高中數(shù)學(xué)人教版B版教案《正弦定理》

1、得 c正弦定理得 c教目1 掌握正弦定理及基本應(yīng)用 點(diǎn)）2會(huì)判斷三角形的形狀 點(diǎn)）3能根據(jù)正弦定理確定三角形 解的個(gè)數(shù)難點(diǎn)、易混點(diǎn)）【學(xué)程一、問(wèn)題導(dǎo)入核素 1 借助正弦定理的推導(dǎo)，提升學(xué)生的邏輯推理的 素養(yǎng)。2通過(guò)正弦定理的應(yīng)用 的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn) 算的素養(yǎng)。在現(xiàn)代生活中得益于科技的發(fā)展距離的測(cè)量能借助紅外測(cè)距儀激光測(cè)距儀等工具直接完 成不過(guò)，在這些工具沒(méi)有出現(xiàn)以前，你知道人們是怎樣間接獲得兩點(diǎn)間距離的嗎？二、新知探究1 已知兩角及一邊解三角形【例 1） 中，已 30 ，求 a，b；（2） ABC 中，已知 ， ，C 75， ，b，c。解（1）法一： 45 。由 c c sin A 10

2、 a sin sin C sin30 。sin105 75sin30 2 64， c sin 2 6 C 4。法二： 外接圓的直徑為 2R，則 c 20sin sin30 。易 180， 2 R 20 b R B sin105 ，2 4 6。（2 180 。由正弦定理 A， sin 8 sin60 6 sin 45。由 ，得 sin a C sin 75 sin A 8 2 642 2【教師小結(jié)】已知三角形的兩角和任一邊解三角形，基本思路是：（1）若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一角所對(duì)邊，再由三角形內(nèi)角和定理求 b c 出第三個(gè)角。 b c （2）若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三

3、角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求 另外兩邊。2 已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形【例 2】 中，分別根據(jù)下列條件解三角形：（1 a b ，A ；（2 a 3 ， ， 。解（1）根據(jù)正弦定理 sin B b sin 3 a 2。a ， 當(dāng) 時(shí) 180， c b sin C 3 B sin 60；當(dāng) 時(shí) 180， c 。（2）根據(jù)正弦定理 sin A a 1b 。因?yàn)?A 。所以 A 不存在，即無(wú)解?！窘處熜〗Y(jié)】已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)的方法：（1）首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值。（2）如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的法則能判斷另 一邊所

4、對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一。（3）如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可 求兩個(gè)角，要分類討論。3 利用正弦定理判斷三角形的形狀探究問(wèn)題（一）已 的外接圓 的直徑長(zhǎng)為 2R，試借 ABC 的外接圓推導(dǎo)出正弦定理。提示如圖，連接 BO 并延長(zhǎng)交圓 于點(diǎn) D，連接 CD，則BCD 90，BAC ，在 eq oac(,Rt) 中，BC BD BDC，所以 R A，即 ，同理 ， ， A C所以 。 sin sin C（二）根據(jù)正弦定理的特點(diǎn)，我們可以利用正弦定理解決哪些類型的解三角形問(wèn)題？ 提示利用正弦定理，可以解決）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形；（

5、2）已知兩角和其中一角的對(duì)邊解三角形。（三由 c A sin B C可以得到 : : c sin A B :sin 么由正弦定理還可以得到哪些， ， 。 sin A a sin sin sin C 2 2 a ， ， 。 sin A a sin sin sin C 2 2 a b sin sin C b a A sin B sin sin sin C（2） ， ， 。 B sin sin C（3） sin A， sin ， sin C B。【例 3】 中，若 A C， sinA sinB sinC，試判 ABC 形狀。思路探究 ；邊角轉(zhuǎn)化 sin A b c R R。解法一 根據(jù)正弦定理： （

6、R ABC 接圓的半徑 sin sin Csin sinC， ， R R a 2 2 ，A ，B ，由 A C 90 ， ，sinB 。是銳角， sin B 22，B ，C ，是等腰直角三角形。法二： 中，根據(jù)正弦定理，得 b c R R（R 接圓的半徑 C ， ，ABC 是直角三角形且A 、 ， A C， sin 2sin B cos 。 sin cos C B ， 。 ， 。ABC 是等腰直角三角形?！窘處熜〗Y(jié)】依據(jù)條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有以下兩種途徑：（1）利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系， 從而判斷三角形的形狀；（2）利用正弦

7、定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形得出， 所以 內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用， 所以 這個(gè)結(jié)論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解。 三、課堂總結(jié)1本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的應(yīng)用，難點(diǎn)是正弦定理的推導(dǎo)。2本節(jié)課要牢記正弦定理及其常見(jiàn)變形：（1）（2） sin sin C : : c sin A B :sin 其中 R ABC 外接圓的半徑 ；（3） c A C sin A B sin C；（4） ABC 中， Asin B 。3要掌握正弦定理的三個(gè)應(yīng)用：（1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角。（2）已知

8、兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角。（3）判斷三角形的形狀。4本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩處：（1）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能出現(xiàn)無(wú)解或兩解的情況。 （2）在判斷三角形的形狀時(shí)易混淆“等腰或直角三角形”與“等腰直角三角形”。四、課堂檢測(cè)1判斷（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”）（1）正弦定理不適用于鈍角三角形 ）（2） ABC 中，等式 sin A sin 總能成立 ）（3） ABC 中，若 A sin B，則三角形是等腰三角形 ）解析（1）。正弦定理適用于任意三角形。（2）。由正弦定理知 b A sin ，即 sin A sin 。（3）。由正弦定理可知 b A sin ，即 ，所以三角形為

9、等腰三角形。答案（1） （2）（3）2 ABC 中，若 A B， 的大小關(guān)系為（ ）A B B B C D 的大小關(guān)系不能確定A 因?yàn)?b sin A A sin b sin B因?yàn)?ABC 中 0 B sin sin ，所以 B1，所 ab ，和 正 弦 定 理， 可 得， 。和 正 弦 定 理， 可 得， 3知 a 分別 ABC 的三個(gè)內(nèi) 對(duì)的邊滿足 ABC 的形狀是（ ）A等腰三角形B角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形 b c cos A cos B C，C 由 b c b sin A C cos A cos B C sin A sin B C A cos C， 即tan tan B tan ，所 ABC 為等邊三角形。4 ABC 中，已知atan tan A，試判 ABC 的形狀。解