兩水平2k析因分析1

1、兩水平(2k)析因分析1析因設(shè)計(jì)的基本概念析因設(shè)計(jì)（factorial design）是一種多因素的交叉分組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)類型，其實(shí)驗(yàn)分組由各研究因素的水平全面組合而成。通過析因設(shè)計(jì)不僅可檢驗(yàn)每個(gè)因素各水平間的差異，而且可檢驗(yàn)各因素間的交互作用（interaction）。兩個(gè)或多個(gè)因素間存在交互作用，表示各因素不是各自獨(dú)立的，而是一個(gè)因素的水平有改變時(shí)，另一個(gè)或幾個(gè)因素的效應(yīng)也相應(yīng)有所改變；反之，如不存在交互作用，表示各因素具有獨(dú)立性，一個(gè)因素的水平有改變時(shí)不影響其他因素的效應(yīng)。22*k因子設(shè)計(jì)假設(shè)試驗(yàn)中共有k個(gè)因子,每個(gè)因子都只有兩個(gè)水平，這些水平既可以為數(shù)量性的,如溫度、壓力；也可以是非數(shù)量性的

2、即質(zhì)量性，如兩臺(tái)機(jī)器,兩種方法等。設(shè)計(jì)的安排總共有個(gè)2k不同的組合，每個(gè)組合下取一個(gè)值，總共有2k個(gè)，稱作2k因子設(shè)計(jì)或析因分析。322設(shè)計(jì)22設(shè)計(jì)是簡單2k因子設(shè)計(jì)。2個(gè)因子，每個(gè)因子有2個(gè)水平，一般地用“高”或“低”表示。假設(shè)每一個(gè)水平組合下作n 次重復(fù)實(shí)驗(yàn)。記A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作用AB的效果。a表示因子A在高水平，因子B在低水平的實(shí)驗(yàn)值之和；b表示因子B在高水平，因子A在低水平的實(shí)驗(yàn)值之和；ab表示因子A和B都在高水平的實(shí)驗(yàn)值之和；l表示因子A和B都在低水平的實(shí)驗(yàn)值之和。422設(shè)計(jì)的因子水平組合ab=90b=60l=80a=100因素B高，1低，0因素A

3、高，1低，0522設(shè)計(jì)的因子水平組合ab=90b=60l=80a=100因素B高，1低，0因素A高，1低，0因子A的平均效果：在B的低水平下為：a-l/n在B的高水平下為：ab-b/n總平均效果是這兩個(gè)數(shù)的平均值，即A=ab-b+a-l/2n =ab+a-b-l/2n因子B的平均效果：在A的低水平下為：b-l/n在A的高水平下為：ab-a/n總平均效果是這兩個(gè)數(shù)的平均值，即B=ab-a+b-l/2n =ab+b-a-l/2n622設(shè)計(jì)的因子水平組合ab=90b=60l=80a=100因素B高，1低，0因素A高，1低，0交互作用AB的平均效果：它是在B高水平下與在B的低水平下，A的平均效果之和，

4、即AB=ab-b+ a-l/2n =ab+a-b-l/2n在B的低水平下為：a-l/n在B的高水平下為：ab-b/n也可以看成是在A高水平下與在A的低水平下，B的平均效果之和，即AB=ab+l-a-b/2n722設(shè)計(jì)因此，因素A，B及AB的效應(yīng)平方和分別為：因素A效應(yīng)的平方和：SA=ab+a-b-l2/4n因素B效應(yīng)的平方和：SB=ab+b-a-l2/4n因素AB效應(yīng)的平方和：SAb=ab+l-a-b2/4n822設(shè)計(jì)某化學(xué)反應(yīng)過程，因素A為反應(yīng)物的濃度，兩水平（15%，25%），因素B為催化劑的使用，兩水平（用，不用），每種組和做3次實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表:因子水平組合i試驗(yàn)值1 2 3和yi符

5、號(hào)AlBl28 25 2780lAhBl36 32 32100aAlBh28 19 2360bAhBh31 30 2990ab=330922設(shè)計(jì)SA=208.33SB=75.00SAB=8.33根據(jù)方差分析中的總偏差平方和ST=323.0SE=31.341022設(shè)計(jì)方差分析表方差來源平方和自由度均方F因子A208.331(rA-1)208.3353.15因子A75.001(rB-1)75.0019.13AB8.331(rA-1) (rB-1)8.332.13誤差E31.348(rA rB(n-1)3.92總和T323.0011(rA rBn-1)對(duì)A，B給出=0.01，對(duì)AB給出 =0.05，

