兩水平2k析因分析1

1、兩水平(2k)析因分析1析因設(shè)計的基本概念析因設(shè)計（factorial design）是一種多因素的交叉分組實驗設(shè)計類型，其實驗分組由各研究因素的水平全面組合而成。通過析因設(shè)計不僅可檢驗每個因素各水平間的差異，而且可檢驗各因素間的交互作用（interaction）。兩個或多個因素間存在交互作用，表示各因素不是各自獨立的，而是一個因素的水平有改變時，另一個或幾個因素的效應(yīng)也相應(yīng)有所改變；反之，如不存在交互作用，表示各因素具有獨立性，一個因素的水平有改變時不影響其他因素的效應(yīng)。22*k因子設(shè)計假設(shè)試驗中共有k個因子,每個因子都只有兩個水平，這些水平既可以為數(shù)量性的,如溫度、壓力；也可以是非數(shù)量性的

2、即質(zhì)量性，如兩臺機器,兩種方法等。設(shè)計的安排總共有個2k不同的組合，每個組合下取一個值，總共有2k個，稱作2k因子設(shè)計或析因分析。322設(shè)計22設(shè)計是簡單2k因子設(shè)計。2個因子，每個因子有2個水平，一般地用“高”或“低”表示。假設(shè)每一個水平組合下作n 次重復(fù)實驗。記A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作用AB的效果。a表示因子A在高水平，因子B在低水平的實驗值之和；b表示因子B在高水平，因子A在低水平的實驗值之和；ab表示因子A和B都在高水平的實驗值之和；l表示因子A和B都在低水平的實驗值之和。422設(shè)計的因子水平組合ab=90b=60l=80a=100因素B高，1低，0因素A

3、高，1低，0522設(shè)計的因子水平組合ab=90b=60l=80a=100因素B高，1低，0因素A高，1低，0因子A的平均效果：在B的低水平下為：a-l/n在B的高水平下為：ab-b/n總平均效果是這兩個數(shù)的平均值，即A=ab-b+a-l/2n =ab+a-b-l/2n因子B的平均效果：在A的低水平下為：b-l/n在A的高水平下為：ab-a/n總平均效果是這兩個數(shù)的平均值，即B=ab-a+b-l/2n =ab+b-a-l/2n622設(shè)計的因子水平組合ab=90b=60l=80a=100因素B高，1低，0因素A高，1低，0交互作用AB的平均效果：它是在B高水平下與在B的低水平下，A的平均效果之和，

4、即AB=ab-b+ a-l/2n =ab+a-b-l/2n在B的低水平下為：a-l/n在B的高水平下為：ab-b/n也可以看成是在A高水平下與在A的低水平下，B的平均效果之和，即AB=ab+l-a-b/2n722設(shè)計因此，因素A，B及AB的效應(yīng)平方和分別為：因素A效應(yīng)的平方和：SA=ab+a-b-l2/4n因素B效應(yīng)的平方和：SB=ab+b-a-l2/4n因素AB效應(yīng)的平方和：SAb=ab+l-a-b2/4n822設(shè)計某化學(xué)反應(yīng)過程，因素A為反應(yīng)物的濃度，兩水平（15%，25%），因素B為催化劑的使用，兩水平（用，不用），每種組和做3次實驗。實驗數(shù)據(jù)見表:因子水平組合i試驗值1 2 3和yi符

5、號AlBl28 25 2780lAhBl36 32 32100aAlBh28 19 2360bAhBh31 30 2990ab=330922設(shè)計SA=208.33SB=75.00SAB=8.33根據(jù)方差分析中的總偏差平方和ST=323.0SE=31.341022設(shè)計方差分析表方差來源平方和自由度均方F因子A208.331(rA-1)208.3353.15因子A75.001(rB-1)75.0019.13AB8.331(rA-1) (rB-1)8.332.13誤差E31.348(rA rB(n-1)3.92總和T323.0011(rA rBn-1)對A，B給出=0.01，對AB給出 =0.05，

