狹義相對(duì)論推導(dǎo)詳細(xì)計(jì)算過程

1、狹義相對(duì)論狹義相對(duì)論基本原理：基本物理定律在所有慣性系中都保持相同形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此一切慣性系都是等價(jià) 的。在一切慣性系中，光在真空中的傳播速率都等于c，與光源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。假設(shè)S系和S系是兩個(gè)相對(duì)作勻速運(yùn)動(dòng)的慣性坐標(biāo)系，規(guī)定S系沿S系的x軸正方向 以速度v相對(duì)于S系作勻速直線運(yùn)動(dòng)，x、y、z軸分別與x、y、z軸平行，兩慣性系原點(diǎn) 重合時(shí)，原點(diǎn)處時(shí)鐘都指示零點(diǎn)。I洛倫茲變換現(xiàn)假設(shè)，x=k(x-vt)，k是比例系數(shù)，可保證變化是線性的，相應(yīng)地，S系的坐標(biāo)變 換為S系，有 x=k(x +vt)，另有y =y，z =z。將彳弋入：x=kk(x-vt)+vt x=kA2*(x-vt)+kvt7t

2、7 =kt+(1-kA2)x/kv兩原點(diǎn)重合時(shí)，有t=t=0,此時(shí)在共同原點(diǎn)發(fā)射一光脈沖，在S系，x=ct，在S系，x=ct， 將兩式代入和：ct=k(c-v)t得 ct=kct-kvt 即 t=(kct-kvt)/cct=k(c+v)t得ct=kct+kvt兩式聯(lián)立消去t和tct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=kA2ct-kA2vt+kA2vt-kA2vA2t/ccA2=kA2cA2-kA2vA21k=； 二v1 - V 2 / c 2將k代入各式即為洛倫茲變換：X 一 Vtx7=.v1 一 V 2 / c 2y=yz=zt - VX / c 2t=:V1 一 V 2

3、 / c 2或有x=k(x+vt)x=k(x-vt)=k(1+v/c)x=k(1-v/c)x兩式聯(lián)立，x =k(1-v/c)k(1+v/c)x1k=:=1一 V 2 /c2II同時(shí)的相對(duì)性S中取A(X1,y,z,t1 )和8 (xy,z,t2)，同時(shí)發(fā)出一光脈沖信號(hào)，即=t2,且xx2。4444,t - VX / C2,(X - ,t - VX / C2,(X - X)V / C2L,，= 22， A t，= t，- t，=21 ，由于 XA t，1 - V2 / C2 VI - V2 / C21 - V2 / C2說明在S，系中，兩事件的時(shí)間間隔小于在S系看來的間隔，即在S系看來，S，系中的

4、 時(shí)鐘變慢了。（對(duì)于確定的兩事件，時(shí)間間隔應(yīng)相同，時(shí)間起點(diǎn)相同，S中觀察到的間隔要 長一些，便認(rèn)為是S，系中的時(shí)鐘變慢了。）IV長度收縮效應(yīng)（尺縮）S，系中放置一沿x軸方向的長桿，設(shè)兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是x1，和x2,，則靜止長度A L，=AL0= x2，- x1，稱為固有長度。在S系中要測(cè)量長桿的長度，必須同時(shí)測(cè)出x1和x2,即t= t2。由x 一 Vtx 一 Vtx 一 xALx1，= . 11 和 x2，二 二 2得 AL0= AL，= x2，- x二1= :=/1 一 V 2 / C 21 一 V 2 / C 2 1 一 V 2 / C 2V1 一 V 2 / C 2則AL=AL0v1-V2/

5、C2 c2 - c2 ：1 - V 2 / c2.寸 1 V2/c 2m得mB=.，： =，在S系中二者以相同的速度沿相反方向運(yùn)動(dòng)，而在S系中，mAB靜止，可看做靜質(zhì)量（m0）。mB以速率vB運(yùn)動(dòng)，可視為運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，稱相對(duì)論質(zhì)量。則運(yùn)動(dòng) 物體的質(zhì)量與其靜質(zhì)量的一般關(guān)系即m） 1 一 V 2 / C 2VII相對(duì)論動(dòng)力學(xué)基本方程相對(duì)論動(dòng)量p=mv= ,0=（p、v均為矢量）1 一 V 2 / C 2物體受力F=dp/dt= %V /dt (F、p、v均為矢量) 1 一 V 2 / C 2當(dāng)v2(-1)V 1 一 V 2 / C 21當(dāng)vc時(shí)對(duì) 作泰勒展開，得1 一 V 2 / C 21.=1+vA

6、2/2cA2+3vA4/8cA4+板 1 一 V 2 / C 2取前兩項(xiàng)有Ek= m0cA2(1+ vA2/2cA2-1)= mvA2/2，即經(jīng)典力學(xué)動(dòng)能表達(dá)式。而式可改寫為mcA2=Ek+m0cA2, mcA2是物體靜止時(shí)的能量，稱物體的靜能，而mcA2為物體的總能量。將總能量用E表示，寫作E=mcA2=、mC 即相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系。Y 1 V 2 / C 2泰勒展開：根據(jù)泰勒公式的簡單形式，即邁克勞林公式，有1f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)xA2/2!+fn(0)xAn/n!。對(duì)于 f(v)=:-1 一 V 2 / c 22七1f (v)= * =C22( ,.1- V2 /c2)3

7、VC21 V2 /C2 )32V f2V f(v)=* C232(1 V2/C2 )5V1C2 C2 31 V2 /C2 )3 TOC o 1-5 h z 3v 21=: +:C4(r1 V2 /C2 )5C2(1 V2 /C2 )3f3(v)=6v*5*v 23-2v2v31* * + * + * ,* C 22(.1 V 2/C 2)7 C 42(E V 2 / C 2)5 C 4C 22(七1 V 2 / C 2)5 C 215v39vC6(x1 V2 /C2 )7C4(,.；1 V2 /C2 )5f4(v)=15 TOC o 1-5 h z 2v105“ 315,3v 22v15- v

8、15*-* + *+ - *-.* +C22(1.T-V 2/C 2)9 C62(t1-V2/c2)7 c 6 C22(*1-V 2 / C 2)7 C46 一 , -殳 * -15 / +3 C4(p1 V2 /C2 )5c22(t1 V2 /C2)7 c4 。4(*1 V2 /C2)5 105V490V29C8(%1 - V 2 / C 2 )9 C6(%1 - V 2 / C 2)7 C4(J1 - V 2 / C 2)5此處，f(v)=f(0)+f(0)v+f(0)vA2/2!+ f3(v)vA3/3!+ f4(v)vA4/4!+=1+0+vA2/2cA2+0+3vA4/8cA4+=1+vA2/2cA2+3vA4/8cA4+區(qū)能量-動(dòng)量關(guān)系代入質(zhì)能方程，得將p=mv=0 V中的vA2解出，得vA2=迎2，代入質(zhì)能方程，得1 一 V 2 / C 2p 2 + m02 C 2m c 2_0_Em c 2_0_EJ1 - p 2 /( p 2 + m 2 C 2)0m 2 c 20p 2 + m 2 C 2則EA2=pA2cA2+m0A2cA4