離散時間系統(tǒng)的時域分析

1、 離散時間系統(tǒng)的時域分析離散系統(tǒng)的數(shù)學模型差分方程的初值起始樣值與初始樣值如何求差分方程的特解離散信號卷積運算的幾種求法系統(tǒng)模擬1離散線性時不變系統(tǒng)離散系統(tǒng)的數(shù)學模型從常系數(shù)微分方程得到差分方程已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立離散系統(tǒng)數(shù)學模型離散時間系統(tǒng)數(shù)學模型21.離散時間系統(tǒng)定義:一個系統(tǒng),若輸入是離散時間信號,輸出也是離散時間信號,則此系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng).2.線性系統(tǒng)一、線性時不變離散時間系統(tǒng)x(n)y(n)離散時間系統(tǒng)(I).可加性：(II).均勻性：33.時不變系統(tǒng)：系統(tǒng)的運算關(guān)系T 在整個運 算過程中不隨時間(不隨序列的先后)而變化。4離散線性時不變系統(tǒng)(I).可加性：(II).均勻性：(III)

2、.時不變性：5二、數(shù)學描述差分方程(a)單位延時(b)相加(c)乘系數(shù)6 一個離散時間系統(tǒng)由延時、相加、乘系數(shù)等基本部件組合而成，如圖所示，激勵信號為x(n)，響應序列是y(n)，試寫出描述系統(tǒng)工作的差分方程。例1解：常系數(shù)線性差分方程*差分方程的階:差分方程的階數(shù)等于未知序列變量序號最高與最低值之差. 未知序列的序號自n以遞減的方式給出，稱為后向形式的(或向右移序)差分方程。 未知序列的序號自n以遞增的方式給出，稱為前向形式的(或向左移序)差分方程。7 一個離散時間系統(tǒng)如圖所示，試寫出描述系統(tǒng)工作的差分方程。例2解：一階前向差分方程 對因果系統(tǒng)用后向形式的差分方程比較方便。 在狀態(tài)變量分析中

3、，習慣用前向形式的差分方程。8在連續(xù)和離散之間作某種近似三、從常系數(shù)微分方程得到差分方程9取近似：10 如圖所示電阻梯形網(wǎng)絡(luò)，其各支路的電阻都為R，每個節(jié)點對地的電壓為v(n)，n=0,1,2,N。已知兩邊界點電壓為v(0)=E,v(N)=0。試寫出第n個節(jié)點電壓的差分方程。例3解： 此例中的差分方程v(n)的自變量n不表示時間，而是代表電路圖中結(jié)點序號。11 假定每對兔子每月可以生育一對小兔，新生的小兔要隔一個月才有生育能力，若第一個月只有一對新生小兔，求第n個月兔子對的數(shù)目是多少？例4解：用y(n)表示第n個月兔子對的數(shù)目。已知y(0)=0，y(1)=1,可以推知， y(2)=1， y(3

4、)=2，y(4)=3， y(5)=5， 第n個月有y(n-2)對有生育能力，這批兔子要變成2y(n-2)，還有y(n-1) -y(n-2)對沒有生育能力，所以Fibonacci數(shù)列若y(0)=0，y(1)=1,12常系數(shù)差分方程的求解迭代法時域經(jīng)典法離散卷積法：利用齊次解得零輸入解，再利用卷積和求零狀態(tài)解變換域法（Z變換法）狀態(tài)變量分析法13一、求解差分方程的迭代法和經(jīng)典法迭代法當差分方程階次較低時常用此法14時域經(jīng)典法差分方程齊次解：非重根時的齊次解L次重根時的齊次解共軛根時的齊次解特征根：有N個特征根15齊次解的形式(1) 特征根是不等實根(2) 特征根是相等實根(3) 特征根是成對共軛復

