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1、22一、溫故知新(一) 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 平面內(nèi),到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)e1時(shí),是雙曲線 .當(dāng)0e0)(2)開口向左y2 = -2px (p0)(3)開口向上x2 = 2py (p0)(4)開口向下x2 = -2py (p0)一、溫故知新(一) 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 平面內(nèi)范圍1、由拋物線y2 =2px(p0)有 所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2 =2px(p0)的幾何性質(zhì)?范圍1、由拋物線y2 =2px(p0)有 所以拋物線的范圍對(duì)稱性2、關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線上,故 拋物線y2 = 2px(p0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則 (-y)
2、2 = 2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上, 即滿足y2 = 2px,對(duì)稱性2、關(guān)于x軸即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線上,故 拋頂點(diǎn)3、 定義:拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。y2 = 2px (p0)中,令y=0,則x=0.即:拋物線y2 = 2px (p0)的頂點(diǎn)(0,0).頂點(diǎn)3、 定義:拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的離心率4、P(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比,叫做拋物線的離心率。 由定義知, 拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為e=1.離心率4、P(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距xyOFABy2=2px2p過焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB,稱為拋物線的通
3、徑,利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p通徑5、2p越大,拋物線張口越大.xyOFABy2=2px2p過焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB,稱連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式:焦半徑6、xyOFP連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=方程圖形準(zhǔn)線焦點(diǎn)對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸xFOylxFOylxFOylxFOyl方程圖形準(zhǔn)線焦點(diǎn)對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸xFOylxFOylx歸納: (1)、拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它也可以無限延伸,但沒有漸近線; (2)、拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有
4、對(duì)稱中心; (3)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),一條準(zhǔn)線; (4)、拋物線的離心率e是確定的為, 、拋物線的通徑為2P, 2p越大,拋物線的張口越大.歸納:因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)M(,),解:所以設(shè)方程為:又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上:所以:因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為:例:已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)M(,),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)探照燈、汽車前燈的反光曲面,手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面:拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上,通過鏡面反射就
5、變成了平行光束,這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。平行光線射到拋物鏡面上,經(jīng)鏡面反射后,反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。探照燈、汽車前燈的反光曲面,手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都例2:探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分,光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm,燈深40cm,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得A (40,30),代入方程得:302=2p40解之: p=故所求拋物線的標(biāo)
6、準(zhǔn)方程為: y2= x,焦點(diǎn)為( ,0)例2:探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分,光源xyO(4024l例3:圖中是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在 l 時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米. 水下降1米后,水面寬多少?xoAy若在水面上有一寬為2米,高為1.6米的船只,能否安全通過拱橋?思考題2BA(2,2)x2=2yB(1,y)y=0.5B到水面的距離為1.5米不能安全通過y=3代入得例題324l例3:圖中是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在 l 時(shí),拱頂離水面 (1)已知點(diǎn)A(-2,3)與拋物線 的焦點(diǎn)的距離是5,則P = 。 (2)拋物線 的弦AB垂直x軸,若|AB|= , 則焦點(diǎn)到AB的距離為 。 42(3)
7、已知直線x-y=2與拋物線 交于A、B兩 點(diǎn),那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 。 四、課堂練習(xí) (1)已知點(diǎn)A(-2,3)與拋物線(2)拋物線 5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1),若P是拋物線 上的一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),則|PA|+|PF|的最小值為( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上.(2)焦點(diǎn)在軸x上且截直線2x-y+1=0所得的弦長為6、已知Q(4,0),P為拋物線 上任一點(diǎn),則|PQ|的最小值為( ) A. B. C. D.BC5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1),若P是拋物線 五、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)
8、,雖然它也可以無限延伸,但沒有漸近線;拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;拋物線的離心率是確定的,等于;拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),一條準(zhǔn)線;拋物線的通徑為2P, 2p越大,拋物線的張口越大.1、范圍:2、對(duì)稱性:3、頂點(diǎn):4、離心率:5、通徑:6、光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)出發(fā)的光線,通過拋物線反射就變成了平行光束. 五、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它也可以無限延2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)復(fù)習(xí): 1、拋物線的幾何性質(zhì)圖 形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px(p0)y2 = -2px(p0)x2
9、 = 2py(p0)x2 = -2py(p0)x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸y軸1復(fù)習(xí): 1、拋物線的幾何性質(zhì)圖 形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)2、通徑:通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線,與拋物線相交于兩點(diǎn),連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度:2PP越大,開口越開闊3、焦半徑: 連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式: 下面請(qǐng)大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的焦半徑公式。2、通徑:通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線,|PF|=x0+p/2 通過焦點(diǎn)的直線,與拋物線相交于兩點(diǎn),連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦點(diǎn)弦。xOyFA補(bǔ)、焦點(diǎn)弦
10、:焦點(diǎn)弦公式: 下面請(qǐng)大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的焦點(diǎn)弦公式。B 通過焦點(diǎn)的直線,與拋物xOyFA補(bǔ)、焦點(diǎn)弦:焦點(diǎn)方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長度 y2 = 2px(p0)y2 = -2px(p0)x2 = 2py(p0)x2 = -2py(p0)lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)方程圖范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長度 例1、斜率為1的直線 經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長。例1、斜率為1的直線 經(jīng)過拋物線 例2、已知過拋
11、物線 的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于 兩點(diǎn)。 (1) 是否為定值? 呢? (2) 是否為定值? xOyFAB這一結(jié)論非常奇妙,變中有不變,動(dòng)中有不動(dòng).例2、已知過拋物線 xyOABDFlxyOABDFl例3、過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,求證:直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸。xyOFABD例3、過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),通過點(diǎn)A和拋?zhàn)兪筋}(2001年高考題) 設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC|x 軸,證明:直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。xOABDFly變式題(2001年高考題)xOA
12、BDFly 由此可得|y1|=|y2|,,即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱。因?yàn)閤軸垂直于AB,且 ,例4、正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線 上,求這個(gè)三角形的邊長。解:如圖,設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A、B在拋物線上,且坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),則又|OA|=|OB|,所以x12+y12=x22+y22即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxoAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10,X20,2p0,X1=X2.所以(x1,y1)(x2,y2) 由此可得|y1|=|y2|,,即線段例5.已知拋物線y=x2,動(dòng)弦AB的長為2,求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值。.xoyFABMCND解:例5.已知拋物線y=
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