分形表示課件

1、8.6 分形表示什么是分形自然界中的分形分形的特點分形實例分形與維數(shù)不規(guī)則物體的建模方法1.什么是分形 1967年，美國的科學(xué)雜志上發(fā)表了一篇題為英國的海岸線究竟有多長？的論文。這篇論文對海岸線的本質(zhì)作了獨特的分析，以至當(dāng)時的整個學(xué)術(shù)界為之震驚。這篇論文也成為了作者曼德布羅特（Mandelbrot）思想的轉(zhuǎn)折點，分形的理論就從此萌芽并迅速發(fā)展起來。曼德布羅特，也成為了分形論的奠基人。 ”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”（如果一個圖形的部分以某種方式與其整體本身相似，這個圖形就稱為分形）， 這

2、就是分形的最基本定義。問題的本質(zhì)“非常規(guī)、不規(guī)則的圖形” 從直觀上來看，所謂分形是指一些無法用常規(guī)的、傳統(tǒng)的幾何方法描述的圖形。例如天空的云彩、曲折的江河和海岸線、樹葉、山峰等。它們不同于正方形、圓、直線等規(guī)則的幾何圖形，表現(xiàn)出某種混亂和不規(guī)則。通常的度量概念，如長度、面積等，對它們來說，不僅很難計算，而且有時根本是無法計算的。在這些“非常規(guī)”的、“不規(guī)則”的圖形中蘊藏著豐富的、有趣的規(guī)律和性質(zhì)。 從理論上講，分形是數(shù)學(xué)思想的新發(fā)展，是人類對于維數(shù)、點集等概念的理解的深化與推廣，所以人們把它稱為是一種新的幾何學(xué)分形幾何學(xué)。然而，它又與現(xiàn)實的物理世界緊密相連，成為研究混沌(chaos)現(xiàn)象的重要

3、工具。2.自然界中的分形4.分形實例：（1）Cantor點集(康托爾點集) 我們設(shè)想一條單位長的直線線段，去掉它的中間的三分之一，這樣留下的部分將是兩段長度分別為三分之一的線段，總長度為2/3。接下去我們再把這兩條線段去掉中間的三分之一，這時留下的部分將是四條長度各為九分之一的線段，總長度為4/9。如此不斷地循環(huán)操作，最終將得到一個名為康托爾點集的集合。這就是一個分形圖案。注意，它不是一個空集，在原線段的13，23，19，29，79，89處的點將永遠(yuǎn)留在這個點集中，然而留下部分的長度顯然將趨近于零。讀者不難驗證一下剛才提到的三點性質(zhì)在康托爾點集中都有體現(xiàn)。它是一個維數(shù)在1和0之間的分形圖案。

4、Cantor點集Koch曲線的生成過程無窮次迭代之后的情形Koch曲線的特點具有精細(xì)的結(jié)構(gòu);如此的不規(guī)則以至于它的整體和局部都難以用經(jīng)典的幾何來描述;具有自相似性;定義直接,由簡單的遞歸方式形成;曲線的長為無窮大,面積為零,從而不能用通常的測度來度量;Koch曲線的長度當(dāng)?shù)螖?shù)的時候Koch曲線的面積用一個三角形覆蓋全部曲線,其底為1,高為 ,面積為 ,對三角形的四個小部分用四個三角形覆蓋,每邊長度均為原三角形邊長的三分之一,故全部三角形面積為 ,邊長再縮短三分之一的16個小三角形去覆蓋曲線的16個小部分,全部面積為 ;依次類推,最終曲線的面積為:Sierpinski墊片-迭代的過程繼續(xù)下去

