20基礎(chǔ)講義8-12章1小盆考研

1、第 八 章多 元 函 數(shù) 微 分 學(xué)第一函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分內(nèi) 容 概 要（一） f zxy的二元函數(shù)z 第 八 章多 元 函 數(shù) 微 分 學(xué)第一函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分內(nèi) 容 概 要（一） f zxy的二元函數(shù)z f(xyD稱為該函數(shù)的定義域xy稱為自變量z 稱為應(yīng)變量.f(xyf 的值域fz f(xy在幾何上表示一張空間曲面 0,存在 0P(xyD且02 (xx0) (y 20f (x) A Af(xy當(xyx0y0時的極限f(xy) Alim f(xy Alim f (P (x,y)(x0 ,y0 xx0 y P 1）這里的極限是要求點(xyD內(nèi)以任意方式趨近于點(

2、x0y0 f(xy注 (3)性8.1.1】求極限.x 1 2 x 21）連續(xù)的概念 2 x 21）連續(xù)的概念 f (x, y)(x,y)(x0 ,y0 f(x0,y02）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 何值1）偏導(dǎo)數(shù)的定義4 z f(xyP0 x0y0f(x0 x,y0) f(x0,y0 xf (x,yP0 x0y0 x的偏導(dǎo)數(shù)，記f(x ,y 或x xx xyy2lim f(x0,y0 y) f(x0,y0yf (x,yP0 x0y0y的偏導(dǎo)數(shù)，記 或 f(x y 或y xlim f(x0,y0 y) f(x0,y0yf (x,yP0 x0y0y的偏導(dǎo)數(shù)，記 或 f(x y 或y xy xyyfx(x0y0

3、就是一元f(xy0 xx0fy(x0y0f(x0y y y0處的導(dǎo)數(shù).類似地，可以定義三元函數(shù)乃至 n 元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)M(x0y0f(x0y0z f(xy2）二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義y y0 z f(xy) 相交， 其交線為平面y y0 上的曲線點M 作平面z f(xy ，即z f(x,y0f(x y y 00 x x0 z f (xy) x x0 上的曲線同樣，過點 M 3）高階偏導(dǎo)數(shù)5 z f(xyDxyf(xy的二階偏導(dǎo)數(shù)z 2 zffxxyxxx xy z 2 z2xyfyxfyyy 2y22，2 36（全微分）z f(xy在點(xyz f (xxy6（全微分）z f(xy在點(xyz

4、 f (xxyy f(xyz AxBy其中A，B與x，y無關(guān)，(x)2 (y)2 ，則稱函數(shù)z f(x,y)在點(x,y)處微AxByz f(xy在點(xy處的全微分dz Axf(xyD內(nèi)的每一點(xyf(xyD內(nèi)可微分2（全微分存在的必要條件） z f(xy在點(xyz dz z dx z d z 3（全微分存在的充分條件） 如果 zf(xyxy在點(xyz f(xy在點(xy處可微一元函數(shù)多元函數(shù)4常 考 題 型 與 典 型例題?？碱}型(x,y) (x,y) ,8.1.3（19971）f常 考 題 型 與 典 型例題?？碱}型(x,y) (x,y) ,8.1.3（19971）f(xyx2 在

5、點(0,0處（ （A）（D）【例 8.1.4（1994 年，1,2）f(xy) 在點(x0y0f0(x0y0fy(x0y0f(xy在該點連續(xù)的（ （A）（D）【D8.1.5（20123）z f(xy滿足limf(xy2x y2 0 yx2 (y52dxdy（1）f (x,y) x y在(0,0)(x,2dxdy（1）f (x,y) x y在(0,0)(x,y) (x,y) （2）f(x,y) x2 在(0,0) 點可導(dǎo),但不連續(xù),(x,y) (x,y) （3）f (x,y) 在(0,0) 點可導(dǎo),但不可微x2 ,(x,y) (x,y) （4）f(x,y) x2 在(0,0) 點可微,但偏導(dǎo)數(shù)不

