時(shí)間序列修改后異方差

1、21 異方差時(shí)間序列模21.0 21 異方差時(shí)間序列模21.0 自回歸模型進(jìn)展概述嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列Yt, 且 EYt,于是就可定義條 件期望(或條件均值): 用條件期望性質(zhì)(1)(本文標(biāo)號)可有依條件期望的性質(zhì)(2)=EYt記誤差(或殘差etYt-(Yt-1,Yt-用21.0.121.0.2式必有Eet =EYt-(Yt-1,Yt-(0-均值性(中心化(用性質(zhì)(2): EX=EEXYt-1,Yt-2, )(用性質(zhì)(3)EXYt-1,Yt-2,)Yt-1,Yt-=(Yt-1,Yt-2,)EXYt-1,Yt-XYt-Yt-1,Yt-2(Yt-1,Yt-2,)-再用21.0.1)即有et 的條件均值與

2、條件方差為了符號簡便, 以下記Ft-1=Yt-1,Yt-首先考慮et 的條件均值E(etFt-1)=EYt-(Yt-1,Yt-2,)Ft-=E(YtFt-1)-E(Yt-1,Yt-2,)Ft-=(Yt-1,Yt-2,)-(Yt-1,Yt-(第一項(xiàng)依21.0.1, 第二項(xiàng)依性質(zhì)(3)和再看條件方差 (注意此處嚴(yán)格按定義寫表達(dá)式=Eet Ft-2=Eet Ft-2(用21.0.7式(用性質(zhì)此處 S2(Yt-1,Yt-2,)為條件方差函數(shù), 這里也是依性質(zhì)(1)才有此表示. 注意, et的條件均值是零, 條件方差是非負(fù)的函數(shù) S2(Yt-1,Yt-2,), 它不一定是常數(shù)!, Yt=(Yt-1,Yt

3、-其中( Yt-1,Yt-2,)被稱為自回歸函數(shù), 不一定是線性的. 可稱為新息序列, 與前面出現(xiàn)的線性模型的新息序列不同除非Yt是正態(tài)序列. 順, 滿足21.0.4式的et為鞅序列, 稱它為鞅差序列, 因?yàn)閷λ那蠛褪请x散的鞅序列由于Yt是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列, EYt0. 限制00, 是為了保證型21.1.2有平穩(wěn)解! 否則, 若0=0, 考查如下 ARCH(1) 模將它代入21.1.5式t=(1yt-1 2 2yt-1 將它兩邊平y(tǒng)t =1yt-1 t 將它兩邊平y(tǒng)t =1yt-1 t 將它兩邊取對數(shù)log(yt )=log(1)+log(yt-1 )+log(t xt=log(yt ), c

4、=log(1t=log(t )(仍為i.i.d.序列), 上式xt=c+xt-1+這不是熟悉的一元 AR(1)模型嗎? 而且不滿足平穩(wěn)性條件,所以, 沒有平穩(wěn)解.限制tN(0, 1), 而不是tN(0, 2), 是標(biāo)準(zhǔn)其三所要求其四, 為使ARCH模型有平穩(wěn)解, 對系數(shù)還要加限制. 較早的限制(也是較強(qiáng))在此條件下, 不僅有平穩(wěn)解, 還有有窮二階矩. 后來, 也有人放寬條件, 只保證有平穩(wěn)解, 不保證有有窮二階矩. 所有這些結(jié)果的推理, 都要用到非線性時(shí)間序列分析的新成果.其五ARCH 模型的不同表述. Engle(1982)首次先提ARCH模型時(shí), 使用了如下敘述ytyt-1,yt-2,y1

5、 N(0, ht), ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p ,2易見, 21.1.5與21.1.5是等價(jià)的其六ARCH 模型的變形. 一種變其六ARCH 模型的變形. 一種變形方式是仿式的做法, 即將21.1.5式兩邊平方, 再將21.1.6式代入yt =htt =(0+1yt-1 +2yt-2 +pyt-p =(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p )(1+t -=0+1yt-1 +2yt-2 +pyt-+(t -1)(0+1yt-1 +2yt-2 +pyt-p =0+1yt-12+2yt-2 +pyt-p +ht(t -=0+1yt-12+2yt-2 +pyt-p +對序

6、列yt 而言, 此式很像線AR(p), wt=ht(t -1)一個(gè)平穩(wěn)的鞅差序列. 此式恰好是(21.1.5)式! 書中(p80010-p80119) 所作的解釋和說明欠準(zhǔn)確不和2ARCH模型的本義. 況且, 從原理上來說, 得到了yt 的解還不能說就得到了原序列yt的解. 好在只關(guān)心yt 2條件方差時(shí), 只用yt 的解也夠了. 不過, 用(21.1.5)式講ARCH 模型, 對初學(xué)者容易產(chǎn)生誤解. 用推導(dǎo)出的21.1.9式作為一種變形方式, 是嚴(yán)格的, 而且, 也可放心地使用它所謂使用它, 就是將原數(shù)據(jù)平方后得到: y12 , , , yT , 它們AR(p)模型, 便得到參數(shù)0,1,p的一

