材料力學(xué) 能量法

1、材料力學(xué) 能量法1第1頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四12 能量法12.1 應(yīng)變能與余能12.2 卡氏定理12.3 最小勢(shì)能原理12.4 瑞利-里茲法2第2頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四12.1 應(yīng)變能與余能一、應(yīng)變能(a) 軸向拉（壓）桿1. 線彈性體 （1） 基本變形形式 利用應(yīng)變能 在數(shù)值上等于外力功W，可得3第3頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 (b) 扭轉(zhuǎn)12.1 應(yīng)變能與余能4第4頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四(c) 彎曲純彎曲 橫力彎曲12.1 應(yīng)變能與余能5第5頁(yè)，共58頁(yè)，20

2、22年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫(xiě)成式中，P為廣義力，可以代表一個(gè)力,一個(gè)力偶,一對(duì)力或一對(duì)力偶等。D為廣義位移，可以代表一個(gè)線位移,一個(gè)角位移,一對(duì)線位移或一對(duì)角位移等。12.1 應(yīng)變能與余能6第6頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四（2） 組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）M(x) 只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角 小變形時(shí)不計(jì)FQ 產(chǎn)生的應(yīng)變能，N (x) 只產(chǎn)生軸向線位移M t(x) 只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角12.1 應(yīng)變能與余能7第7頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四對(duì)于dx 微段， N(x) , Mt(x) , M(x) 均為外力。略去高階微量后

3、，dx段的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為12.1 應(yīng)變能與余能8第8頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 因?yàn)槭菑椥泽w，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即 ，但必須注意 以及 的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計(jì)算外力功。（1） 軸向拉伸與壓縮2. 非線性彈性體應(yīng)變能為（PD 曲線和D軸之間的面積）應(yīng)變能密度為（se 曲線和e 軸之間的面積）12.1 應(yīng)變能與余能9第9頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 以上兩式中，分別是以D和e 為自變量， ， 。所以 為位移狀態(tài)的函數(shù)。 因?yàn)?， 為非線性關(guān)系，上兩式積分后得不到1/2的系數(shù)，只能根據(jù) 或 的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行積

4、分。 應(yīng)變能密度 式中， 為扭轉(zhuǎn)力偶矩， 為扭轉(zhuǎn)角， 為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力， 為 切應(yīng)變。注意：（2） 扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能12.1 應(yīng)變能與余能10第10頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四式中， 為外力偶矩， 為彎曲轉(zhuǎn)角， 為正應(yīng)力， 為線應(yīng)變。應(yīng)變能密度 應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為式中，V 為體積。（3） 梁應(yīng)變能12.1 應(yīng)變能與余能11第11頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四二、余能 圖 a為非線性體彈性體的受拉桿，其P D和se關(guān)系如圖b,c 所示。（1）余功的定義為12.1 應(yīng)變能與余能12第12頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四

5、其大小為曲面OP1a的面積如圖d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量綱，且Wc 為矩形OP1aD1 的面積與曲面OaD1 的面積（W）之差（圖d）,故稱(chēng)Wc 為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無(wú)物理概念，即沒(méi)有什么力作的功為Wc 。PP1WcaWD1Do(d)12.1 應(yīng)變能與余能13第13頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 余能密度為 由上述，D= f (P ),e =f (s )。所以Vc= f (P ) 為受力狀態(tài)的函數(shù)。VcVeP1 PD D1 a(e)o（3）線彈性體（圖e） U和 Uc 數(shù)值相等，但概念和計(jì)算方法不同，即 U= f (D) , Uc = f (

6、P )。仿照 , 余能為（2）余能余能為12.1 應(yīng)變能與余能14第14頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四BD1P例1 已知兩桿的長(zhǎng)度均為l、橫截面面積均為A、材料單軸拉伸時(shí)的 -曲線如圖所示。 求：荷載 P1作用下的余能 Uc 12.1 應(yīng)變能與余能15第15頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四BD1P解：本題已知材料應(yīng)力應(yīng)變間的關(guān)系，故先求單位體積的余能。12.1 應(yīng)變能與余能16第16頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同，因此BD1P12.1 應(yīng)變能與余能17第17頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5

7、月20日，3點(diǎn)54分，星期四12.2 卡氏定理 圖示梁的材料為非線性彈性體，Pi 為廣義力，di為廣義位移。各力同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡(jiǎn)單加載）。各力在其相應(yīng)的位移上做功,并注意到材料為非線性彈性體，梁的應(yīng)變能為為位移狀態(tài)函數(shù)。1. 卡氏第一定理18第18頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 假設(shè)與第 i個(gè)荷載Pi相應(yīng)的位移di有一微小位移增量ddi， 而與其余荷載相應(yīng)的位移,以及各荷載均保持不變。外力功和 應(yīng)變能的增量分別為（ ddi不是由Pi產(chǎn)生的， Pi ddi為常力做的功 ） （a）(b)式中， 為應(yīng)變能對(duì)位移 的變化率。 12.2 卡氏