6、連6第二節(jié) 多元函數(shù)的微分法內(nèi) 容 概 要4 設(shè)函數(shù)u u(xyv v(xy在點(x第二節(jié) 多元函數(shù)的微分法內(nèi) 容 概 要4 設(shè)函數(shù)u u(xyv v(xy在點(xyxyz f (u,v在對應(yīng)點(uvz fu(xy),v(xy在點(xz z u z vz z u z u v u v z f(u,v、uu(xy及vv(xyz fu(xy),v(xydz zdx zdy z du zd1）F(xy0y 7y f(x2）F(xyz0z z(xF(xyz) 在點 P(x0y0z0 ) 的某一鄰域 內(nèi)有連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù) , 且F(x0y0z00, Fz(x0y0z00F(xy f(x2）F(xyz0z z(

7、xF(xyz) 在點 P(x0y0z0 ) 的某一鄰域 內(nèi)有連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù) , 且F(x0y0z00, Fz(x0y0z00F(xyz0在點(x0y0z0z f(xyF1(x,y,u,v)3）由方程確定的隱函數(shù)u u(x,y)，v v(x,y)（僅數(shù)一要求(x,y,u,v) 欲求x y x y ，可以將每個方程分別對 x 求偏導(dǎo)數(shù)，得出以x ， 常 考 題 型 與 典 型 例 題?？碱}型一.復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分s 2 dt120 ，1 x2y2 cos(xy)(1 x2y2)2xy3sin ，(1x2y282 故 (x,2) 2sin ，x1 x212sinF (0,2) 2 故 (x,2)

8、2sin ，x1 x212sinF (0,2) x0 x(14x2x0 x(14x2 xy.【(1 2ln2)(dx dy8.2.3（20071）f(u,v為二元可微函數(shù)，z f (x ,y 則x yxyxy1f yx ln yf 128.2.4】(20171,2)f(uv2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)y f(excosx,d2.9d2 ff(1,1)f(1,1)fuuv8.2.5（20092）zf(x yx yxyf 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz2.d2 ff(1,1)f(1,1)fuuv8.2.5（20092）zf(x yx yxyf 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz2.z ff yf f f xfdz zdx z

9、dy (f f yf)dx(f fxf)d2 f f xf f f xf f y(f f xf 8.2.6】(20111,2)z f(xyyg(xf 2g(xx1g(1)1. .xy xy1】 z f(xyyg(x yf yg(x)f122 f yxf g(x) f g(x)f yg(x)xf g(x) f122f(1,1)f(1,1)f1xy xy2】 z f(xyyg(x yf yg(x)f12 2y 1 f12xy xyf(excosy2z 2(4zexcosy)e2f(00, f(0)0f(u【解】令excosy u f(u)excosf(u)exsin2 f(u)e2xcos2 y

10、f(u)excos f(u)e2xsin2 y f(u)excos22(4z excosy)e2xf(u) 4f(u)f(u)4f(u)即以上方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2 40,特征根為r 2,f(u)Ce2u C 12f aub,代入非齊次方程得a 1,b 41f (u) CC e12411由f(0)0, f(0)0得 C ,C ,121f (u) (e2ue2u4u) 二.隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與11由f(0)0, f(0)0得 C ,C ,121f (u) (e2ue2u4u) 二.隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分8.2.8（20152，3）zz(xy由方程ex2y3zxyz1 1】x0,y0代入ex2

11、y3z xyz1中得e3z 1,z方程ex2 xyz1ex2y3z(dx2dy3dz)yzdxxzdyxydzx0y0,z0dx2dy3dz 1(dx32】x0,y0代入ex2y3z xyz1中得e3z 1,z zx(0,0)dx zy在ex2 xyz1y 0ex3z 1兩邊x 求導(dǎo)ex3z(13z )xz (0,0)x3xyz1x 0e2y3z 1兩邊y 求導(dǎo)在ex2 e2y3z(23z ) yz (0,0)y31(dx3u 8.2.9（19884）已知ue xyxyxy【解】等式ueuxyxu(1eu)u u 1x1y1 (1eu)euu 2u 1 1(1eu(1eu8.2.10（2010

