新版解析函數(shù)公開(kāi)課一等獎(jiǎng)優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第二章 解析函數(shù)1 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù) 一、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù) 二、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在充要條件 三、解析函數(shù) 四、初等函數(shù) 2 多值函數(shù)和單值分枝3 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)第1頁(yè)第二章 解析函數(shù)1 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù) 一.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù) 1、導(dǎo)數(shù)定義存在，則稱(chēng)函數(shù)f (z)在z0處可導(dǎo)(可微)，稱(chēng)該極限值為f (z)在z0處導(dǎo)數(shù)(微商)，記作 設(shè)w=f (z)在z0 鄰域內(nèi)有定義，z0+z鄰域內(nèi)，假如極限第2頁(yè) 定義 (-語(yǔ)言 )對(duì)于任意給定0，存在()0,當(dāng) 時(shí)，有注意： z0方式是任意。第3頁(yè) 2、求導(dǎo)法則第4頁(yè)說(shuō)明假如函數(shù)w=f(z)在區(qū)域B內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域B內(nèi)可導(dǎo)：兩個(gè)例子：1. 求dzn/dz

2、=nzn-1 2. 求證w= 在z平面上處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)可導(dǎo)必連續(xù)。第5頁(yè)第6頁(yè)第7頁(yè)設(shè)z沿著平行于x軸方向趨向于0，因而y = 0 , z = x,這時(shí)極限設(shè)z沿著平行于y軸方向趨向于0，因而x = 0, z = iy,這時(shí)極限所以 導(dǎo)數(shù)不存在，原函數(shù)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)。 第8頁(yè) 3 可導(dǎo)和連續(xù)關(guān)系 我們知道：若復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)極限一定存在，反之不一定成立.那么可導(dǎo)與連續(xù)有何關(guān)系？ 若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，必在該點(diǎn)連續(xù)但反之不一定成立. 如上例 ，顯然在復(fù)平面上處處連續(xù)但在復(fù)平面處處不可導(dǎo).第9頁(yè)二、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在充要條件可導(dǎo)條件分析C-R條件ux = vy vx =

3、-uy充分條件偏導(dǎo)數(shù) ux ，vy ，vx ，uy 連續(xù)滿足C-R條件意義可導(dǎo)函數(shù)虛部與實(shí)部不是獨(dú)立，而是相互緊密聯(lián)絡(luò)。第10頁(yè)Cauchy-Riemann條件必要條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么有逆命題不成立f(z)在z=0處不可導(dǎo)第11頁(yè)充分條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)處滿足那么f(z)在z=x+iy處可導(dǎo)。逆命題不成立其實(shí)部在原點(diǎn)不連續(xù)第12頁(yè)柯西黎曼條件應(yīng)用 例2.1.3 討論函數(shù) 在復(fù)平面上可導(dǎo)性。 【解】 注意到 ，判斷 C-R條件是否成立 即 ，顯然在復(fù)平面處處不滿足C-

4、R條件，故原函數(shù)在復(fù)平面處處不可導(dǎo)。 說(shuō)明：上述例題告訴我們，用C-R條件來(lái)判斷函數(shù)不可導(dǎo)是方便但當(dāng)滿足C-R條件時(shí)，函數(shù)就一定可導(dǎo)嗎？ 第13頁(yè)第14頁(yè) 依據(jù)函數(shù)可導(dǎo)定義式有 當(dāng) ，（且使得 ），那么當(dāng)z沿射線 趨于0時(shí)，上式比值為 ，顯然不一樣 趨向得到不一樣值，故原函數(shù)在z0=0 處不可導(dǎo)。 本例題告訴我們即使函數(shù)滿足C-R條件，依然可能不可導(dǎo)那么C-R條件還需加上什么條件才能確保函數(shù)可導(dǎo)呢？所以需要討論可導(dǎo)充分必要條件.第15頁(yè)定理 設(shè)函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)，則f (z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可

5、微，而且在該點(diǎn)滿足Cauchy-Riemann(柯西黎曼)方程 且意義：可導(dǎo)函數(shù)虛部與實(shí)部不是獨(dú)立，而是相互緊密聯(lián)絡(luò)。第16頁(yè)導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式極坐標(biāo)下Cauchy-Riemann條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么第17頁(yè)三、解析函數(shù)概念 1、定義 若函數(shù)w=f (z)在點(diǎn)z0及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)w=f (z)在點(diǎn)z0處解析。 若函數(shù)w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析，或稱(chēng)f (z)是區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)。 若w=f (z)在點(diǎn)z0不解析，則稱(chēng)點(diǎn)z0為w=f (z)奇點(diǎn)。 應(yīng)該注意，可導(dǎo)與解析關(guān)系.就個(gè)別點(diǎn)來(lái)說(shuō)，可導(dǎo)與解析

