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1、得 c正弦定理得 c教目1 掌握正弦定理及基本應(yīng)用 點)2會判斷三角形的形狀 點)3能根據(jù)正弦定理確定三角形 解的個數(shù)難點、易混點)【學(xué)程一、問題導(dǎo)入核素 1 借助正弦定理的推導(dǎo),提升學(xué)生的邏輯推理的 素養(yǎng)。2通過正弦定理的應(yīng)用 的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運 算的素養(yǎng)。在現(xiàn)代生活中得益于科技的發(fā)展距離的測量能借助紅外測距儀激光測距儀等工具直接完 成不過,在這些工具沒有出現(xiàn)以前,你知道人們是怎樣間接獲得兩點間距離的嗎?二、新知探究1 已知兩角及一邊解三角形【例 1) 中,已 30 ,求 a,b;(2) ABC 中,已知 , ,C 75, ,b,c。解(1)法一: 45 。由 c c sin A 10
2、 a sin sin C sin30 。sin105 75sin30 2 64, c sin 2 6 C 4。法二: 外接圓的直徑為 2R,則 c 20sin sin30 。易 180, 2 R 20 b R B sin105 ,2 4 6。(2 180 。由正弦定理 A, sin 8 sin60 6 sin 45。由 ,得 sin a C sin 75 sin A 8 2 642 2【教師小結(jié)】已知三角形的兩角和任一邊解三角形,基本思路是:(1)若所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求另一角所對邊,再由三角形內(nèi)角和定理求 b c 出第三個角。 b c (2)若所給邊不是已知角的對邊時,先由三
3、角形內(nèi)角和定理求出第三個角,再由正弦定理求 另外兩邊。2 已知兩邊及一邊的對角解三角形【例 2】 中,分別根據(jù)下列條件解三角形:(1 a b ,A ;(2 a 3 , , 。解(1)根據(jù)正弦定理 sin B b sin 3 a 2。a , 當(dāng) 時 180, c b sin C 3 B sin 60;當(dāng) 時 180, c 。(2)根據(jù)正弦定理 sin A a 1b 。因為 A 。所以 A 不存在,即無解?!窘處熜〗Y(jié)】已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法:(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值。(2)如果已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另 一邊所
4、對的角為銳角,由正弦值可求銳角唯一。(3)如果已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可 求兩個角,要分類討論。3 利用正弦定理判斷三角形的形狀探究問題(一)已 的外接圓 的直徑長為 2R,試借 ABC 的外接圓推導(dǎo)出正弦定理。提示如圖,連接 BO 并延長交圓 于點 D,連接 CD,則BCD 90,BAC ,在 eq oac(,Rt) 中,BC BD BDC,所以 R A,即 ,同理 , , A C所以 。 sin sin C(二)根據(jù)正弦定理的特點,我們可以利用正弦定理解決哪些類型的解三角形問題? 提示利用正弦定理,可以解決)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形;(
5、2)已知兩角和其中一角的對邊解三角形。(三由 c A sin B C可以得到 : : c sin A B :sin 么由正弦定理還可以得到哪些, , 。 sin A a sin sin sin C 2 2 a , , 。 sin A a sin sin sin C 2 2 a b sin sin C b a A sin B sin sin sin C(2) , , 。 B sin sin C(3) sin A, sin , sin C B?!纠?3】 中,若 A C, sinA sinB sinC,試判 ABC 形狀。思路探究 ;邊角轉(zhuǎn)化 sin A b c R R。解法一 根據(jù)正弦定理: (
6、R ABC 接圓的半徑 sin sin Csin sinC, , R R a 2 2 ,A ,B ,由 A C 90 , ,sinB 。是銳角, sin B 22,B ,C ,是等腰直角三角形。法二: 中,根據(jù)正弦定理,得 b c R R(R 接圓的半徑 C , ,ABC 是直角三角形且A 、 , A C, sin 2sin B cos 。 sin cos C B , 。 , 。ABC 是等腰直角三角形。【教師小結(jié)】依據(jù)條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時,主要有以下兩種途徑:(1)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系, 從而判斷三角形的形狀;(2)利用正弦
7、定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角函數(shù)恒等變形得出, 所以 內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用, 所以 這個結(jié)論。在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解。 三、課堂總結(jié)1本節(jié)課的重點是正弦定理的應(yīng)用,難點是正弦定理的推導(dǎo)。2本節(jié)課要牢記正弦定理及其常見變形:(1)(2) sin sin C : : c sin A B :sin 其中 R ABC 外接圓的半徑 ;(3) c A C sin A B sin C;(4) ABC 中, Asin B 。3要掌握正弦定理的三個應(yīng)用:(1)已知兩角和任一邊,求其它兩邊和一角。(2)已知
8、兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和兩角。(3)判斷三角形的形狀。4本節(jié)課的易錯點有兩處:(1)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,可能出現(xiàn)無解或兩解的情況。 (2)在判斷三角形的形狀時易混淆“等腰或直角三角形”與“等腰直角三角形”。四、課堂檢測1判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)正弦定理不適用于鈍角三角形 )(2) ABC 中,等式 sin A sin 總能成立 )(3) ABC 中,若 A sin B,則三角形是等腰三角形 )解析(1)。正弦定理適用于任意三角形。(2)。由正弦定理知 b A sin ,即 sin A sin 。(3)。由正弦定理可知 b A sin ,即 ,所以三角形為
9、等腰三角形。答案(1) (2)(3)2 ABC 中,若 A B, 的大小關(guān)系為( )A B B B C D 的大小關(guān)系不能確定A 因為 b sin A A sin b sin B因為 ABC 中 0 B sin sin ,所以 B1,所 ab ,和 正 弦 定 理, 可 得, 。和 正 弦 定 理, 可 得, 3知 a 分別 ABC 的三個內(nèi) 對的邊滿足 ABC 的形狀是( )A等腰三角形B角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形 b c cos A cos B C,C 由 b c b sin A C cos A cos B C sin A sin B C A cos C, 即tan tan B tan ,所 ABC 為等邊三角形。4 ABC 中,已知atan tan A,試判 ABC 的形狀。解
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