從方程的角度理解線性代數(shù)課件

1、從方程的角度理解線性代數(shù) 用消元法解二元線性方程組一、二元線性方程組與二階行列式a22 - a12 消去 x2 得a11 - a21 消去 x1 得當(dāng) a11a22 - a12a21 0 時(shí),方程組的解為 二階行列式記 Cramer 法則方程組的解為當(dāng)系數(shù)行列式 D 0 時(shí),例3 計(jì)算 n 階行列式 Laplace 按行列展開(kāi)定理 行列式等于某一行(列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和. 即 解性質(zhì)4 對(duì)換兩行, 行列式值反號(hào). 推論1 有兩行全同的行列式, 其值為零.性質(zhì)5 把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù), 然后加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去, 行列式的值不變.性質(zhì)四、行列式值的計(jì)算(2) 利

2、用 Laplace 定理的降階法.(1) 化為上(下)三角形行列式的所謂化三角形法; 行列式的計(jì)算基本過(guò)程就是利用性質(zhì)逐步簡(jiǎn)化行列式的結(jié)構(gòu). 為了便于檢查, 引進(jìn)以下記號(hào): 用 ri rj 表示對(duì)換第 i, j 行; 用 kri 表示第 i 行乘以非零數(shù) k； 用 rj +kri 表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行. 用 ci 表示第 i 列, 有相仿的記號(hào).性質(zhì) 主要方法有兩個(gè): 下列三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換： 矩陣的初等行變換 (3) 把矩陣的第 i 行的 k 倍加到第 j 行, 用 rj +kri 記之.(2) 用非零數(shù) k 乘矩陣的第 i 行, 用 kri 記之;(1) 對(duì)換

3、矩陣的第 i, j 行, 用 rirj 記之; 線性方程組的消元過(guò)程, 同解方程組的變化, 用相應(yīng)的增廣矩陣(行變換)的變化來(lái)表示, 顯得更加清晰. 一、消元法與矩陣的初等行變換 如果矩陣 A 經(jīng)過(guò)有限次初等行變換, 化為矩陣 B, 就稱(chēng)矩陣 A 與 B 行等價(jià). 增廣矩陣行等價(jià)的兩個(gè)線性方程組同解.解 對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換:例3 解線性方程組 此增廣矩陣相應(yīng)的方程組第三個(gè)方程為 0 = 2, 不可能.原方程組無(wú)解.(行階梯形矩陣) 最后, 矩陣 A 便化為行階梯形矩陣其中 a1ar 0, r m, n, 左下方空白處元素全為零. 用初等行變換化矩陣為行最簡(jiǎn)形 線性方程組的最簡(jiǎn)形解

4、法 將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形, 寫(xiě)出同解方程組, 解便一目了然. 對(duì)于齊次線性方程組, 增廣矩陣改用系數(shù)矩陣即可.例5 解線性方程組 解 化方程組的增廣矩陣為行最簡(jiǎn)形:于是得同解方程組令自由未知元 x2=k1, x4=k2, 得原方程組的通解為 mn 矩陣 aij : 矩陣的第 i 行第 j 列的元素, 用粗體大寫(xiě)字母表示矩陣, 以上矩陣記為 A (aij).簡(jiǎn)稱(chēng) (i, j)元.一、矩陣及其線性運(yùn)算 數(shù)與矩陣的乘積 數(shù) k 與矩陣 A=(aij) 的乘積稱(chēng)為數(shù)乘運(yùn)算, 記作 kA, 矩陣的加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算. 線性運(yùn)算律 設(shè) A, B, C 為同型矩陣, k,

5、l 為數(shù), 則成立(1)(2)(3)規(guī)定為 兩矩陣的乘積 設(shè)記稱(chēng)矩陣 為矩陣 A 與 B 的乘積, 記為 C = AB. AB 中第 i 行第 j 列的元素為 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的乘積. 線性方程組可記為矩陣形式 Ax = b, 其中 當(dāng)b 0 時(shí), 稱(chēng)方程組為非齊次的.當(dāng)b = 0 時(shí), 稱(chēng)方程組為齊次的;稱(chēng)矩陣 A 為線性方程組的系數(shù)矩陣.稱(chēng)矩陣為線性方程組的增廣矩陣. 方陣 A 可逆時(shí), 其逆矩陣唯一, 記為 A-1. 逆矩陣 如果存在矩陣 B, 使 AB = BA = E那么稱(chēng)方陣 A 為可逆的, 并稱(chēng) B 為 A 的逆矩陣.二、逆矩陣 設(shè) A 可逆, 則矩陣方程 A