8、定理19第19頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 上式為卡氏第一定理。它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。以上推導(dǎo)中并沒(méi)有涉及到梁的具體性質(zhì)，故卡氏第一定理適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。對(duì)于線彈性體也必須把U寫(xiě)成給定位移的函數(shù)形式。令12.2 卡氏定理則20第20頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四2. 卡氏第二定理 圖示為非線性彈性桿，Pi為廣義力，di為廣義位移。各力按簡(jiǎn)單加載方式作用在梁上。梁的余能為 表明(1) 余能定理12.2 卡氏定理21第21頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期

9、四令上式稱(chēng)為余能定理。可用于求解非線性彈性結(jié)構(gòu)與Pi相應(yīng)的位移。得 設(shè)第 i個(gè)力Pi有一個(gè)增量dPi，其余各力均保持不變，各位移均不變。余功和余能的改變量分別是12.2 卡氏定理22第22頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四(2) 卡氏第一定理和余能定理的比較 卡氏第一定理 余能定理didi+ddi，其他位移均不變，所有的力均不變。PiPi+dPi，其他力均不變，所有的位移均不變。12.2 卡氏定理23第23頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 卡氏第一定理 余能定理 續(xù)表(平衡方程)（變形的幾何關(guān)系）適用于非線性和線性彈性體適用于非線性和線性彈性體12

10、.2 卡氏定理24第24頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四(3) 卡氏第二定理 當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性體時(shí)，由于力P和位移d成正比，Uc在數(shù)值上等于應(yīng)變能U（如圖）。若把 用力表示，即余能定理可以寫(xiě)成上式稱(chēng)為卡氏第二定理，它是余能定理在線彈性情況下的特殊情況。僅適用于線彈性體，它將是研究的重點(diǎn)。UcP1Pd d1 a(e) O12.2 卡氏定理25第25頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 它表明，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于作用其上的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移。注意:組合變形（不計(jì)剪力的影響）時(shí) 也可以寫(xiě)成用該式計(jì)算時(shí)，可減少計(jì)算工作量。12.2

11、卡氏定理26第26頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 例2 圖a所示為一等截面開(kāi)口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材料為線彈性。用卡氏第二定理求圓環(huán)開(kāi)口處的張開(kāi)量d。不計(jì)剪力和軸力的影響。12.2 卡氏定理27第27頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四圓環(huán)開(kāi)口處的張量就是和兩個(gè)F力相對(duì)應(yīng)的相對(duì)線位移，即（） 用 角表示圓環(huán)橫截面的位置，并規(guī)定使圓環(huán)內(nèi)側(cè)受拉時(shí)彎矩為正，則彎矩方程及其對(duì)P 的偏導(dǎo)數(shù)分別為 解：，12.2 卡氏定理28第28頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四結(jié)果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。（ ） 利用對(duì)稱(chēng)性，由卡氏

12、第二定理，得12.2 卡氏定理29第29頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 例3 三桿的材料相同，s = Ke1/n( n 1) ，橫截面面積均為A，1, 2兩桿長(zhǎng)度為 l。用余能定理求各桿的軸力。12.2 卡氏定理30第30頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 解：以鉸鏈 D 的支反力X 為多余未知力，基本靜定系如圖b 所示，F(xiàn)，X 看作基本靜定系上獨(dú)立的外力，所以 Uc = Uc (P,X ) （不能含有其它未知力）因?yàn)殂q鏈 D 處沿鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有由該式求出X 后，再利用平衡方程求各桿的軸力。12.2 卡氏定理31第31頁(yè)，共58頁(yè)，20

13、22年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四(1)（軸力均用P和 X 表示）由平衡方程得各桿的軸力分別為各桿的應(yīng)力分別為(2)(3)由 得12.2 卡氏定理32第32頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四結(jié)構(gòu)的余能為(4)三桿的余能密度分別為12.2 卡氏定理33第33頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四（4）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示變形的幾何關(guān)系。由 ，得將X 值代入（1），得 以力為基本未知量解超靜定問(wèn)題的方法，稱(chēng)為力法。12.2 卡氏定理34第34頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 例4 剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)

14、剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求支反力。CABql l(a)12.2 卡氏定理35第35頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 解：該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X 為多余未知力，基本靜定系如圖b 所示。由于 ,但是在 中，出現(xiàn) (U也將出現(xiàn) )，必須把CABql l(a) l(b)yVCxxXVAxVAyCABql 用 q , X 表示。 由 ，得12.2 卡氏定理36第36頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四CB, AB段的彎矩方程及其對(duì)X 的偏導(dǎo)數(shù)分別為 ， 由 ，得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 卡氏定理37第