7、種估計(jì).如果對yt =htt 兩邊取對數(shù)log(yt )=log(ht)+log(t =log(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p )+log(t xt=log(yt ), c=Elog(t ), t=log(xt=log(yt ), c=Elog(t ), t=log(t )-c, 于是上式可x(t)=c+log(0+1ex(t-1)+2ex(t-2)+p ex(t-p)+ t. 21.1.10于是又得到一種變形. 此式是關(guān)于序列x(t)的非線性自回歸模型, 注意, 上式中的序列ti.i.d.的. 此外, ARCH模型還有別的表示方法, 不再一一介紹了.其七, 根據(jù)數(shù)y1,y2,yT

8、, 要作自回歸條件異方差模型的統(tǒng)計(jì)分析, 包含兩項(xiàng)內(nèi)容, 首先是用假設(shè)檢驗(yàn)方法, 判別這些數(shù)據(jù)是否有條件異方差條件性, 即, S(yt-1, yt-2, )=常數(shù)? 如果是否定回答, 第二項(xiàng)內(nèi)容就是對ARCH模型未知參數(shù)的估計(jì). 欲知檢驗(yàn)方法, 請查閱有關(guān)文獻(xiàn), 或見此書 (p8083-p80813)提供的較早出現(xiàn)的檢驗(yàn)方法. 欲知參數(shù)的估計(jì)方法, 可參看Hamilton的書(p8033-21.2GARCH(GeneralizedARCH) 模型Engle(1982)提出ARCH模型后, 受到應(yīng)用者的關(guān)注特別是金融界. 稍后幾年, 也被時(shí)間序列分重視. 從前面對新息列et限制條件的放寬過程可見

9、, 提出ARCH模型, 無疑是對時(shí)間序列分析理論和應(yīng)用研究有開拓性的意義. ARCH模型的理論研究和應(yīng)用中, 人們 會發(fā)問: 在21.1.6式中, yt 的條件方差 S(yt-ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p , 只依p 個(gè)歷史值, 能2考慮依賴全部歷史值的情況? Bollerslev(1986)給出了回答如下的更廣的模型, GARCH模型yt=S(yt-1,yt-2,如下的更廣的模型, GARCH模型yt=S(yt-1,yt-2,)t200,i0,j0,其中ti.i.d.N(0,1)分布, 且t與yt-1yt-2獨(dú)立對此 GARCH 模型作如下說明其一, 利用第三章反復(fù)使用的

10、模型迭代法, 由21.2.2式知htS(yt-1yt-2確實(shí)依賴序列的全部歷史值. 盡此依賴函數(shù)被有限參數(shù)所確定其二, 1997經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng), 被兩位定理論的Black-Scholes 方程的學(xué)者獲得. 從理論上人們發(fā)現(xiàn)Black-Scholes方程的解是連續(xù)時(shí)間變化的隨機(jī)過程, 對它間散化采樣序列, 恰好滿足 GARCH 模型. 于是GARCH模型更被認(rèn)可, 而且, 金融界特偏愛GARCH模型其三, 如前所述21.2.3式的條件00, 仍不能放寬00. 而且, 21.2.3式中的條件 i0, i=1,2,p, 還應(yīng)附加一個(gè)限制: 1+2+ p0, 否則, i=0 (i=1,2,p). , 一個(gè)潛

11、在原因是: 應(yīng)用者默認(rèn)p1,且文獻(xiàn)其四, 與對ARCH 模型的說明中的其四很類似. 為模型有平穩(wěn)解對系數(shù)i(i=1,2,p)和j=1,2,q. 還要加限制. 較早的限制(也是較強(qiáng))j=1,2,q. 還要加限制. 較早的限制(也是較強(qiáng))1+p+1+q在此條件下, 不僅有平穩(wěn)解, 還有有窮二階矩. 其余ARCH情況相同, 從略其五, 統(tǒng)計(jì)問題. 與對ARCH模型的說明中的其六很類似. 但是, 它比ARCH 模型要復(fù)雜, 此書也只提供了較早的21.3 其它擴(kuò)展模-ARCH模型從前面的平穩(wěn)性條件來看, 所有人都會感到太苛刻了.特別當(dāng)p或q較大時(shí), 每個(gè)i和j都小得很. 實(shí)用受限制. 于是有如下模型出現(xiàn)

12、, 即將21.1.6式改為ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-其中01, =1時(shí)就是ARCH模型, 1時(shí), -模型它不需要21.1.8式,也有平穩(wěn)解(p81411-17). 同理可推廣出-GARCH模型指數(shù)GARCH模型以上-ARCH 模型克服了21.1.8式的條件太強(qiáng)的缺點(diǎn)但是, 約束條件i0, 也, 因?yàn)樗鼘?dǎo)致數(shù)估計(jì)算法的復(fù)交雜性. 于是, 有人log(ht)(其優(yōu)點(diǎn)見 p812-多元ARCH(其優(yōu)點(diǎn)見 p812-多元ARCH模型在金融領(lǐng)域, 多元序列有廣泛的實(shí)際背景, 因此他關(guān)心多元ARCH和GARCH模型. 而且特別關(guān)心不同量之的條件相關(guān)系數(shù). 這就要設(shè)及如何定義此類模.為實(shí)際使用此模型, 要使用半拉直運(yùn)算, 即將對稱方陣的對交線和上半部分的元素列成向量. 用記號 Xt=vech(YtYt表示. 于是, 按照GARCH模型的形的推廣, 多元GARCH可寫YtYt-1,Y