高三復(fù)習(xí)：二項(xiàng)式定理-知識(shí)點(diǎn)題型方法歸納

1、綿陽(yáng)市開元中學(xué)高2022級(jí)高三復(fù)習(xí)學(xué)問點(diǎn)、題型與方法歸納名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點(diǎn)式定理因此二項(xiàng)式定理是排列組合學(xué)問的進(jìn)展和連續(xù)二項(xiàng)式定理一學(xué)問梳理制卷：王小鳳同學(xué)姓名： _ 兩種應(yīng)用1通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)可求指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等1二項(xiàng)式定理 ：ab nC 0na nC 1na n1b C rna nrb r C nnb nnN *這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫 ab n 的二項(xiàng)綻開式其中的系數(shù) C rnr0,1, , n叫2綻開式的應(yīng)用：利用綻開式可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式；可證明不等式；可證明二項(xiàng)式系數(shù)式中的 C rna nrb r 叫二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng),用 Tr

2、1表示 ,即通項(xiàng) Tr1C rna nrb r. 整除問題；可做近似運(yùn)算等2二項(xiàng)綻開式形式上的特點(diǎn) 三條性質(zhì)1項(xiàng)數(shù)為 n1. 1對(duì)稱性； 2增減性； 3各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；2各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù) n,即 a 與 b 的指數(shù)的和為 n. 3字母 a 按降冪排列,從第一項(xiàng)開頭,次數(shù)由 n 逐項(xiàng)減 1 直到零；字母 b 按升冪排列,從第 二題型示例一項(xiàng)起,次數(shù)由零逐項(xiàng)增 1 直到 n. 【題型一】求 x y n綻開特定項(xiàng)4二項(xiàng)式的系數(shù)從0 1 n1C n,C n,始終到 C nn,C n. 3二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)r n r1對(duì)稱性：與首末兩端“ 等距離” 的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等即 C n C n

3、2增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù) C n,當(dāng) kn1 2時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)逐步增大由對(duì)稱性知它的后n半部分是逐步減小的；當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng) C 取得最大值；當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)n 1 n 1C n 2 C n 2 取得最大值3各二項(xiàng)式系數(shù)和： C 0 nC 1 nC 2 n C r n C n n2 n；C 0 nC 2 nC 4 n C 1 nC 3 nC 5 n 2 n1. 例 1：13x n其中 nN*且 n6的綻開式中 x 5與 x 6的系數(shù)相等,就n A.6 B.7 C.8 D.9 解： 由條件得 C 5n3 5C 6n3 6,n！5?。?n5）！n！ 3,6?。?n6）！3n

4、56,n7.應(yīng)選 B.例 2：2022 大綱 x y y x 8的綻開式中 x 2y 2 的系數(shù)為 _.用數(shù)字作答 解：x y y x 8綻開式的通項(xiàng)公式為 Tr1C r8 xy 8ryx r1 rC x 8 r 832 ry 32 r 4,令 83 2r2,解得 r4,此時(shí) 3 2r4 2,所以綻開式中 x 2y 2 的系數(shù)為 1 4C 4870.故填 70.一個(gè)防范【題型二】求 abmxyn綻開特定項(xiàng) 運(yùn)用二項(xiàng)式定理肯定要牢記通項(xiàng)Tr1Crna nrb r,留意 ab n 與ban雖然相同,但詳細(xì)到它例 1：在1x 51x61x71x 8 的綻開式中,含 x 3的項(xiàng)的系數(shù)是 們綻開式的某一

5、項(xiàng)時(shí)是不同的,肯定要留意次序問題,另外二項(xiàng)綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的A74 B121 C74 D121 解析綻開式中含 x 3 項(xiàng)的系數(shù)為 C 3513C 361 3C 371 3C 381 3121. 字母 系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者只指r C n,而后者是字母外的部分前者只與n 和 r 有關(guān),恒為正,后者仍與a,b 有關(guān),可正可負(fù)【題型三】求 abmxyn綻開特定項(xiàng)一個(gè)定理例 1：2022 全國(guó)課標(biāo)卷已知1ax1x5的綻開式中 x 2 的系數(shù)為 5,就 a二項(xiàng)式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明,也可依據(jù)次數(shù),項(xiàng)數(shù)和系數(shù)利用排列組合的學(xué)問推導(dǎo)二項(xiàng)A. 4 B.3 C.2 D.1 解： 1ax1x 5

6、 的綻開式中 x 2項(xiàng)為 C 25x 2axC 15x10 x 25ax 2105ax 2. x 2 的系數(shù)為 5,105a5,a 1.應(yīng)選 D.名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點(diǎn)解析易知 Tr 1C r 5x 2x5ry r,令 r2,就 T3C 2 5x 2x 3y 2,對(duì)于二項(xiàng)式例 2：2022浙江卷 在1x 61y 4 的綻開式中,記x my n 項(xiàng)的系數(shù)為 fm,n,就 f3,0 x2x 3,由 Tt 1C t3x2 3 tx tC t3x 6 t,令 t1,所以 x 5y 2 的系數(shù)為 C 25C 1330. f2,1f1,2f0,3 【題型五】二項(xiàng)式綻開逆向問題A45 B60 C120 D210