12、1,2）z(1eu)u u 1x1y1 (1eu)euu 2u 1 1(1eu(1eu8.2.10（20101,2）zz(xyFyz0F x xz且F 0，則（ 2（C）（D）（A） y F z 1 z 12,1,x1 1 22xxy x z z1 1 1 22xx 故應(yīng)選3 sxexyxy d和t0dddf df d.dy dz d由exyxy2xddy y dxdxdy 即d又由ex sxt0 sin(xex(xz) dd1即x sin(x dxddy y dxdxdy 即d又由ex sxt0 sin(xex(xz) dd1即x sin(x dxdu f y f ex(x z) f sin

13、(x z)dx du x dx y dy z 等式exyxy2exy(ydxxdy)(ydxxdy)dy yxsx等式ex t0ex(xsin(x e dx (dx即 dz xsin(xxduf y f ex(xz)fsin(xz)x du f y f ex(x z) f sin(x z)dx 8.2.12（20083）zz(xyx2 y2 z(x yz其中 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 z（I）求dz； （II）記u(xy) ，x yy1（I）F(xyz) x2 y2 z(x yzFx2xFy2yFz1x FFx2xFy2yFz1x Fzz2xz 2y 11dz zdx zdy 1 (2x )dx (2

14、y )d 121（II）由于u(xy) 1 z 2(2x1).x(1(122】 （I）x2 y2 z (x yz2xdx2ydydz (dxdyd解出d z ，dz 2xdx 2yd 11第節(jié)多元函數(shù)的極值與最值內(nèi) 容 概 要（一）無約束極值7 z f(xy P(x, yf(xy f(x0y0（f(xy f(x0y0定理 5（極值的必要條件） z f (xy在點(x0y0存在偏導(dǎo)數(shù)，且(x0y0三f (xyfx(x0,y0) fy(f (xyfx(x0,y0) fy(x0,y0) fx(x0y00fy(x0y0 0 Bfxy(x0,y0Cfyy(x0,y0（1）ACB2 0，則(x y f (

15、xyA0，則(x0y0f(xyA0，則(x0y0f(xyACB2 0，則(x y f(xyACB2 0，則(x y f(xyf(xyz f(xy（1）f(xyP1,LPk【注】1）z f(xy在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能取到極值（f (xy) x2y2 （二）條件極值及拉格朗日乘數(shù)法z f(xy在條件(xy) 0（1）F(xy,) f(xy(xyfx(x,y)x(x,y)f(x,yfx(x,y)x(x,y)f(x,y)(x,y) yyx,y xy及，則其中(xyf(xy在條件(xy0n元函數(shù)在m個約束條件下的極值問題，如求u f(xyz條件(xyz0，(xyz) 0F(x,y,z,) f fx(x

16、,y,z)x(x,y,z)x(x,y,z)f(x,y,z)(x,y,z) (x,y,z) yyyfz(x,y,z)z(x,y,z)z(x,y,z) (x,y,z) xyz及 ，則其中(xyz常 考 題 型 與 典 型 例 題?？碱}型f(xy在點(x0y0是（A）f(x0yy y0（B）f(x0yy y0（C）f(x0yy y0（D）f(x0yy y0 （D）f(x0yy y0 ）（A）f(xy（B）f(xy（C）f(xy（D）f(xy【1z f(x【D8.3.3（20173）z xy(3xy的極值點是（ （B） y(32x y) x(32yx0【解】由y(0,0),(0,3),(3,0),2y

