duì)其進(jìn)行第二次分配. （二）隨機(jī)從第一次得到DVD會(huì)員中抽取60%，將這部分人所還回DVD與第一次分配余下DVD合在一起，作為第二次分配時(shí)各種DVD現(xiàn)有量.然后，利用問題二0-1線性規(guī)劃模型對(duì)第一次未分配到DVD會(huì)員進(jìn)行第二次分配；第42頁 （三）統(tǒng)計(jì)出經(jīng)過兩次分配后，得到DVD會(huì)員百分比，若大于95%，則此次分配成功.利用這種算法進(jìn)行屢次隨機(jī)模擬，若大多數(shù)情況下能夠使得到DVD會(huì)員大于95%，則認(rèn)為模型三是合理.第43頁校驗(yàn)結(jié)果： 因?yàn)槊看螜z驗(yàn)需時(shí)約1小時(shí)，我們只對(duì)問題