7、 解析在1x 6 的綻開式中,x m的系數(shù)為 C m6 ,在1y 4 的綻開式中,y n的系數(shù)為 C n4,故 fm,例 1：2022廣州畢業(yè)班綜合測(cè)試 如 C 1 n3C 2 n3 2C 3 n 3 n2C n1n3 n185,就 n 的值m n 3 2 1 1 2 3nC 6C 4.從而 f3,0C 620,f2,1C 6C 460,f1,2C 6C 436,f0,3C 44,為 A.3 B.4 C.5 D.6 所以 f3,0f2,1 f1,2f0,3120,應(yīng)選 C.解： 由 C 1n3C 2n 3 n2C n1 n3 n11 313 n185,解得 n4.應(yīng)選 B.例 3：已知數(shù)列 a

8、 n是等差數(shù)列, 且a6a 710,就在xa 1xa 2xa 12的綻開式中,【題型六】賦值法求系數(shù)（和）問題x 的系數(shù)為 _. 11例 1：已知 12x7a0a1xa2x 2 a7x 7.解：11 x 的系數(shù)為a 1a2a 126a 6a 760；求： 1a1a2 a7；2a1a3a5a7；【題型四】求 xyzn綻開特定項(xiàng)3a0a2a4a6；4| | a0 | | a1 | | a2 | | a7 .解： 令 x1,就 a0a1a2a3a4a5a6a7 1.例 1：求x 21 x25 x0的綻開式經(jīng)整理后的常數(shù)項(xiàng).令 x 1,就 a0a1a2a3a4a5a6a73 7.0 1a0C 71,a

9、1a2a3 a72.解法一：x 21 x25 在 x0 時(shí)可化為2 1 x10,2 2,得 a1a3a5a77132 1094.r 因而 Tr1C 10110rx 102r5,就 r5 時(shí)為常數(shù)項(xiàng),即 C 101563 2 2 .7133 2,得 a0a2a4a621093.412x 7 的綻開式中, a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零,22解法二： 所給的式子為三項(xiàng)式,采納兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.分三類： 5 個(gè)式子均取2,就 C52 54 2；| | a0 | | a1 | | a2 | | a7 a0a2a4a6a1a3a5a7,取一個(gè)x 2,一個(gè) 1 x,三個(gè)

10、2,就 C 51 2 C 42 320 2；所求即為亦即,其值為 2187.點(diǎn)撥：“ 賦值法” 普遍運(yùn)用于恒等式,是一種處理二項(xiàng)式相關(guān)問題比較常用的方法 .對(duì)形如axb n,ax 2bxc ma,b,cR的式子求其綻開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令 x1 即可；對(duì)形如 axby na,bR的式子求其綻開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令 xy1 即可.如 fxa0a1xa2x 2 anx n,就 fx綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 f1,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之取兩個(gè)x 2,兩個(gè) 1 x,一個(gè)2,就 C 51 22 C 3 215 2 2 .所以,常數(shù)項(xiàng)為4 220 215 2 263 2 2 .和 為a0 a2 a4 f（1） f

11、（ 1）2, 偶 數(shù) 項(xiàng) 系 數(shù) 之 和 為a1 a3 a5 點(diǎn)撥：三項(xiàng)式的綻開式問題,通?？捎媒夥ㄒ换癁槎?xiàng)式問題,或用解法二化為計(jì)數(shù)問題.例 2：如將xyz 10綻開為多項(xiàng)式,經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）f（1） f（ 1）2.A11B33C55D66 例 2：設(shè) 2x 2 2na0a1xa2x 2 a2nx 2n,就a0a2a4 a2na2n1 2_.2a1a3a5解：綻開后,每一項(xiàng)都形如a b cx y z ,其中abc10,該方程非負(fù)整數(shù)解的對(duì)數(shù)為2 C 10266；例 3：2022 課標(biāo)全國(guó)卷 x 2xy 5 的綻開式中, x 5y 2的系數(shù)為 解： 設(shè) fx2 2x2n,就 a

12、0a2a4 a2n 2a1a3a5 a2n1 2a0a2A10 B20 C30 D60 a4 a2na1a3a5 a2n1a0a2a4 a2na1a3a5 a2n1f1 f1名師總結(jié) 優(yōu)秀學(xué)問點(diǎn)212 2n212 2n 1 2 2n1 4 n.例 3：已知 x1 2x2 2022a0a1x2a2x2 2 a2022x2 2022,就a1 2a2 2a3 2 3a2022 2 2022的值為 _. 解： 依題意令 x3 2,得 3 21 23 22 2022a0a1 3 22 a2 3 22 2 a2022 3 22 2022,令 x 2 得 a00,就a1 2a2 2a3 2 3 a2022

