原子的量子態(tài)玻爾模型

1、第二章原子的量子態(tài)：玻爾模型2.1 背景知識1900 年普朗克 (M.P1anck)為了解釋黑體輻射現(xiàn)象，提出了著名的量子假說，但當(dāng)時很少有人注意他的文章， 更不要說理解它了； 1905 年愛因斯坦 (A.Einstein) 在對光電效應(yīng)的研究中，提出了光量子的概念。 1913 年僅 28 歲的丹麥物理學(xué)家尼爾斯玻爾，卻創(chuàng)造性地把量子概念用到了當(dāng)時人們持懷疑的盧瑟福原于結(jié)構(gòu)模型解釋丁近 30 年的光譜之謎。下面我們將分別介紹普朗克的量子假說、愛田斯坦的光量子概念和有關(guān)光譜的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。黑體輻射一、黑體輻射的基本概念1黑體（絕對黑體）宏觀物體由大量微觀粒子 （原子、分子、電子、離子、團(tuán)簇、光子等）

2、構(gòu)成，這些粒子除了隨物體作一些整體運(yùn)動（平動、振動、轉(zhuǎn)動）外，自身無時無刻不在進(jìn)行無規(guī)則的運(yùn)動熱運(yùn)動。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子作熱運(yùn)動時， 其中帶電部分（仍是粒子） 將隨之作熱運(yùn)動， 因而會向外輻射電磁波。 由于這種輻射是依靠熱運(yùn)動能量的消耗來維持的， 故稱熱輻射。熱輻射是一種很常見的物理現(xiàn)象， 任何物體在任何溫度下均可發(fā)出熱輻射。 例如：當(dāng)人距離一個溫度比較高的物體 （電爐、熱鍋、夏天曬熱的路面等）較近時，會感覺到熱，冬天在沒有空調(diào)和暖氣的火車上要盡量“擠”在一起，人進(jìn)入長期無人居住的房間會感覺到“陰” （主要是感受不到合適溫度范圍的熱輻射）等等。一般物體不僅能輻射電磁波， 而且能反射電磁波， 我

3、們所觀察到的物體 “顏色”是發(fā)射和反射同時起作用的結(jié)果。 物體發(fā)射和反射電磁波的能力與物體的溫度、材料、結(jié)構(gòu)、表面形狀、顏色和周圍環(huán)境因素等有關(guān)。當(dāng)我們觀測一般物體輻射特征時，不可避免地受到物體表面反射波的影響。 假如一個物體在任何溫度下對任何波長的入射電磁波都能完全吸收而沒有反射，則稱該物體為絕對黑體，簡稱黑體。對于黑體熱輻射的研究可以消除表面反射波的作用。黑體是一理想化的物體， 在現(xiàn)實(shí)生活中并不存在。 但我們可以利用人工方法制成一個十分接近于 黑體的物體，如圖所示。圖該物體由不透明（任何電磁波不能穿透）材料組成，中間為一空腔，壁上有一小孔。經(jīng)小孔進(jìn)入空腔的電磁波需經(jīng)多次反射才有可能從小孔射

4、出，而每次反射，腔壁都要吸收一部分能量， 以致于最后從小孔出射的電磁波能量已微乎其微。 所以把空腔可以近似看作黑體，空腔熱輻射可以近似看作黑體輻射。2能量密度與單色能密度在圖所示的空腔中充滿了電磁波， 我們稱之為輻射場。 在輻射場中單位體積內(nèi)的電磁波能量為能量密度， 用 u 表示。在輻射場中單位體積內(nèi)， 頻率 附近單位頻率間隔的輻射場（電磁波）能量為單色能密度，用 u（）或 u( ) 表示。一般來說， u 和 u（）與空腔的材料、形狀、大小、顏色和溫度等有關(guān)，但是當(dāng)空腔輻射和吸收電磁波（能量）達(dá)到平衡時，空腔壁具確定的溫度 T（這種輻射為平衡輻射），根據(jù)熱力學(xué)第二定律可以證明： u 只與 T

5、有關(guān)， u（ ）只與 T 和 有關(guān)， u 和 u（）的關(guān)系為u Tu,T d0根據(jù)熱力學(xué)理論，容易證明： u(T)=aT 4, 但 u（）與 T 和 的關(guān)系熱力學(xué)理論無法給出。3 輻射出射度和單色輻射出射度剛才我們定義的 u 和 u（）是針對空腔內(nèi)部的輻射場來說的，但這兩個量無法測量。我們只能觀測從小孔出射的電磁輻射的大小。 為此，定義兩個新的物理量：輻射出射度和單色輻射出射度。輻射出射度是指單位時間內(nèi)從物體表面單位面積上發(fā)射出的各種波長的電磁波能量的總和，用M(T)表示。單色輻射出射度是指單位時間內(nèi)從物體表面發(fā)射的波長 附近單位波長間隔的電磁波能量總和，用M(,T) 表示。顯然，M (T)M

6、 (,T ) d0可以證明：M (T)1 cu(T )4T4，M( ,T)1 cu ( ,T )45.6705108Wm2K 4 ，稱為斯特蕃（J.Stefan,1835-1893）常量。二黑體平衡輻射的實(shí)驗(yàn)規(guī)律1基爾霍夫（）輻射定律任何物體的單色輻射出射度與單色吸收比之比，等于同一溫度下絕對黑體的單色輻射出射度。對于一個確定的物體，在確定的溫度下其發(fā)射和反射電磁波的能力是確定的，即單色輻射出射度和單色吸收比（ ,T ）, 溫度為 T 的物體吸收波長在 到+d范圍內(nèi)的電磁波能量與相應(yīng)波長的入射電磁波能量之比）是確定的，當(dāng)然這兩個量的比值也是確定的。如果有很多物體可以通過熱輻射交換能量，而且保持