6、有F0.01(1,8)=11.26,F0.05(1,8)=5.23,1122設(shè)計(jì)結(jié)論A，B因素均為重要因素，對(duì)化學(xué)反應(yīng)有顯著影響。其中A的影響更顯著。交互作用AXB無顯著影響。本案例方法通常稱為2k因子設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)分析方法。1222設(shè)計(jì)22設(shè)計(jì)的符號(hào)規(guī)則。各因子的線性組合按順序l,a,b,ab寫出來，稱為標(biāo)準(zhǔn)序，用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)順序表示因子的效果，各項(xiàng)的系數(shù)如表。labab效果A-1+1-1+1B-1-1+1+1AB+1-1-1+11322設(shè)計(jì)如果引進(jìn)符號(hào)I表示整個(gè)試驗(yàn)的總和全用“+”號(hào)，將“+1”“-1”。簡化為“+”“-”，并將行與列交換，即得到完整的符號(hào)表。因子水平組合因子效果IABABl+-+

7、a+-b+-+-ab+性質(zhì)：（1）除I列，各列中“+”“-”號(hào)個(gè)數(shù)相等；（2）任意兩列同行系數(shù)乘積之和為0，即具有正交性。14有關(guān)析因設(shè)計(jì)的基本特點(diǎn)析因設(shè)計(jì)比單因素設(shè)計(jì)能提供更多的試驗(yàn)信息，可比較各因素內(nèi)水平間的差異，還能反映因素間的協(xié)同或拮抗作用。實(shí)際工作中可用于篩選最佳治療方案、藥物配方、實(shí)驗(yàn)條件等方面的研究。析因設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)：當(dāng)因素個(gè)數(shù)較多時(shí)（三個(gè)因素以上），所需實(shí)驗(yàn)單位數(shù)、處理組數(shù)和數(shù)據(jù)處理的計(jì)算量劇增。15STATISTICA 6.0中Experimental Design模塊的主要功能 2*(K-p) standard designs (Box, Hunter & Hunter).兩

8、水平析因標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)2-level screening (Plackett-Burman) designs.兩水平篩選因素設(shè)計(jì)2*(K-p) max unconfounded or min aberration designs.兩水平最大混區(qū)或最小偏差設(shè)計(jì)3*(K-p) and Box-Behnken designs.三水平和Box-Behnken設(shè)計(jì)Mixed 2 and 3 level designs.混合二水平和三水平設(shè)計(jì)Central composite, non-factorial, surface designs.中心復(fù)合、非析因和響應(yīng)面設(shè)計(jì)Latin squares, Greco-L

9、atin squares.拉丁方、Greco拉丁方Taguchi robust design experiments (orthogonal arrays).田口穩(wěn)健實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(正交數(shù)組)Mixture designs and triangular surfaces.混合設(shè)計(jì)和三角面Designs for constrained surfaces and mixtures.約束面和混合物設(shè)計(jì)D- and A- (T-) optimal algorithmic designs.D- 和A- (T-)優(yōu)化算法設(shè)計(jì)162*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析 一著色劑生產(chǎn)的情況，由于過程的化學(xué)機(jī)理不是完全清楚，需進(jìn)

10、行影響因素的試驗(yàn)研究。研究的響應(yīng)是產(chǎn)品的強(qiáng)度、色澤和亮度，考慮過程的主要影響因素為聚硫化物、回流、摩爾數(shù)、時(shí)間、溶劑和溫度六個(gè)，試驗(yàn)采用兩水平的全析因設(shè)計(jì)，共有2*664次試驗(yàn)，所確定的六因素高低限如下表所示： Factor Setting Low High聚硫化物 6 7回流 150 170摩爾 1.8 2.4時(shí)間 24 36溶劑 30 42溫度 120 130172*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析 最終64組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的全部結(jié)果見Textile.sta。部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：在許多情形下，考慮兩水平下因素對(duì)過程的影響是可以的，通過全析因設(shè)計(jì)，組合各種可能性。但是，隨著因素的增加，試驗(yàn)次數(shù)將以幾何倍數(shù)增長，如