6、X = B 有唯一解 X = A-1 B. 設(shè) A 可逆, 則矩陣方程 XA = B 有唯一解 X = BA-1 . 設(shè) A 可逆, 則線性變換 y = Ax 的逆變換為 x = A-1 y. 逆矩陣的性質(zhì) 設(shè) A, B 為 n 階可逆矩陣, 則有 逆矩陣計(jì)算公式 非奇異矩陣 A 可逆, 且其逆矩陣為三、逆矩陣的初等變換求法 設(shè) A 可逆, 則由定理4知, (A, E) 經(jīng)若干次初等行變換可化為 (E, A-1). 逆矩陣的初等變換求法逆矩陣的初等變換求法:解 例2 已知求 A-1.1.4 矩陣分塊法 用若干條橫、豎線將矩陣分塊, 每一小塊稱(chēng)為子矩陣.以子矩陣為元素的形式上的矩陣, 稱(chēng)為分塊矩

7、陣.例1 將 34 矩陣分塊, 分塊法有多種.例如:22 分塊:23 分塊:解由已知 |A|0, |B|0, 而 |D| = |A|B| 0, 因此 D 可逆.設(shè) 其中方陣 X, Y 分別與 A, B 同階,解得 因此 則例5 設(shè) A 為 n 階可逆方陣, B 為 r 階可逆方陣, C 為rn 矩陣, 證明可逆, 并求 D-1. 矩陣的秩 如果矩陣 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 那么稱(chēng) F 中單位陣的階數(shù) r 為矩陣 A 的秩, 記為 R(A), 或 rank(A). 規(guī)定零矩陣的秩等于0. 定理1 任一矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形唯一.推論 n元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解的充分必要條件是 R(A) R

8、(A) 時(shí), 方程組無(wú)解; (2) 當(dāng) R(A, b) = R(A) = n 時(shí), 方程組有唯一解; (3) 當(dāng) R(A, b) = R(A) n 時(shí), 方程組有無(wú)窮多解. 設(shè) n 元線性方程組 Ax = b. 當(dāng) R(A) = n 時(shí), n 元齊次方程組 Ax = 0 只有零解. 當(dāng) R(A) = r 其中注意:二、線性方程組解的結(jié)構(gòu) 則 Ax = 0 的通解可表示為向量形式 齊次通解結(jié)構(gòu)定理則 Ax = 0 的通解可表示為向量形式其中注意: 設(shè) x1, xn-r (r = R(A)為 n 元方程組 Ax = 0 的解, 且滿足條件 R(x1, xn-r) = n- r, 則 Ax = 0

9、的通解為(k1, kn-r 為任意數(shù)) 稱(chēng) x1, xn-r 為方程組 Ax = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 解 化系數(shù)矩陣為行最簡(jiǎn)形:例4 求線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.于是得同解方程組分別令 x3 = 7, x4 = 0 和 x3 = 0, x4 = 7, 得基礎(chǔ)解系為一、向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組 向量組的秩 設(shè) A 為一向量組, A 中線性無(wú)關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)的最大值 r, 稱(chēng)為向量組 A 的秩, 記為 R(A). 向量組的最大無(wú)關(guān)組 設(shè)向量組 A 的秩為 r, 如果 a1, , ar 為 A 中一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組, 那么稱(chēng) a1,ar 為 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組. 最大無(wú)關(guān)組的性質(zhì) 設(shè) A 為一向量組, 則部分組 a1,ar 為 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組的充分必要條件是(2) A 中任一向量可由 a1,ar 線性表示.(1) a1,ar 線性無(wú)關(guān); 初等行變換保持矩陣的列向量組的線性關(guān)系.證明 設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等行變換化為矩陣 B.設(shè)矩陣 A 的列向量組有一線性關(guān)系因?yàn)榫仃?A 與 B 行等價(jià),所以 Ax = 0 與 Bx = 0 同解,由此可知也有 定理1 記 秩與最大無(wú)關(guān)組的一個(gè)算法 例3 設(shè)的秩為3,一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為易知且有 的秩為3,一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為因此且有 化矩陣 A為