7、相同的溫度， 說明他們處在熱平衡狀態(tài)。 要保持溫度不變， 就要求輻射能量和吸收能量相同， 顯然對所有物體單色輻射出射度和單色吸收比的比值是相同的，即： M 1,TM 2,TM 0, T1,T2,T0, T下標(biāo) 0 表示絕對黑體。對于絕對黑體，單色吸收比為 1。顯然基爾霍夫輻射定律是成立的。對于黑體，沒有反射波的影響， 其單色輻射出射度反映了本身的輻射特征。 下面我們來分析以下黑體的單色輻射出射度的測量及結(jié)果。2黑體輻射的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果圖為測定黑體單色輻射出射度的原理圖，A 為黑體， C 為探測器。圖圖為處于平衡態(tài)的黑體在各種溫度下單色輻射出射度隨波長變化的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。由圖可以看出： 在每一溫度

8、下， M(,T) 隨 連續(xù)變化，在所有波段均有電磁波存在；每一條曲線均有一個極大值，對應(yīng)波長 m，隨溫度升高， m向短波方向移動。對這些現(xiàn)象，維恩（ W.Wien,1864-1982）、瑞利（）和金斯（）進(jìn)行了深入研究。 維恩在 1896 年仿照麥克斯韋速率分布率，利用經(jīng)典統(tǒng)計方法得到：wc1c2M,TeT5其中 c1 和 c2 為實(shí)驗(yàn)測量常數(shù)，分別為：c13.7010 16 焦耳 米2/ 秒c1.43102米開2利用維恩分布求極大值，容易得到b31T ,b 2.897756 10 m k，這就是維m恩位移定律。瑞利和金斯利用能量均分定理得到：R2 ckTM4其中 c 為真空中光速， k 為玻

9、爾茲曼常數(shù)。這兩種理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符程度如何？讓我們來分析一下。從圖可以看出：維恩公式在短波范圍與實(shí)驗(yàn)符合很好，而在長波段偏離實(shí)驗(yàn)曲線，其位移定律和實(shí)驗(yàn)也符合很好；瑞利和金斯結(jié)果在長波段與實(shí)驗(yàn)相符，但在短波段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有明顯差異，這就是所謂的“紫外災(zāi)難”，其理論曲線無極值點(diǎn)。1900 年，德國物理學(xué)家普朗克 (Max Karl Ernst Ludwig Planck, 858分1947)析了維恩和瑞利金斯的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差別及各自公式的特點(diǎn)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出了一個理論公式：MB,T2 hc 2151ehckT其中 h 為實(shí)驗(yàn)擬合常數(shù)，稱為普朗克常數(shù)，h6.626075510 34 J

10、s 。該公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果幾乎分毫不差， 這一點(diǎn)引起了許多物理學(xué)家包括普朗克本人的極大興趣該公式與實(shí)驗(yàn)的吻合絕不是巧合，它必然反映了某種物理本質(zhì)。 H 代表什么？如何從理論上完整地推導(dǎo)該公式成了研究黑體輻射的核心。普朗克注意到在經(jīng)典理論中， 器壁內(nèi)分子、原子等被看作可以發(fā)射和吸收電磁波的“振子”，振子的能量可以連續(xù)變化，即電磁波和振子交換能量可以無限制地減小或增大。按照能量均分定理，振子平均能量為 kT，這一假定直接導(dǎo)致瑞利金斯結(jié)果。 要解決黑體輻射問題， 必須拋棄振子能量連續(xù)的觀點(diǎn)， 重新計算振子平均能量。 于是他勇敢的 2 提出：振子的能量不能連續(xù)變化， 當(dāng)振子吸收和發(fā)射頻率為 的電磁波時，它

11、只能處于一些等間隔的能量狀態(tài)中，其能量為：Ennhn=0,1,2,h為普朗克常數(shù)根據(jù)經(jīng)典玻爾茲曼分布，振子處于能量為En 狀態(tài)的幾率為EnkTf Ence其中 c 為幾率歸一化常數(shù)，根據(jù)歸一化條件EnkT 1f Encen0n 011kTc1ehE nnhkTkTeen0n 0nhEnf En Enc nh ekTn 0n 0c11ln 11cckTkThce hc1kTnhnhcekTcekT11n 0n 0kTkT1hkT hhlne1hkThh1e1ekTekT1kT用上式代替瑞利金斯公式中的 kT，就可以得到普朗克公式。該公式在短波近似下可以過度到維恩公式，在長波近似下可以得到瑞利金斯

12、公式。利用普朗克公式求極值， 可以得到維恩位移定律； 對普朗克公式關(guān)于 積分，可以得到斯特蕃定律。在上邊的推導(dǎo)過程中，利用了Ennh。按照現(xiàn)在的量子理論，振子的能量應(yīng)該是 En (n 12)h ，但該差別不會影響對普朗克公式的推導(dǎo)及對黑體輻射的解釋。普朗克的貢獻(xiàn)并不僅僅在于解釋黑體輻射的實(shí)驗(yàn)規(guī)律， 而在于第一次大膽地提出能量量子化的概念， 創(chuàng)立了量子論， 這是物理學(xué)史上的一次巨大變革， 從此結(jié)束了經(jīng)典物理學(xué)一統(tǒng)天下的局面。 所以說普朗克是量子物理學(xué)的開創(chuàng)者和奠基人，是二十世紀(jì)最偉大的物理學(xué)家之一。普朗克本人因此獲 1918 年諾貝爾物理學(xué)獎金。黑體輻射實(shí)驗(yàn)規(guī)律的主要應(yīng)用是提供了測量高溫物體表面溫度的方法維恩位移定律和斯特蕃定律。光電效應(yīng)一光電效應(yīng)（ photoel