全等三角形中與中點相關(guān)的輔助線做法及常見題型

1、全等三角形中與中點相關(guān)的輔助線做法及常見題型一倍長中線構(gòu)造全等三角形1.如圖所示，已知AABC中，4D平分ZBAC,E、F分別在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求證：EFAB.【提示】延長4D至到M,使DM=AD，連結(jié)EM,易AADCAMDE，可得Z3=ZM,AC=EM，然后根據(jù)AC=EF及Z2=Z3可得Zl=Z2,問題得證.2.如圖，AABC中，ABAC,AD是中線，AB=10,AD=7,ZCAD=45，求BC的長.【提示】延長AD到E使DE=AD=7,連接CE,作EF丄AC于F,作CH丄AD于H,如圖，先證明厶ADBEDC得到EC=AB=10,再利用AAEF為等腰直角三角形計算出AF

2、=EF=7叮2,則根據(jù)勾股定理可計算出CF邁,從而得到AC=；2,接著利用AACH為等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理計算出CD,從而得到BC的長.3.如圖所示，ZBAC=ZDAE=90,M是BE的中點，AB=AC,AD=AE，求證AM丄CD.【提示】延長AM到F,使MF=AM，交CD于點N,構(gòu)造平行四邊形，利用條件證明ABFACAD，可得出ZBAF=ZACD，再結(jié)合條件可得到ZANC=90,可證得結(jié)論.4.如圖所示，在AABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EFAD交CA的延長線于點F,交AB于點G,若BG=CF，求證：ABAC=2ZBAD.【提示】延長GE至Q,使EQ

3、=EG,連接CQ,根據(jù)SAS證厶BEGACEQ,推出BG=CQ,ZBGE=ZQ,又由BG=CF得CQ=CF,所以得ZF=ZQ,則ZBGE=ZF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得ZBGE=ZBAD,ZF=ZCAD，于是得ZBAD=ZCAD，所以結(jié)論得證.5如圖，分別以AABC的邊向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG,若0為EG的中點,求證：(1)AO=2BC;(2)AO丄BC.提示】如圖，延長AO到M,使0M=AO，連接GM，延長0A交BC于點H.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=MG,ZMG0=ZAE0,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到ZMGA+ZGAE=180,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AG=AB,AE=AC,ZBAG

4、=ZCAE=90，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=BC，等量代換即可得到結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ZM=ZEAO,ZM=ZACB，等量代換得到ZEA0=ZACB，求得ZAHC=90,根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論.6.如圖1,在RtAABC中，ABAC二90。,ZABC二60。,AB二4、：3,M是BC邊的中點，MN丄BC交AC于點N.將直角APMQ繞頂點M旋轉(zhuǎn)，使得邊MP與線段BA交于點p，邊MQ與線段AC交于點Q.QCJjfli點Q.QCJjfliB2(1)求證：APBM與AQNM相似;設(shè)BP的長為x,RtAApQ的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；探究bp2、PQ2、CQ

5、2三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【提示】(1)由同角的余角相等證得ZPMB=ZQMN及ZPBM=AQNM即可得出結(jié)論；(2)先由特殊角的三角函數(shù)值求出AC、BC，再由相似比求出NQ，并進(jìn)一步得出AQ，最后由面積公式得出S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）利用M是BC邊的中點構(gòu)造二角形全等，再由勾股定理探究BP2、PQ2、cQ2二者之間的數(shù)量關(guān)系.直角三角形斜邊上的中線7如圖所示，ZDBC=ZBCE=90。,M為DE的中點，求證：MB=MC.【提示】延長BM交CE于N，易得ADBMAENM,BM=MN,由直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得CM=MN=BM.8.如圖所示，四邊形ACBD中，ZADB二ZACB二90

6、。，ZDBC=60。，點E是AB的中點，求ZDCE的度數(shù).【提示】11連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=AB=BE，CE=AB=BE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可；9.如圖所示，AABC中，AB=AC,ABAC=90。,D為BC的中點，G為AC上一點，AE丄BG于點E,連結(jié)DE.求證：BE-AE=、JDE.【提示】連結(jié)AD，過點D作DF丄DE交BG于點F,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD二BD，AD丄BC,由等角的余角相等得ZADE=ZBDF,ZDAE=ZDBF，根據(jù)ASA可證出AADEABDF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得AE=BF,DE=DF,則厶EDF為等腰直角三角形，即可得EF二BE

7、-BF二BE-AE2DE.10.如圖，在矩形ABCD中，ZBAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F.若AB=2,AD=3，求EF的長；若G是EF的中點，連接BG和DG,求證：DG=BG.【提示】由AE平分ZBAD,可得ZDAF=45，從而ZF=45，可證ADF,AECF都是等腰直角三角形，求出CF的長，最后根據(jù)勾股定理即可求出EF的長；連結(jié)CG，易證ZBEG=ZDCG=135，根據(jù)“SAS”可證BEGDCG，從而可得DG=BG.三構(gòu)造中位線111.如圖所示，AABC中，ABAC二90。，延長BA到D，使AD二-AB，點E是AC的中點，求證：厶可知EF可知EF是AABC的中位線，根據(jù)三角

8、形中位線的性質(zhì)，可得EFAB，EF=-AB,又由AD=-AB，即可得AD=EF,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形AEFD是平行四邊形.DE=AF，由在RtA1ABC中，ZBAC=90。，點E邊BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得AF=-BC.所以DE=2BC.12.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E是線段AB延長線上一動點，連結(jié)CE.如圖1,過點c作CF丄CE交線段DA于點F.求證：CF=CE；若BE=m(0VmV4),用含m的代數(shù)式表示線段EF的長；在(1)的條件下，設(shè)線段EF的中點為M,探索線段BM與AF的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示.如圖2,在線

9、段CE上取點P使CP=2,連結(jié)AP,取線段AP的中點Q,連結(jié)BQ,求線段BQ的最小值.【提示】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)即可證明DCFBCE,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DF=BE=m.在RtAECF中，由勾股定理即可得出結(jié)論；在直線AB上取一點G,使BG=BE，由三角形中位線定理可得FG=2BM,可以證明AF=AG.在RtAAFG中由勾股定理即可得出結(jié)論.在AB的延長線上取點R,使BR=AB=4,連結(jié)PR和CR，由三角形中位線定理可得BQ=2PR.在心中，由勾股定理即可得出CR的長，再由三角形三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)論.DCDC四過端點向中線做垂線13.如圖所示，在AABC中，AB=AC,AB丄AC,D為AC邊中點，AE丄BD于E,CF丄BD的延長線于F，求證：CF=2BE.【提示】1過點C作CGIAE的延長線于G,則CF二EG,證AADEACDF，得AE=CF，則CF=-AG，再厶證AABEACAG，得BE=AG即可得CF=-BE.-14.如圖，D是CB延長線上一點，且BD=BC，E是AB上一點，DE=AC，求證：ABAC=ZBED.ADF【提示】ADF【提示】