15、37頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四解得 （）和圖示方向相反。（）（）（）由平衡條件得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 卡氏定理38第38頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 例5 半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求對(duì)稱(chēng)截面上的內(nèi)力。12.2 卡氏定理39第39頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四 解：沿半圓環(huán)的對(duì)稱(chēng)截面處截開(kāi)，取兩個(gè)1/4圓環(huán)為基本靜定系（圖b)，多余未知力為軸力X1, 彎矩X2, 剪力X3。該題為三次超靜定。(a) 但由于結(jié)構(gòu)與荷載均是對(duì)稱(chēng)的，內(nèi)力也應(yīng)該是對(duì)

16、稱(chēng)的，但X3是反對(duì)稱(chēng)的，故X30，問(wèn)題簡(jiǎn)化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為P，X1，X2的函數(shù)，即12.2 卡氏定理40第40頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四與X1，X2 相應(yīng)的位移條件分別為兩截面的相對(duì)線位移和相對(duì)角位移為零，即(b)彎矩方程及其對(duì)X1，X2的偏導(dǎo)數(shù)分別為(c)12.2 卡氏定理41第41頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四注意到基本靜定系為兩個(gè)1/4圓環(huán)，(b)式成為(d)(e)將 (c) 式代入 (d) 和 (e) 式，可解得12.2 卡氏定理42第42頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四12.3 最小勢(shì)能

17、原理1.勢(shì)能取結(jié)構(gòu)在未受力時(shí)的狀態(tài)作為參考狀態(tài)，勢(shì)能為U拉桿變形過(guò)程中所積蓄的應(yīng)變能；拉桿受力后的變形。勢(shì)能的一般表達(dá)式：這一表達(dá)式適用于任何彈性結(jié)構(gòu)， 為廣義力， 為相應(yīng)的廣義位移。43第43頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四2.最小勢(shì)能原理當(dāng)任一位移有一個(gè)微小增量時(shí)，忽略高階微量，勢(shì)能的改變量為由卡氏第一定理 得，上式是表示結(jié)構(gòu)平衡的充分必要條件，且適用于一切彈性結(jié)構(gòu)。駐值原理12.3 最小勢(shì)能原理44第44頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四結(jié)構(gòu)平衡形態(tài)的穩(wěn)定性可由下述規(guī)則判斷：取最小值，穩(wěn)定的平衡；取最大值，中穩(wěn)定的平衡；取恒定值，中性的或臨界

18、的平衡。對(duì)于穩(wěn)定平衡的彈性結(jié)構(gòu)，最小勢(shì)能原理等價(jià)于平衡條件，適用于一切彈性結(jié)構(gòu)。12.3 最小勢(shì)能原理45第45頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四12.3 最小勢(shì)能原理例6 如圖所示超靜定桿系中，三桿材料相同且橫截面面積均為A，材料為線彈性，彈性模量為E，試求各桿應(yīng)力。解：由于對(duì)稱(chēng)性，E點(diǎn)只有鉛垂位移，設(shè)為D。3桿的應(yīng)變?yōu)槠浔饶転?桿的應(yīng)變能為46第46頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四12.3 最小勢(shì)能原理1、2桿的應(yīng)變?yōu)槠浔饶転槠鋺?yīng)變能為該桿系結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能為47第47頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為由最小勢(shì)能

19、原理三桿應(yīng)力分別為12.3 最小勢(shì)能原理48第48頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四12.4 瑞利-里茲法瑞利-里茲法主要思路：（1）用假設(shè)的變形形狀近似表示變形的真實(shí)形狀；（2）用形狀函數(shù)表示假設(shè)的變形形狀，形狀函數(shù)含有一個(gè)或多個(gè)不定的位移參數(shù)；（3）將勢(shì)能表示成上述位移參數(shù)的函數(shù)；（4）根據(jù)勢(shì)能駐值原理，令勢(shì)能對(duì)每一位移參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零，得到一組以未知的位移參數(shù)表示的聯(lián)立方程組；（5）求解方程組，得出各個(gè)位移參數(shù)，所假設(shè)的變形形狀即可得到；（6）求出內(nèi)力。49第49頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四例7 試確定如圖所示階梯狀梁中央處撓度的近似值。

20、解：取形狀函數(shù)為由邊界條件：于是由對(duì)稱(chēng)性條件：12.4 瑞利-里茲法50第50頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四全梁的彎曲應(yīng)變能為將 代入：該梁總勢(shì)能為12.4 瑞利-里茲法51第51頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四應(yīng)用最小勢(shì)能原理，得求得12.4 瑞利-里茲法52第52頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四例8 試用瑞利-里茲法計(jì)算如圖所示兩端簡(jiǎn)支階梯狀壓桿的臨界壓力。已知材料的彈性模量為E。解：在臨界壓力Pcr作用下，壓桿可在微彎狀態(tài)下維持中性平衡或臨界平衡。根據(jù)邊界條件，可用下式的單參數(shù)函數(shù)作為其撓曲線近似方程 為桿中點(diǎn)的撓度。由邊界條件：由對(duì)稱(chēng)性條件：12.4 瑞利-里茲法53第53頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)54分，星期四由于桿的微彎，在其上端有豎向位移 。為了求 ，在撓曲線上取一微段ds，它與其在x軸上投影dx之差為又