11、對(duì)一個(gè)十因素的兩水平全析因設(shè)計(jì)，需進(jìn)行2*101024次試驗(yàn)，一般不可能這樣去做，這時(shí)需考慮部分析因設(shè)計(jì)。 182*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析 部分析因設(shè)計(jì)的基本做法是使考察主效應(yīng)(影響)和交互作用都能實(shí)現(xiàn)，僅忽略高價(jià)交互作用效應(yīng)。部分析因設(shè)計(jì)主要用于篩選實(shí)驗(yàn)，從眾多因素中找出有大效應(yīng)的那些因素。在實(shí)驗(yàn)的早期階段，考慮的一些因素有可能對(duì)響應(yīng)只有小的效應(yīng)或沒有效應(yīng)，這時(shí)采用部分析因設(shè)計(jì)，可有效節(jié)省實(shí)驗(yàn)工作量。這樣能在隨后的實(shí)驗(yàn)中對(duì)那些被確定為主要的因素進(jìn)行更為深入的研究。如考慮一個(gè)兩水平三因素的部分析因設(shè)計(jì)，可以選2*(3-1)4種實(shí)驗(yàn)組合，即A(+,-,-),B(-,+,-),C(-,-,+)和A

12、BC(+,+,+)，括號(hào)內(nèi)加減符號(hào)表示為水平的高低取值。下表將兩水平三因素的全析因設(shè)計(jì)列出，則兩水平三因素的部分析因設(shè)計(jì)為表中的上半部分。192*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析 2*3全析因設(shè)計(jì)的符號(hào)表因 素 效 應(yīng)組合IABCABACBCABCABCABCABACBC(1) 其中I=ABC為設(shè)計(jì)的定義關(guān)系202*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析 有了析因設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，就可選用STATISTICA主窗口中Experimental Design模塊的2*(K-p) design (two-level factorial designs) 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。其中 表示區(qū)組個(gè)數(shù)， 表示區(qū)組大小。Experimenta

13、l Design模塊主要進(jìn)行兩方面的工作：如何優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)，可根據(jù)不同的目的選擇相應(yīng)的方法，這時(shí)要注意的是實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)應(yīng)該能達(dá)到無偏的情況，即改變某因素的設(shè)定值，不會(huì)對(duì)研究其它因素造成影響，各因素和因素間的相互作用關(guān)系都清楚。在分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果時(shí)，可利用眾多的方法和圖表來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的分析。 表示區(qū)組個(gè)數(shù)，212*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析 Experimental Design模塊提供了幾種圖示方法來反映各種因素的影響，其中主要的是因素的正態(tài)概率圖和Pareto圖。除了聚硫化物、溫度和時(shí)間之外，其它的主效應(yīng)和交互作用都集中在一起，且隨機(jī)分布在零的兩邊，數(shù)據(jù)點(diǎn)幾乎形成一直線，這充分

14、說明了主效應(yīng)回流、摩爾數(shù)、溶劑以及各種因素間的交互作用對(duì)強(qiáng)度作用的影響小。主效應(yīng)聚硫化物。溫度和時(shí)間明顯偏離零點(diǎn)，相互分開在圖的右上方，說明這三個(gè)因素是影響強(qiáng)度的主要因素，且相互之間沒有關(guān)聯(lián)，同上面ANONA分析的結(jié)果相一致。222*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析 由于主效應(yīng)模型就可以描述因素間的關(guān)系，因此選擇無交互作用后，也可作Pareto圖（見圖）。這圖同樣清楚地表明了強(qiáng)度主要由聚硫化物、時(shí)間和溫度這三個(gè)因素來決定，并用三因素的線性關(guān)系就可描述。從本例可看到，對(duì)正交實(shí)驗(yàn)結(jié)果用ANOVA來分析處理，就可得到明確的結(jié)果，如是非線性的問題，在這樣的分析基礎(chǔ)之上需作進(jìn)一步的分析工作。 232*6全析因?qū)嶒?yàn)

15、設(shè)計(jì)及分析242*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析文件的尋找：PROGRAM FILE STATSOFTSTATISTICA 6EXAMPLEDATASETSTEXTILE.STA252*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析262*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析菜單：STATISTICAINDUSTRIAL STATISTICS & SIX SIGMAEXPERIMENTAL DESIGN（DOE）272*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析282*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析29按鈕ANOVA TABLE302*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析312*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析SUMMARY ：EFFECT ESTIMATE32NORMAL PROBABI

16、LITY PLOTt1有一定影響；t2有重要影響；t1影響不大。332*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析PARETO CHART 34如何得到?jīng)]有交互影響的PARETO圖？在MODEL 卡片NO INTERACTION352*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析362*6全析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)及分析37中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析 研究化工過程中溫度和時(shí)間對(duì)產(chǎn)率的影響是一典型的問題。一般來說，它們之間的關(guān)系是非線性的，這時(shí)采用響應(yīng)曲面法來設(shè)計(jì)和分析是首選的方法之一。這里介紹從試驗(yàn)的設(shè)計(jì)開始。在Experimental Design模塊中，啟動(dòng)Analysis的Startup Panel，選擇Central compos

