科學技術當中的微分方程模型

1、 10實際問題當中的微分方程模型偏微分方程或方有傳統(tǒng)領域，有的非傳統(tǒng)領域。本專題首先歸納出微分方程模型所涉及的領域以及常見模型類型，然后列舉幾個領域的典型例子。一、不同領域中的微分方程模型社會及市場經(jīng)濟中的微分方程模型綜合國力的微分方程模型誘發(fā)投資與加速進展的微分方程模型經(jīng)濟調(diào)整的微分方程模型廣告的微分方程模型價格的微分方程模型戰(zhàn)斗中的微分方程模型軍備競賽的微分方程模型戰(zhàn)斗的微分方程模型戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型戰(zhàn)斗的推測與評估模型人口與動物世界的微分方程模型單種群模型及進展開發(fā)的單種群模型弱肉強食模型兩個物種在同一生態(tài)龕中的競爭排斥模型無治理的魚類捕撈模型人口推測與把握模型疾病的傳染與診

2、斷的微分方程模型艾滋病流行的微分方程模型糖尿病診斷的微分方程模型人體內(nèi)碘的微分方程模型藥物在體內(nèi)的分布與排解模型自然科學中的微分方程模型人造衛(wèi)星運動的微分方程模型航空航天器翻滾把握的微分方程模型非線性振動的微分方程模型PLC電路自激振蕩的微分方程模型盯梢與追擊問題的微分方程模型二、建立微分方程模型的一般方法依據(jù)規(guī)律列方程方程模型。微元分析法是直接對函數(shù)及其導數(shù)應用規(guī)律。模擬近似法模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。三、微分方程的解法12求數(shù)值解近似解3法。四、典型案例分析案例一 范. 梅格倫Van Meegren偽造名畫案問題：H.A.Vanmeegren17 Jan.Vermeer的一批貴重油畫

3、盜1945 5 29 日以通敵罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣稱他Vermeer 判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。際特地小組，承受了當時最先進的科學方法，動用了 X-光線透視等，對顏料成份進展Vanmeegren被判一年徒刑。1947 1130 日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。Vanmeegren在獄中作的畫20 年后，1967 年，卡內(nèi)基梅隆大學的科學家們用微分方程模型解決了這一問題。問題的分析：指出：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。t N(t)，則有dN Ndt其中 Nt0 N 0N(t N e0tt 1 ln N00N01半衰期公式為T ln2，而碳-14、鐳-226、

4、鈾-238、鉛-210 T 5568年、1600 年、45 億年、22 年，N(t)N0就可算出斷代。這正是問N0油畫中的放射性物質(zhì)的方法。白鉛鉛的氧化物2022 余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時， Pb210 的絕大多Pb210 Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補足的為止。以下圖是鈾裂變示意圖：T 45億年鈾238鐳226無放射性鉛206模型假設：T 138天釙210T 22年T 1600年鉛210放射性鐳的半衰期為1600年，我們只對17 世紀的油畫感興趣

5、，時經(jīng)300多年，白鉛90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用r 表示。 210 22 300 多210 的衰變數(shù)可視為相等。建模：t 210 y(t)y 為制造時刻t00每克白鉛中含鉛 210的數(shù)量。 210 210 含量為dydty yr) y00模型求解：這是一個一階線性微分方程的初值問題，由常數(shù)變易法得其解為r變形為yt)1e(tt0 ) ye(tt0)0y y(t)e(tt ) re(tt ) 00, y(tr均可測出，可算出白鉛中鉛的衰變率 y0測定分析與結論：，再與當時的礦物比較，以鑒別真?zhèn)?。代入y00220測定結果如下圖：畫名210 衰變原子數(shù)210 的衰226

6、 衰變原子數(shù)變原子數(shù)Emmaus 的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.40測定結果如下圖：畫名210 衰變原子數(shù)210 的衰226 衰變原子數(shù)變原子數(shù)Emmaus 的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡樂的女孩5.26.0對第一幅畫，各量為t- t300， ln2 ， y(t)8.5,r 0.82 y 2150 8.50.82(21501)9805個/每分鐘每克01111030000個/每分鐘每克 4%210 每分鐘每克衰變不合理，故