13、2 20221 2 2022.【題型七】平移后系數(shù)問題例 1：如將函數(shù) fxx 5 表示為 fxa0a11xa21x 2 a51x 5, 其中 a0,a1,a2, , a5 為實(shí)數(shù),就 a3_.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 T5C 482x 41 120 x 4.C r82 rC r1 82 r1,設(shè)第 r1 項(xiàng)系數(shù)最大,就有C r82 rC r182 r1,解得 5r6.所以 r5 或 r6,所以系數(shù)最大的項(xiàng)為 T61 792x 5 或 T71 792x 6.點(diǎn)撥：1求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)：假如 n 是偶數(shù),就中間一項(xiàng) 第n 21項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù)最大；假如 n 是奇數(shù),就中間兩項(xiàng) 第n1 2項(xiàng)與第 n1

14、 21 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大 .2求綻開式系數(shù)最大項(xiàng)：如求 abx na,bR的綻開式系數(shù)最大的項(xiàng),一般是采納待定系數(shù)法,列出不等ArAr1,式組 ArAr 1,從而解出 r,即得綻開式系數(shù)最大的項(xiàng) . 解法一： 令 x1y,y1 5a0a1ya2y 2 a5y 5,故 a3C 251 210.【題型九】?jī)蛇吳髮?dǎo)法求特定數(shù)列和a51,例 1：如2x3 5a0a1xa2x 2a3x 3a4x 4a5x 5,就 a12a23a34a45a5_4解法二： 由等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等 .即：C 5a5a40,解得 a310.3 3C 5a5C 4a4a30,解法三： 對(duì)等式： fxx 5a0a11x

15、a21x 2 a51x 5兩邊連續(xù)對(duì) x 求導(dǎo)三次解析原等式兩邊求導(dǎo)得52x3 42x3 a12a2x3a3x 24a4x 35a5x 4,令上式中 x1,得 a12a23a34a45a510. 得：60 x 26a324a41x60a51x2,再運(yùn)用賦值法,令x 1 得： 606a3,即 a310.【題型十】整除問題故填 10.【題型八】二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)最大值問題例 1：設(shè) aZ,且 0a13,如 51 2 012a 能被 13 整除,就 a A0 B1 C11 D12 例 1：x1 2xn 的綻開式中第五項(xiàng)和第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,就第四項(xiàng)為_解析51 2 012a521 2 012aC

16、02 01252 2 012C 12 01252 2 011 C 2 0112 012 521 2 011C 2 0122 0121 2 012a,C02 01252 2 012C 12 01252 2 011 C 2 011 2 012 521 2 011能被 13 整除且 51 2 012a 能被 13 整除,C 2 0122 0121 2 012a1a 也能被 13 整除因此 a 可取值 12. 解析由已知條件第五項(xiàng)和第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,得n9,x1 2x9 綻開式的第四項(xiàng)3 為 T4C 9x61321 2 .2x例 2：把1x 9 的綻開式按 x 的升冪排列,系數(shù)最大的項(xiàng)是第_項(xiàng)例

17、2：已知 m 是一個(gè)給定的正整數(shù),假如兩個(gè)整數(shù) a,b 除以 m 所得的余數(shù)相同,就稱與 b 對(duì)模 m 同余,記作 abmodm,例如：513mod 4.如 2 2022rmod 7,就 r 可能等于 a A4 B5 C6 D7 A.2022 B.2022 C.2022 D.2022 解析1x9 綻開式中第 r1 項(xiàng)的系數(shù)為 C r91 r,易知當(dāng) r4 時(shí),系數(shù)最大,即第5解：2 20222 2 2 3 6714 8 67147167147 671C 16717 670 C 67067171.因此 2 2022除以項(xiàng)系數(shù)最大,選 B.7 的余數(shù)為 4.體會(huì)證,只有 2022 除以 7 所得的

18、余數(shù)為 4.應(yīng)選 A. 三自我檢測(cè)例 3：12xn的綻開式中第 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的系數(shù)相等, 求綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和1、2022 青島一檢“ n5” 是“2 x1 3 xn nN *的綻開式中含有常數(shù)項(xiàng)” 的 系數(shù)最大的項(xiàng) .解：T6C 5n2x 5,T7C 6n2x6,依題意有 C n2 5 5C 6n2 6,解得 n8.所以12x 8 的綻開式中,A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點(diǎn)2、已知 C 0 n2C 1 n2 2C 2 n2 3C 3 n 2 nC n n729,就 C 1 nC 2 nC 3 n C n n等于 A63 B64 C31 D32 3、組合式 C 0n2C 1n4C 2n8C 3n 2 nC nn的值等于 A1 nB1 C3 nD3 n1 4、如 1xx 2 6a0a1xa2x 2 a12x 12,就 a2a4 a12_5、已知 1x 10a0