6、是兩個(gè)不一樣概念，但就區(qū)域而言，可導(dǎo)與解析則是等價(jià)概念。第18頁(yè) 由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和解析函數(shù)定義，輕易得到下述結(jié)論： 定理 兩個(gè)解析函數(shù)和、差、積、商(分母不為零)及復(fù)合函數(shù)依然解析，有理分式函數(shù) (其中P(z)、Q(z)都是多項(xiàng)式)，除去使Q(z)=0點(diǎn)外處處解析。第19頁(yè)2、 函數(shù)解析充要條件 定理 函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可導(dǎo)，而且滿足Cauchy-Riemann(柯西黎曼) (C-R)方程 例：討論以下函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性和解析性第20頁(yè)例：假如函數(shù)w=u(x,y)+iv(x,y)為解析函數(shù)，那么它一定能單獨(dú)

7、用z來(lái)表示（即w=f(z),而與 無(wú)關(guān)， 即 。 證：第21頁(yè)四、初等函數(shù) 1.冪函數(shù) 性質(zhì)：?jiǎn)沃担瑥?fù)平面上處處解析。 3.指數(shù)函數(shù)定義：設(shè)z=x+iy是任意復(fù)數(shù)，指數(shù)函數(shù)ez定義為 2.分式函數(shù) 性質(zhì)：?jiǎn)沃担瑥?fù)平面上除了Q(z)=0外處處解析， Q(z)=0和z= 是奇點(diǎn)。 第22頁(yè)性質(zhì)： (3)指數(shù)函數(shù)不取零值：ez0，即復(fù)平面上 無(wú)零點(diǎn)。 (1)服從加法定理：對(duì)于任意z1，z2，有 (2)周期性：ez以2i為周期 (4)ez在復(fù)平面上解析，且 (5) 不存在， z= 是奇點(diǎn)第23頁(yè)第24頁(yè)注意 (1)ez可能取負(fù)值。比如，即不滿足Rolle(洛爾)定理，可見(jiàn)數(shù)學(xué)分析中微分中值定理不能推廣

8、到復(fù)平面上來(lái)。 (2)在復(fù)平面上，ez=ez+2ki(k為整數(shù))，但第25頁(yè) 4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 稱(chēng)為復(fù)數(shù)z正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。 (2)解析性：在復(fù)平面上處處解析（為何？） 且 (1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，與普通正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相同。2）性質(zhì) (4)遵從通常三角恒等式 (3)周期性：以2為周期 1）定義：把第26頁(yè) （5）無(wú)界函數(shù)： 與 不成立！ 我們把 分別稱(chēng)為z正切、余切、正割和余割函數(shù)。 第27頁(yè)第28頁(yè) 雙曲函數(shù) 我們分別稱(chēng)為雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)。第29頁(yè)第30頁(yè) 雙曲函數(shù)性質(zhì) (2)解析性 (1)奇偶性 (3)加法定理成立 (4)周期性 (5)與三角函數(shù)關(guān)系第31頁(yè)

9、2 多值函數(shù)和單值分枝 1.根式函數(shù)-冪函數(shù)反函數(shù) 多值函數(shù)，n值 根式函數(shù)多值性源于輻角多值性，也能夠說(shuō)，是因?yàn)樽宰兞縵能夠繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，造成輻角改變假如以某種方式把z平面割破，使得自變量z不能繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，這等價(jià)于對(duì)宗量輻角取值范圍加以限制，則函數(shù)值就變成確定，也就是得到了一個(gè)單值分支對(duì)輻角取值范圍加以不一樣限制就得到不一樣單值分支 第32頁(yè) 對(duì)于一個(gè)給定點(diǎn)z0和給定函數(shù)w=f (z)，假如變點(diǎn)z在z0點(diǎn)充分小鄰域內(nèi)繞z0轉(zhuǎn)一周回到原來(lái)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值與原來(lái)值不相同，則稱(chēng)此z0點(diǎn)為函數(shù)f (z)支點(diǎn)。 根式函數(shù)如在復(fù)平面上割破(連接z=0和z=點(diǎn))負(fù)實(shí)軸(標(biāo)準(zhǔn)上，可用任一條連結(jié)z=0和z=射線，把