7、為贗品。同理可檢驗第 2，3，4 幅畫亦為贗品，而后兩幅畫為真品。也是依靠放射性物質(zhì)的性質(zhì)來估量文物或化石的年月。案例二 放射性廢料的處理問題問題：,始終承受把它們裝入密封的圓桶91 米海底的方法。對此，科學家們表示擔憂，怕圓桶下沉到海底時與12.2 米/秒與海底碰撞時，圓桶就可能239.456 0.208 1025.94 千克/立方米。于12.2 米/秒，說明原處理放射性廢料的方法是安全牢靠的，大致無關，而與下沉的速度成正比，比例系數(shù)為0.12。你能推斷美國原子能委員會以往處理濃縮的放射性廢料方法是否合理嗎？符號說明：w: 239.456 千克V: 0.208 立方米B:1025.94 V=

8、213.396千克k: 0.12v: 圓桶下沉時的速度D: kvt: 圓桶離開海平面下沉的時間，單位為秒y (t)t 時刻下沉的深度，單位為米問題分析與求解：速度的乘積，即 F=ma。在本問題中有dy = v,d2 y = dv，F(xiàn)=W-B-D=W-B-k，y(0)=0，v(0)=0，dtdt2dt于是可以得到如下微分方程：d2 ydym= W - B- kdt2dt dydtdydt t= 0求解出函數(shù) y(t)后，求出圓桶下落到水深為 91 米海底的時間，即求滿足 y(t)=91 的時間 t1,然后求出在時間 t1 的速度即可以得到問題的解答。這里的速度關系由直接求函y(t)t 的導數(shù)得到

9、。Matlab軟件求解。求解問題，Matlab命令為syms t;syms y;y=dsolve(”m*D2y+k*Dy-w+b=0”,”y(0)=0”,”Dy(0)=0”)運行結果為y =-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k2m(b- w)kb- wm(b- w)即y(t)= -e- mt -t+k2kk2y(t) = 91，先畫出圖形，命令為b=1025.94*0.208;k=0.12; w=239.456;m=w/9.8;% 9.8 米/2t=0 :0.1 :20 ;y=-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)

10、/k*t+m*(-w+b)/k2-91 ;plot(t,y)運行結果如圖150100500-50-10002468101214161820t=13M 文件：function y=my0(t)b=1025.94*0.208;k=0.12; w=239.456;m=w/9.8;y=-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k2-91 ;用如下的命令求解：t=fsolvemy0, 13)t =13.204223061992241Matlab 代碼為b=1025.94*0.208;k=0.12;w=239.456;m=w/9.8; syms t;y1=d

11、iff(-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k2-91)y1 =ee即 y”(t) = -3190720228293556007631- 21t42768143914692224126156800000375t =13.204223061992241 v =13.63610112931550691 13.6361 米/秒，這個速 性廢料方法是擔憂全的。案例三弱肉強食微分方程模型問題：階段狀況？變量說明：x(tt時刻兔子數(shù)目y(tt時刻狐貍數(shù)目數(shù)學模型xaxbxycydxy其中ab, cd 均為正常數(shù)。模型各項意義ax 表示兔子的生殖速度與現(xiàn)

12、存兔子數(shù)成正比；bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；cy 表示狐貍因同類爭食造成的死亡速度與狐貍總數(shù)成正比；dxy 表示狐兔相遇，對狐貍有好處而使狐貍生殖增加的速度。 模型求解與分析 y y0 axbxy0S ca令得系統(tǒng)的兩個穩(wěn)定點奇點為O(0,0) 和 (,) cydxy0dbxt)=0，求解問題與yt)= y0e- ct ；yt)=0，求解問題與xt)=x eat0 沒有食物將趨于死亡；而假設沒有狐貍，兔子將無限制增長。xy 0時，方程組等價于- c- dx dx=x這是一個可分別變量的方程，積分得通解a - by dyy兩邊取指數(shù)得- by- dx+ aln y+ clnx= lnC

13、xc ?yaCedxeby證明：當時值x0= x(0) 0, y0= y(0) 0時，方程確定了xoy 面上位于第一象限的一族封閉曲線。令 g(xxc ,edxf (y)=yaeby，由于 ya- 1(a- by)eby易證 f y) y=a 處取得極大值 M=1g(x) x=c 處取得極大值bM=1 yeabdxecdC M Mxy時，方程無 x 0, y0的解；當 C= M Mxy時，方程有唯一解x= c , y= a ；當C C ，依據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，在曲線 L上必有一點(x* y* )，使得F(x*y*) = C ，即曲線F(xy) = C L相交。由L的任意性知，當C 0, y(