6、有F0.01(1,8)=11.26,F0.05(1,8)=5.23,1122設(shè)計結(jié)論A，B因素均為重要因素，對化學(xué)反應(yīng)有顯著影響。其中A的影響更顯著。交互作用AXB無顯著影響。本案例方法通常稱為2k因子設(shè)計的標準分析方法。1222設(shè)計22設(shè)計的符號規(guī)則。各因子的線性組合按順序l,a,b,ab寫出來，稱為標準序，用這個標準順序表示因子的效果，各項的系數(shù)如表。labab效果A-1+1-1+1B-1-1+1+1AB+1-1-1+11322設(shè)計如果引進符號I表示整個試驗的總和全用“+”號，將“+1”“-1”。簡化為“+”“-”，并將行與列交換，即得到完整的符號表。因子水平組合因子效果IABABl+-+

7、a+-b+-+-ab+性質(zhì)：（1）除I列，各列中“+”“-”號個數(shù)相等；（2）任意兩列同行系數(shù)乘積之和為0，即具有正交性。14有關(guān)析因設(shè)計的基本特點析因設(shè)計比單因素設(shè)計能提供更多的試驗信息，可比較各因素內(nèi)水平間的差異，還能反映因素間的協(xié)同或拮抗作用。實際工作中可用于篩選最佳治療方案、藥物配方、實驗條件等方面的研究。析因設(shè)計的缺點：當因素個數(shù)較多時（三個因素以上），所需實驗單位數(shù)、處理組數(shù)和數(shù)據(jù)處理的計算量劇增。15STATISTICA 6.0中Experimental Design模塊的主要功能 2*(K-p) standard designs (Box, Hunter & Hunter).兩

8、水平析因標準設(shè)計2-level screening (Plackett-Burman) designs.兩水平篩選因素設(shè)計2*(K-p) max unconfounded or min aberration designs.兩水平最大混區(qū)或最小偏差設(shè)計3*(K-p) and Box-Behnken designs.三水平和Box-Behnken設(shè)計Mixed 2 and 3 level designs.混合二水平和三水平設(shè)計Central composite, non-factorial, surface designs.中心復(fù)合、非析因和響應(yīng)面設(shè)計Latin squares, Greco-L

9、atin squares.拉丁方、Greco拉丁方Taguchi robust design experiments (orthogonal arrays).田口穩(wěn)健實驗設(shè)計(正交數(shù)組)Mixture designs and triangular surfaces.混合設(shè)計和三角面Designs for constrained surfaces and mixtures.約束面和混合物設(shè)計D- and A- (T-) optimal algorithmic designs.D- 和A- (T-)優(yōu)化算法設(shè)計162*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析 一著色劑生產(chǎn)的情況，由于過程的化學(xué)機理不是完全清楚，需進

10、行影響因素的試驗研究。研究的響應(yīng)是產(chǎn)品的強度、色澤和亮度，考慮過程的主要影響因素為聚硫化物、回流、摩爾數(shù)、時間、溶劑和溫度六個，試驗采用兩水平的全析因設(shè)計，共有2*664次試驗，所確定的六因素高低限如下表所示： Factor Setting Low High聚硫化物 6 7回流 150 170摩爾 1.8 2.4時間 24 36溶劑 30 42溫度 120 130172*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析 最終64組試驗數(shù)據(jù)的全部結(jié)果見Textile.sta。部分數(shù)據(jù)如下：在許多情形下，考慮兩水平下因素對過程的影響是可以的，通過全析因設(shè)計，組合各種可能性。但是，隨著因素的增加，試驗次數(shù)將以幾何倍數(shù)增長，如

11、對一個十因素的兩水平全析因設(shè)計，需進行2*101024次試驗，一般不可能這樣去做，這時需考慮部分析因設(shè)計。 182*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析 部分析因設(shè)計的基本做法是使考察主效應(yīng)(影響)和交互作用都能實現(xiàn)，僅忽略高價交互作用效應(yīng)。部分析因設(shè)計主要用于篩選實驗，從眾多因素中找出有大效應(yīng)的那些因素。在實驗的早期階段，考慮的一些因素有可能對響應(yīng)只有小的效應(yīng)或沒有效應(yīng)，這時采用部分析因設(shè)計，可有效節(jié)省實驗工作量。這樣能在隨后的實驗中對那些被確定為主要的因素進行更為深入的研究。如考慮一個兩水平三因素的部分析因設(shè)計，可以選2*(3-1)4種實驗組合，即A(+,-,-),B(-,+,-),C(-,-,+)和A

