導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分公式

1、一、導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量X在X處有增量Ax，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量Ay=f0TOC o 1-5 h z(x+Ax)f(X),比值A(chǔ)y叫做函數(shù)y=f(x)在x到x+Ax之間的平均變化率，即00Ax00Af(=+山)二f(AxAx如果當(dāng)AxT0時(shí)，Ay有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X處可導(dǎo)，并把這個(gè)極Ax0限叫做f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或y|。00 x=x0即f(x)=limA=lim/(x0+Ax)一/(x0)。0Axt0AxAxt0Ax說(shuō)明：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指AxT0時(shí)，有極限。如果空不存在極0AxAx限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)X處不可

2、導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù).一0Ax是自變量X在X處的改變量，Ax0時(shí)，而Ay是函數(shù)值的改變量，可以0是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟:0求函數(shù)的增量Ay=f(x+Ax)f(x);00求平均變化率A二/(xo+Ax)/(xo)；AxAx取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x)=limA。0AxT0Ax2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x，f(x)000處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x，f(x)處的切線的斜率是f00(x)。相應(yīng)地，切線方程為yy二f/(x)(xx)。00003常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)出公式()Q=o(C為常數(shù))(xn)=n

3、-xn一1(3)(sinx)=cosx(4)(cosx)=-sinx4兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)即：(u土v)=u土v.法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv)yuv+uv.若C為常數(shù)，則(Cu)=Cu+Cu二0+Cu二Cu即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(Cu)=Cu.法則3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：1v丿二uv一uv（v豐0）。v2二、定積分的概念及其計(jì)算(牛頓萊布尼茨公

4、式)1定積分1)概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=xxxxx=b把區(qū)間a,01i1inTOC o 1-5 h zb等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間x,x上取任一點(diǎn)E(i=l,2,n)作和式i1iiI=工f(E)x(其中Ax為小區(qū)間長(zhǎng)度)，把n8即厶x0時(shí)，和式I的極限叫做nini=1函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作：Jbf(x)dx，即Jbf(x)dx=lim工f(Ei)Axoaansi=1這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.定理若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x)，

5、則f(x)在a,b上可積，且bf(x)dx=F(b)一F(a)a這即為牛頓一萊布尼茨公式，也常記為f(x)dx=F(x)|b=F(b)一F(a)。aaxm#1)；基本的積分公式：j0dx=C；Jxmdx=-xm+l+C(mWQ,m+1+C；jexdx=ex+C；Jaxdx=竺+C；Inajcosxdx=sinx+CJsinxdx=cosx+C(表中C均為常數(shù))2)定積分的性質(zhì)bkf(x)dx=kJbf(x)dx(k為常數(shù));aaJbf(x)土g(x)dx=Jbf(x)dxJbg(x)dx；aaaJbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbf(x)dx(其中aVcaac(3)定積分求曲邊梯形面積Vb

6、)o由三條直線x=a,x=b(ab),x軸及一20)圍成的曲邊梯的面積S=Jbf(x)dxoa如果圖形由曲線y=f(x),y=f(x)(不112220),及直線x=a,x=b(ab)圍成，那么條曲線y=f(x)(f(x)=S曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC=fX)f?(皿。妨設(shè)f(x)f(x)12所求圖形的面積S一、基本導(dǎo)數(shù)公式：1.(kx)=k1.d(kx)=k2.(Xn)=nXn-12.d(xn)=nxn-1dx3.(ax)=axlna3.d(ax)=axlnadx4.(ex)=ex4.d(ex)=exdx5.(logx)=15.d(lnx)=dx匕xlnax6(lnx)=_x16.d(

7、logx)=dxaxlna7.(sinx)=cosx7.d(sinx)=cosxdx8.(cosx)=-sinx8.d(cosx)=-sinxdx9.(tanx)=sec2x9.d(tanx)=sec2xdx10.(cot)=-csc2x10.d(cotx)=-csc2xdx11.(secx)=secxtanx11.d(secx)=secxtanxdx12.(cscx)=-cscxcotx12.d(cscx)=-cscxcotxdx13.(arcsinx)=_1-x2d(arcsinx)=1dx1-x21d(arccosx)=-dx1一14.(arccosx)=-11-x215.(arctan

8、x)=11+x2115.d(arctanx)=dx+x2116.(arccot)=一16.d(arccotx)=-dx1+x2+x2二、基本微分公式：x三、不定積分基本公式：1.fkdx=kx+cxn+12.Jxndx=+cn+13.Jexdx=ex+cJdx=JcsC2xdx=-cotx+csin2xJ1dx=Jsec2xdx=tanx+ccos2xJ1dx=arctanx+c1+x2J1dx=arcsinx+cln1+x2cdx4.Jaxdx=axJ+clna1J_dx=InIxI+cxJsinxdx=-cosx+cJcosxdx=sinx+cJtanxdx=-InIcosxI+cJcotxdx=lnIsinxI+cJcscxdx=lnIcscx一cotxI+cJsecxdx=lnIsecx+tanxI+cJxdx二廣門-x2Jsecxtanxdx=secx+cJcscxcotxdx=-cscx+c18.Jdx1xarctan+cx2+a2aa19.