14、0) 0動身的軌線bx(t+ T)= x(t),y(t+ T)= y(t),(T 0)這說明假設初始時既有兔子又有狐貍，則隨著時間的增加，狐兔數(shù)量呈周期性變化，無休x增，從而(x(t), y(t) 沿曲線逆向運動。 ddt 0y 隨著時間遞對于模型xt),yt)xt),yt)x, y ，則x = 1 蝌T x(t)dt,y = 1T y(t)dtT0T0由于 = a- by，故 x1 Tt)dt= T0 x(t)TT (a- by(t)dt = a-0bT y(t)dt = a- byT0而t) dt = ln x(t)T= ln x(T)- ln x(0)= 00 x(t)0從而 a- by

15、 = 0y = a 。同理可得 x = c 。bd期變化，處于動態(tài)平衡。以建立下面的數(shù)學模型： axbxy其中 表示捕獲率。cydxyy同理，當0 a 時修正模型的解也是周期函數(shù)，并且平均值為c+ a- x =,y =, (0 a)db0 a a 時，平均而言，兔子數(shù)，則會增加狐貍的數(shù)目而削減兔子的數(shù)目。因同時捕殺狐貍，故仍能保持動態(tài)平衡。當 a ，即捕獲率超過兔子的生殖率時，不管開頭時狐兔數(shù)量如何，隨著時間的推移，狐兔均因濫捕濫殺而滅亡。五、根本練習練習 1：如右圖所示，一根長為l m 的小球。在重力的作用下小球處于平衡位置。假設使小球偏離平衡位置肯定角度，放開它，頓其次定律得到如下的微分方

16、程ml” mgsin,”(0)00求出其近似解？潮的到來等：人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infictive)兩類，時刻 t 這兩類人在總s(t)y(t)；每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) ， 稱為日接觸率。當病人與安康者有效接觸時，使安康者受感染變?yōu)椴∪?；病人每天被治愈的占病人總人?shù)的比例為 ，稱為日治愈率，明顯 1染病的平均傳染期。是這種傳練習3：假定某公司的凈資產(chǎn)因資產(chǎn)本身產(chǎn)生了利息而以4%的年利率增長，同時，該公司以每年100 萬的數(shù)額支付職工工資。凈資產(chǎn)的微分方程為dw = 0.04w- 100(t 以年為單位)dt分別以初始值w(0) = 1500 24

17、 并畫出三條凈資產(chǎn)趨勢曲線。六、綜合練習綜合國力的微分方程模型問題一個國家的物質(zhì)文明與精神文明綜合而成的社會文明或曰綜合國力，其已有水平家都在組織科學家進展爭辯。社會走向。變量說明：X(t硬國力函數(shù)，是某國物質(zhì)文明資源、經(jīng)濟、軍事、科技等水平的一個綜合指標，X(t)越大，物質(zhì)文明越富強，X X是正常數(shù)，表示X (t)的戒備線。0y(t軟國力函數(shù)，是某國精神文明問題內(nèi)政外交政策的失誤與正確，官員的一個綜合指yt)0對應社會丑惡現(xiàn)象決策失誤、教育失敗、官貪民盜等，這時軟國力對社yt)0時，軟國力優(yōu)越?jīng)Q策英明、國民素養(yǎng)高等，對社會進展有促進作用。x(t) X(t) X0，則X0 x(t M const。數(shù)學模型dx x(M x)ydtM模型各項意義：dt y (m x)x第一個方程表示，物質(zhì)文明的進展速度 dx 與現(xiàn)有文明水準 x(t) 及進展?jié)摿Φ姆蓊~dtM x 成正比，社會丑惡現(xiàn)象對物質(zhì)文明進展起阻滯作用，其中 稱M為丑惡系數(shù)；其次個方程中， y 表示人民與政府對丑惡現(xiàn)象的抵抗與治理力度，它與現(xiàn)存丑惡 稱為統(tǒng)治系數(shù)。 (m x)x x(t) m 時，丑x(t) x(t) m x(t) 的增長而削減。其中m M 。試對該模型求解并進展分析艾滋病流行的微