10、z平面割破)，點(diǎn)z就算也不能繞支點(diǎn)z=0和支點(diǎn)z=回繞了。所以，任意點(diǎn)幅角都是唯一確定。 普通地，用來(lái)割破z平面借以分出多值函數(shù)單值分支割線，稱(chēng)為支割線(通俗地說(shuō)，支割線就是支點(diǎn)連線)。第33頁(yè) 函數(shù) 黎曼面 在z平面上割破(連接z=0和z=)負(fù)實(shí)軸，能夠得到 兩個(gè)不一樣完全分離單值函數(shù)。第34頁(yè)為了直觀地表示出w0及w1來(lái)，我們構(gòu)想兩個(gè)z平面相重迭，原點(diǎn)位置與實(shí)軸、虛軸方向都相同，在上平面用D0表示，相當(dāng)于-；在下平面用D1表示，相當(dāng)于3,而且沿著支割線(即從原點(diǎn)出發(fā)負(fù)半軸)使D0上岸(=)與D1下岸(=)粘合,并使D1上岸(=3)與D0下岸(=-)“粘合”，這么模型就是 黎曼面。 兩葉截口

11、處相互交叉，其在支割線垂直縱面如圖。第35頁(yè) 2.對(duì)數(shù)函數(shù)-指數(shù)函數(shù)反函數(shù)表示式：稱(chēng) 為L(zhǎng)nz主值，記為lnz，即 定義：滿足 函數(shù)w=f(z)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)，記為為一單值函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)為無(wú)窮多值函數(shù)，對(duì)每一個(gè)k值稱(chēng)為L(zhǎng)nz一個(gè)分支第36頁(yè) 解析性：w=Lnz在各個(gè)分支，即除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸平面內(nèi)解析，而且有相同導(dǎo)數(shù)值 。 性質(zhì):設(shè)z10,z20，則 注意 普通不能有 ln(z1z2)=lnz1+lnz2 等式子，這一點(diǎn)要尤其小心。第37頁(yè)第38頁(yè) 2）等式 不再成立。(請(qǐng)舉出例子) 注意 1) 在復(fù)變函數(shù)中，負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)。這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)中不一樣，而且正實(shí)數(shù)對(duì)數(shù)在復(fù)變函數(shù)中也是無(wú)窮多值。第39頁(yè)

12、3.普通冪函數(shù) 我們定義 Zs=eslnz (s為復(fù)數(shù)，z0)為普通冪函數(shù)。 因?yàn)?所以，普通來(lái)說(shuō)zs是一個(gè)多值函數(shù)，稱(chēng) 為zs主值。第40頁(yè) 尤其(1)當(dāng)s=n(n為正整數(shù))時(shí)，w=zs=zn為單值函數(shù)，它是zn次乘方。 (2)當(dāng)s=-n(n為正整數(shù))時(shí)，(3)當(dāng) (n為正整數(shù))時(shí)， ,為根式函數(shù)， 是n多值函數(shù) (4)當(dāng) (p和q為互質(zhì)整數(shù)，q0)時(shí)， zs含有q個(gè)不一樣值，即當(dāng)k=0,1,q-1時(shí)對(duì)應(yīng)各個(gè)值(5)當(dāng)s是無(wú)理數(shù)或普通復(fù)數(shù)(Ims0)時(shí)，zs含有沒(méi)有窮多值。第41頁(yè) (1)zs在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸z平面上解析，而zn在整個(gè)z平面上解析(當(dāng)n取負(fù)整數(shù)時(shí)除去原點(diǎn))。 普通冪函數(shù) w

13、=zs解析性在單值分支內(nèi)普通冪函數(shù)是單值函數(shù) w=zs=eslnz也是除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸z平面上解析函數(shù)，而且 注意 普通冪函數(shù)zs與整數(shù)次冪函數(shù)zn有以下兩點(diǎn)較大區(qū)分： (2)zs是無(wú)窮多值函數(shù)，而zn是單值函數(shù)。第42頁(yè)4.反三角函數(shù) 定義：滿足z=sinw （z=cosw)函數(shù)w=f(z)稱(chēng)為反正(余）弦函數(shù)，記為 。 第43頁(yè)第三節(jié) 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)一、Laplace方程和調(diào)和函數(shù) 二元函數(shù)u(x,y)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足Laplace方程 則u(x,y) 是調(diào)和函數(shù)。第44頁(yè)二、解析函數(shù)實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù) 如 是解析函數(shù)，則u(x,y)和v(x,y) 是調(diào)和函數(shù)。第45頁(yè)三、共軛調(diào)和函數(shù) 解析函數(shù)實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù)，不過(guò)任何二個(gè)調(diào)和函數(shù)并不一定能組成解析函數(shù)，能夠組成解析函數(shù)二個(gè)調(diào)和函數(shù)稱(chēng)為共軛調(diào)和函數(shù)。 定義: 設(shè)f (z)=u+iv為解析函數(shù)，則稱(chēng)v為u共軛調(diào)和函數(shù)。 利用C-R條件，能夠求出任何一個(gè)調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)，普通有二個(gè)方法： 1）利用C-R條件進(jìn)行積分， 2）利用全微分進(jìn)行積分, 3) 不定積分法（第三章中講）。 第46頁(yè)1）利用C-R條件進(jìn)行積