5、再次迭代Menger海綿4.分形實例：（4）復(fù)平面上的迭代-Mandelbrot集迭代函數(shù)為:其中: 當(dāng) 時會發(fā)生兩種情形: ; 仍然有界;如果對給定的c, 仍然有界,那么c就屬于Mandelbrot集.各式各樣的Mandelbrot集常見的分形圖形Sierpinski三角形Sierpinski多邊形常見的分形圖形Koch雪花巴斯利樹葉5.分形與維數(shù)-非整數(shù)的維數(shù)？ 從理論上說，分形可以定義為“非整數(shù)維數(shù)的點集”。當(dāng)然，要理解這個概念，必須先推廣維數(shù)的概念。一般來說，維數(shù)都是整數(shù)，直線線段是一維的圖形，正方形是二維的圖形等等。那么，如上所說的海岸線是幾維的呢?如果不確切地描述一下，那就可以說，

6、由于海岸線的曲折和不規(guī)則，作為一個點集，它所包含的點比直線線段上的點要更“多”一些，當(dāng)然，它并沒有鋪滿平面，所以它比平面(例如一個正方形或圓)上的點要“少”一些。如果從點的“多少”來理解維數(shù)的話，那么海岸線的維數(shù)應(yīng)當(dāng)是大于1而小于2的一個數(shù)，即具有非整數(shù)的維數(shù)，所以海岸線是一個分形圖案(近期的研究表明，海岸線的維數(shù)大約是1.2)。傳統(tǒng)的度量方法失效了?對維數(shù)的理解6.不規(guī)則物體的建模方法用計算機(jī)生成真實感圖形一直是計算機(jī)圖形學(xué)中最具有挑戰(zhàn)性的研究方向之一，特別是對不規(guī)則物體的模擬十分困難，原因在于： 火、煙和云等均系氣體現(xiàn)象，其形成都是由無 數(shù)小顆粒隨機(jī)運動而產(chǎn)生，外觀形狀極不規(guī)則，沒有光滑的

7、表面，而且極其復(fù)雜與隨意，并 可能隨時間而發(fā)生變化，這使得用經(jīng)典的歐幾里德幾何學(xué)對其描述顯得無能為力，如用直線 、圓弧、和樣條曲線等去建模，則其逼真度就非常差； 幾乎每一個人都知道這類現(xiàn)象 ，如火焰、煙及云是什么樣子，但卻很少有人能夠準(zhǔn)確地將其形狀描述出來；火焰等 氣體現(xiàn)象的運動十分復(fù)雜，如火焰忽隱忽現(xiàn)，煙裊裊上升，云則虛無縹緲，同時，在火焰燃 燒、煙霧擴(kuò)散以及云層飄動過程中，還會受到風(fēng)力的作用，使其發(fā)生捉摸不定的變化. 基于粒子系統(tǒng)的模型 1983年由W.T.Reeves等首次系統(tǒng)地提出了一種用于不規(guī)則模糊物體（如火、云、水等）建模 的方法。當(dāng)時Reeves為電影Star Trek II繪制

8、星系爆炸的場面?！傲Ｗ酉到y(tǒng)” 就是由大量粒子集合在一起表現(xiàn)模糊物體的計算機(jī)模擬系統(tǒng)，其基本思想是把模糊物體看作 是眾多粒子組成的粒子團(tuán)，各粒子均有自己的屬性，如顏色、形狀、大小、生存期、速度等.該系統(tǒng)在不同時刻的狀態(tài)由粒子的動力學(xué)性質(zhì)決定，粒子隨時間的推移而不斷地運動，并不斷改變狀態(tài).這種粒子運動（包括平移、旋轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)、渦旋、反彈、比例變換等），均可以通過受控的隨機(jī)過程來模擬實現(xiàn).該系統(tǒng)始終處于動態(tài)的變化中，即新粒子通過可控的隨機(jī)過程不斷地產(chǎn)生 ，舊粒子不斷地消亡?；诜中螏缀蚊枋龅脑颇Ｐ屠梅中螏缀?，先定義出云的形狀，然后運用光照效果將該形狀表現(xiàn)為云團(tuán)。在建立云的分形模型過程中，把云的基本形狀定義為簡單的球體，并在不同的方向上對這些云球作某些變形，然后將初始云球隨機(jī)縮小，并在不同方位上偏離父球中心的微小位移處進(jìn)行多次隨機(jī)復(fù)制，該過程一直繼續(xù)下去直到最后的迭代層次（或達(dá)到小