5、根16特解：（參考P20最后一段)自由項為 的多項式則特解為自由項含有 且 不是齊次根則特解為自由項含有 且 是單次齊次根則特解為自由項含有 且 是k次重齊次根則特解為自由項為正弦或余弦則特解為17完全解=齊次解+特解代入邊界條件求出待定系數(shù) ，于是得到完全解的閉式18例5例4 對Fibonacci數(shù)列建立的方程為已知y(1)=1,y(2)=1,試求解方程。解：特征方程為特征根為奇次解：y(1)=1,y(2)=1分別代入1920例6求差分方程的奇次解。解：特征方程為特征根為奇次解：21例7求下示差分方程的奇次解已知邊界條件為y(1)=1,y(2)=0, y(3)=1, y(5)=1 。解：特征

6、方程為特征根為奇次解：22例8求下示差分方程的完全解其中激勵函數(shù)x(n)=n2已知y(-1)=-1。解：(1)奇次解為(2)把激勵信號x(n)=n2，代入到方程右端，得自由項為特解的形式為，代入方程得完全解的表示式為23(3)代入邊界條件y(-1)=-1,求系數(shù)C解得完全響應為：24討論:1)若初始條件不變，輸入信號x(n) = sin(n0 ) u(n), 則系統(tǒng)的完全響應y(n)=？2) 若輸入信號不變，初始條件y(0)=1, y(1)=1, 則系統(tǒng)的完全響應y(n)=？25經(jīng)典法不足之處若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學方

7、法，無法突出系統(tǒng)響應的物理概念。若微分方程右邊激勵項較復雜，則難以處理。 26例9已知系統(tǒng)的差分方程表達式為(1)若邊界條件y(-1)=0，求系統(tǒng)的完全響應。(2)若邊界條件y(-1)=1，求系統(tǒng)的完全響應。解：(1)由于激勵在n=0時刻接入，且給定y(-1)=0 ，所以，起始時系統(tǒng)處于零狀態(tài)，由y(-1)=0用迭代法可求得y(0)=0.05奇次解為特解的形式為把特解代入到方程 得完全解為27把y(0)=0.05代入到y(tǒng)(n)表達式，求系數(shù)C 得完全響應為(2)先求零狀態(tài)響應，令y(-1)=0 ，即第(1)問的結(jié)果再求零輸入響應，令激勵信號等于零，差分方程為將y(-1)=1代入求得系數(shù)完全響應

8、28例711 中國建設(shè)銀行與北京市住房資金管理中心共同發(fā)布的等額均還個人購房貸款每月償還金額計算公式式中P為總貸款金額，I為貸款月利率，還款期限是N個月，每月還款金額為R。所謂等額均還即貸款期限內(nèi)每月以相等的償還額R歸還部分本金與利率，N個月還清全部本息。按照上述規(guī)定建立差分方程，并導出該計算公式。解：(1)設(shè)第n個月末欠款y(n),可建立差分方程如下：即第0個月的欠款為y(0)=P29(2) y(n)的奇次解為特解為代入到方程得(3) y(n)的完全解的表達式為令n=1，求得因為y(0)=P,所以求得30(3)把系數(shù)C代入 y(n)的完全解的表達式得為滿足N個月全部還清本息應有所以31離散時間系統(tǒng)的單位樣值響應一般時域經(jīng)典方法求h(n)迭代法將(n)轉(zhuǎn)化為起始條件，于是齊次解，即零輸入解就是單位樣值響應h(n) 。一、求系統(tǒng)單位樣值響應離散時間系統(tǒng)32例712已知離散系統(tǒng)的差分方程表達式試求其單位樣值響應h(n)。解：33例713已知離散系統(tǒng)的差分方程表達式試求其單位樣值響應h(n)。解：求差分方程的奇次解即零輸入響應特征方程三重根特征根齊次解確定初始條件34例714已知離散系統(tǒng)的差分方程表達式試求其單位樣值響應h(n)。解：利用LTI只考慮 激勵只考慮 激勵35二、根據(jù)單位樣值響應分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：輸出變化不