17、ite, non-factorial, response surface designs，打開 Central Composite (Response Surface) Designs 對(duì)話窗，采用兩因素標(biāo)準(zhǔn)中心復(fù)合設(shè)計(jì)，進(jìn)行10次試驗(yàn)，分兩區(qū)組，即2/2/10。 38中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析從Display/save/print design可看到如下表格： 2*(2) central composite, nc=4 ns=4 nc0=1 ns0=1 Runs=10- Block A B -1 1 -1.00000 -1.000002 1 -1.00000 1.000003 1 1

18、.00000 -1.000004 1 1.00000 1.000005 (C) 1 0.00000 0.000006 2 -1.41421 0.000007 2 1.41421 0.000008 2 0.00000 -1.414219 2 0.00000 1.4142110 (C) 2 0.00000 0.0000039中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析表中值為因素水平的標(biāo)準(zhǔn)取值（即因素編碼值），為便于用試驗(yàn)數(shù)據(jù)表示結(jié)果及分析，可輸入因素設(shè)置。用Factor names, values, etc.，輸入因素的高、低及中心值，有下表： | Factor Low Low Center Center

19、 High | Name Value Label Value Label Value -+- -A (1) | Time 80.0000 Low 90.0000 CenterPt 100.0000B (2) | Degrees 140.0000 Low 145.0000 CenterPt 150.000040中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析再從Add to the design中，每區(qū)組增加一相同的中心試驗(yàn)。這樣做的原因如下：在某些點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，可以估計(jì)隨機(jī)測量響應(yīng)的可靠性，檢驗(yàn)殘差的統(tǒng)計(jì)顯著性(這從因素和其交互作用中得不到，見下面的結(jié)果與討論)。如果檢驗(yàn)殘差是統(tǒng)計(jì)顯著的，就表明采用的統(tǒng)計(jì)

20、分析模型不合適(lack of fit)。41中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析2*(2) central composite, nc=4 ns=4 nc0=1 ns0=1 Runs=10+ 1 center points per block-+- | Block Time Degrees -+-1 | 1 80.0000 140.00002 | 1 80.0000 150.00003 | 1 100.0000 140.00004 | 1 100.0000 150.00005 (C) | 1 90.0000 145.00006 (C) | 1 90.0000 145.00007 | 2 75.

21、8579 145.00008 | 2 104.1421 145.00009 | 2 90.0000 137.928910 | 2 90.0000 152.071111 (C) | 2 90.0000 145.000012 (C) | 2 90.0000 145.000042中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析 本例涉及到了區(qū)組問題。有很多問題，不可能在一個(gè)區(qū)組內(nèi)完成全部的析因?qū)嶒?yàn)，需將其安排在多個(gè)區(qū)組內(nèi)進(jìn)行，這就是混區(qū)設(shè)計(jì)，這時(shí)每個(gè)區(qū)組內(nèi)都包含一個(gè)部分析因設(shè)計(jì)。如果考慮區(qū)組有2*p個(gè)部分析因的情況，而相應(yīng)的2*k是全析因設(shè)計(jì)(pk)，則部分析因設(shè)計(jì)將在兩區(qū)組或四區(qū)組內(nèi)實(shí)現(xiàn)。如對(duì)一2*2的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

22、，需進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn)，而每次實(shí)驗(yàn)都需一定量的原材料。當(dāng)每批原料只夠做兩次實(shí)驗(yàn)，就需兩批原料。如把原料的批看作區(qū)組，則必須把四次實(shí)驗(yàn)中的一半分派到每個(gè)區(qū)組。43中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析在Central composite, non-factorial, surface designs 的Analyze results中，選產(chǎn)率為應(yīng)變量響應(yīng)，自變量因素是時(shí)間和溫度，區(qū)組變量為區(qū)組，就可進(jìn)入與上例類似的各種數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析選擇及結(jié)果的界面。首先來看方差分析。如上所述，本例在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中每區(qū)組增加了一個(gè)相同的中心點(diǎn)，以消除試驗(yàn)誤差帶來的影響。用線性模型(Linear main-effects only)，從ANOVA表中，可得下面結(jié)果：44中心復(fù)合或響應(yīng)曲面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析從表中可以看出，只有Lack of Fit是邊際顯著的(p0.1)，表明線性模型太簡單了，屬于模型不合適的情況。 ANOVA; Var.:YIELD; R-sqr=.11794; Adj:0. (composit.sta)-+- | 2 factors, 2 Blocks, 12 Runs; MS Pure Error=2.3525 | DV: YIELD: Yield of process in grams-+-Factor | SS df MS F