12、BC(+,+,+)，括號內(nèi)加減符號表示為水平的高低取值。下表將兩水平三因素的全析因設(shè)計列出，則兩水平三因素的部分析因設(shè)計為表中的上半部分。192*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析 2*3全析因設(shè)計的符號表因 素 效 應(yīng)組合IABCABACBCABCABCABCABACBC(1) 其中I=ABC為設(shè)計的定義關(guān)系202*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析 有了析因設(shè)計及實驗結(jié)果后，就可選用STATISTICA主窗口中Experimental Design模塊的2*(K-p) design (two-level factorial designs) 進行統(tǒng)計分析。其中 表示區(qū)組個數(shù)， 表示區(qū)組大小。Experimenta

13、l Design模塊主要進行兩方面的工作：如何優(yōu)化設(shè)計實驗和分析實驗結(jié)果。在設(shè)計實驗時，可根據(jù)不同的目的選擇相應(yīng)的方法，這時要注意的是實驗評價應(yīng)該能達到無偏的情況，即改變某因素的設(shè)定值，不會對研究其它因素造成影響，各因素和因素間的相互作用關(guān)系都清楚。在分析實驗結(jié)果時，可利用眾多的方法和圖表來進行統(tǒng)計的分析。 表示區(qū)組個數(shù)，212*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析 Experimental Design模塊提供了幾種圖示方法來反映各種因素的影響，其中主要的是因素的正態(tài)概率圖和Pareto圖。除了聚硫化物、溫度和時間之外，其它的主效應(yīng)和交互作用都集中在一起，且隨機分布在零的兩邊，數(shù)據(jù)點幾乎形成一直線，這充分

14、說明了主效應(yīng)回流、摩爾數(shù)、溶劑以及各種因素間的交互作用對強度作用的影響小。主效應(yīng)聚硫化物。溫度和時間明顯偏離零點，相互分開在圖的右上方，說明這三個因素是影響強度的主要因素，且相互之間沒有關(guān)聯(lián)，同上面ANONA分析的結(jié)果相一致。222*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析 由于主效應(yīng)模型就可以描述因素間的關(guān)系，因此選擇無交互作用后，也可作Pareto圖（見圖）。這圖同樣清楚地表明了強度主要由聚硫化物、時間和溫度這三個因素來決定，并用三因素的線性關(guān)系就可描述。從本例可看到，對正交實驗結(jié)果用ANOVA來分析處理，就可得到明確的結(jié)果，如是非線性的問題，在這樣的分析基礎(chǔ)之上需作進一步的分析工作。 232*6全析因?qū)嶒?/p>

15、設(shè)計及分析242*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析文件的尋找：PROGRAM FILE STATSOFTSTATISTICA 6EXAMPLEDATASETSTEXTILE.STA252*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析262*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析菜單：STATISTICAINDUSTRIAL STATISTICS & SIX SIGMAEXPERIMENTAL DESIGN（DOE）272*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析282*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析29按鈕ANOVA TABLE302*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析312*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析SUMMARY ：EFFECT ESTIMATE32NORMAL PROBABI

16、LITY PLOTt1有一定影響；t2有重要影響；t1影響不大。332*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析PARETO CHART 34如何得到?jīng)]有交互影響的PARETO圖？在MODEL 卡片NO INTERACTION352*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析362*6全析因?qū)嶒炘O(shè)計及分析37中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析 研究化工過程中溫度和時間對產(chǎn)率的影響是一典型的問題。一般來說，它們之間的關(guān)系是非線性的，這時采用響應(yīng)曲面法來設(shè)計和分析是首選的方法之一。這里介紹從試驗的設(shè)計開始。在Experimental Design模塊中，啟動Analysis的Startup Panel，選擇Central compos

