三角級(jí)數(shù)正交函數(shù)系課件

1、1 Fourier級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)正交函數(shù)系以2為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)收斂定理一、三角級(jí)數(shù)正交函數(shù)系在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)中，常會(huì)碰到周期運(yùn)動(dòng)，最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，可用正弦函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。這樣的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中A為振幅， 為初相角， 為角頻率。較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，則常是幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。第十五章 傅立葉級(jí)數(shù)Fourier Series非正弦周期函數(shù):矩形波不同頻率正弦波逐個(gè)疊加由以上可以看到：一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)可 以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加由無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)記則級(jí)數(shù)可改寫(xiě)為(4)(4)式的級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù)它是由三角函數(shù)列組成定理15.1 若級(jí)數(shù)收斂

2、，則級(jí)數(shù)（4）在整個(gè)數(shù)軸上絕對(duì)收斂且一致收斂。三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不相同函數(shù)的乘積在 上的積分都等于零，即以2為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)定理15.2 若在整個(gè)數(shù)軸上且上式右邊的級(jí)數(shù)一致收斂，則有可得可得稱為 的Fourier系數(shù)，以 的Fourier系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為 的Fourier級(jí)數(shù)。記為問(wèn)題: 滿足什么條件時(shí)有三、收斂定理定理15.3 若以2為周期的函數(shù) f 在 -, 上按段光滑，則在每一點(diǎn) x-, ，有和函數(shù)圖象為所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在收斂于 .所求函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為推廣:利用傅立葉

3、級(jí)數(shù)展開(kāi)式求出幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)(Sine series and cosine series) 一般說(shuō)來(lái),一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng).1.定理 設(shè) 是周期為 的函數(shù),且可積,則證明同理可證(2)2.定義定理證畢.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.和函數(shù)圖象解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù).非周期函數(shù)的周期性開(kāi)拓則有如下兩種情況注(二)1.奇延拓2.偶延拓解(1)求正弦級(jí)數(shù).(2)求余弦級(jí)數(shù)1.基本概念 三角級(jí)數(shù)及其正交性,傅立 葉系數(shù),傅立葉級(jí)數(shù),周期延拓,奇、偶延拓,正弦級(jí)數(shù),余弦級(jí)數(shù)；2.函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)定理 狄利克雷充分條件定