17、ite, non-factorial, response surface designs，打開 Central Composite (Response Surface) Designs 對話窗，采用兩因素標準中心復(fù)合設(shè)計，進行10次試驗，分兩區(qū)組，即2/2/10。 38中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析從Display/save/print design可看到如下表格： 2*(2) central composite, nc=4 ns=4 nc0=1 ns0=1 Runs=10- Block A B -1 1 -1.00000 -1.000002 1 -1.00000 1.000003 1 1

18、.00000 -1.000004 1 1.00000 1.000005 (C) 1 0.00000 0.000006 2 -1.41421 0.000007 2 1.41421 0.000008 2 0.00000 -1.414219 2 0.00000 1.4142110 (C) 2 0.00000 0.0000039中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析表中值為因素水平的標準取值（即因素編碼值），為便于用試驗數(shù)據(jù)表示結(jié)果及分析，可輸入因素設(shè)置。用Factor names, values, etc.，輸入因素的高、低及中心值，有下表： | Factor Low Low Center Center

19、 High | Name Value Label Value Label Value -+- -A (1) | Time 80.0000 Low 90.0000 CenterPt 100.0000B (2) | Degrees 140.0000 Low 145.0000 CenterPt 150.000040中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析再從Add to the design中，每區(qū)組增加一相同的中心試驗。這樣做的原因如下：在某些點進行重復(fù)試驗，可以估計隨機測量響應(yīng)的可靠性，檢驗殘差的統(tǒng)計顯著性(這從因素和其交互作用中得不到，見下面的結(jié)果與討論)。如果檢驗殘差是統(tǒng)計顯著的，就表明采用的統(tǒng)計

20、分析模型不合適(lack of fit)。41中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析2*(2) central composite, nc=4 ns=4 nc0=1 ns0=1 Runs=10+ 1 center points per block-+- | Block Time Degrees -+-1 | 1 80.0000 140.00002 | 1 80.0000 150.00003 | 1 100.0000 140.00004 | 1 100.0000 150.00005 (C) | 1 90.0000 145.00006 (C) | 1 90.0000 145.00007 | 2 75.

21、8579 145.00008 | 2 104.1421 145.00009 | 2 90.0000 137.928910 | 2 90.0000 152.071111 (C) | 2 90.0000 145.000012 (C) | 2 90.0000 145.000042中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析 本例涉及到了區(qū)組問題。有很多問題，不可能在一個區(qū)組內(nèi)完成全部的析因?qū)嶒?，需將其安排在多個區(qū)組內(nèi)進行，這就是混區(qū)設(shè)計，這時每個區(qū)組內(nèi)都包含一個部分析因設(shè)計。如果考慮區(qū)組有2*p個部分析因的情況，而相應(yīng)的2*k是全析因設(shè)計(pk)，則部分析因設(shè)計將在兩區(qū)組或四區(qū)組內(nèi)實現(xiàn)。如對一2*2的實驗設(shè)計

22、，需進行四次實驗，而每次實驗都需一定量的原材料。當每批原料只夠做兩次實驗，就需兩批原料。如把原料的批看作區(qū)組，則必須把四次實驗中的一半分派到每個區(qū)組。43中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析在Central composite, non-factorial, surface designs 的Analyze results中，選產(chǎn)率為應(yīng)變量響應(yīng)，自變量因素是時間和溫度，區(qū)組變量為區(qū)組，就可進入與上例類似的各種數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析選擇及結(jié)果的界面。首先來看方差分析。如上所述，本例在試驗設(shè)計中每區(qū)組增加了一個相同的中心點，以消除試驗誤差帶來的影響。用線性模型(Linear main-effects only)，從ANOVA表中，可得下面結(jié)果：44中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實驗設(shè)計與分析從表中可以看出，只有Lack of Fit是邊際顯著的(p0.1)，表明線性模型太簡單了，屬于模型不合適的情況。 ANOVA; Var.:YIELD; R-sqr=.11794; Adj:0. (composit.sta)-+- | 2 factors, 2 Blocks, 12 Runs; MS Pure Error=2.3525 | DV: YIELD: Yield of process in grams-+-Factor | SS df MS F