17、,zyy 2x,zxy 32x2ACB2 90在(0,0) ACB2 90在(0,3) ACB2 90在(3,0) ACB2 30,8.3.4（20091,3）f(xy) x22 y2 ylny【解fx(x,y)2x(2 y2)，fy(x,y)2x2ylnyACB2 30,8.3.4（20091,3）f(xy) x22 y2 ylny【解fx(x,y)2x(2 y2)，fy(x,y)2x2ylnyfx(x,y)1解得唯一駐點 . 由令f (x,y) ey1221A 2(22ey 2 ee1B e 10, e11C e2y 1所以ACB 2e 20，且A0.從而f 0,1是f(x,y)的極小值，

18、極12e2ef0,11ee8.3.5（20082）求函數(shù)u x2 y2 z2z x2 y2x y z 4【解】 F(x,y,z,) x2 y2 z2 (x2 y2 z)(x y zFx2x2x F 2y2y yFz2z令F x y z 解方程組，得 【例 8.3.6（2005 年 2）已知函數(shù) z f(xy的全微分 dz 2xdx2ydy ，并且 2 1 上的最大值和最小值41】 由dz 2xdx2ydyz f ( 2 1 上的最大值和最小值41】 由dz 2xdx2ydyz f (x,y) x2 y2 f(1,1)2，得C2z f(x,y) x2 y2 令2x 0,f 2y 0解得駐點(0,

19、0在橢圓x 1上，z x (44x )2，2224z 5x2 (1 x 其最大值為3最小值為2.再與f(0,0)2比較可知f(x,y)在橢圓域xx【解2】 同解法一得駐點(0,0).用拉格朗日乘數(shù)法求此函數(shù)在橢圓x 1上的極值24設(shè)L x y 2x 1，24Lx 2x2xL 2yy y2Lx214解得 4 個可能的極值點(0,2),(0,2),(1,0) 和(1,0) 又 f(0,2)2, f(0,2)2, f(1,0)3, f(1,0)3 ，再與 f(0,0)2 比較，得f(xyD3，最小值為2【解3】 同解法一，得駐點(0,0).橢圓x 1的參數(shù)方程為x cost,y 2.4z f (x,

20、y) x2 y2 2cos2t 4sin2t則35sin2 3,fmin 第 九 二 重 積 內(nèi) 容 概 要(一)二重積分的概念及性質(zhì)1 z f(x3,fmin 第 九 二 重 積 內(nèi) 容 概 要(一)二重積分的概念及性質(zhì)1 z f(xyD將區(qū)域 D 任意分n 個小閉區(qū)1，2，L，n i 上任取一點(i ,i 表示i 個小區(qū)域,也表示它的面積.其，作乘nf (i,i)i，并求和 f (i,i)i記 n 個小區(qū) in大直徑，如果lim f (xi, yi)i 存在，則稱此極限值為函0 inlimf(xi,yi)f(x,y)D0 i幾何意義f(xyd是一個數(shù).f(xy0DDz f(xyf(xy0（

21、1）若Df (xy g(xyf(x,y)d g(x, y)dDD（2）D上m f(xyM m f(x,y)d MDf (x,y) | f (x,y)|dDDm f(x,y)d MDf (x,y) | f (x,y)|dDD (,) ，使f(x,y)d f(,)D（2(f (x,y)Db1）先yf (x,a1 (2(yf (x,y)Df (x,2）x 后c(y12 ( 先 后f (x,y)d 1Dyx（1）f( x2 y f( ), f )2xyx2 y2 R2; r2 x2 y2 R2; x2 y2 2ax; x2 y2 f (xy)關(guān)于x為偶函數(shù)f(x,y)d 0f (xy)關(guān)于x為奇函數(shù)D

22、f(xy)關(guān)于y為偶函數(shù)f(x,y)d Dy0f(xy)關(guān)于y為奇函數(shù)Df(xy)關(guān)于y為偶函數(shù)f(x,y)d Dy0f(xy)關(guān)于y為奇函數(shù)Df(x,y)d f(y,DD常 考 題 型 與 典 型 例 題?？碱}型1.2.21【例9.1】交換累次積f (x, y)dy的次序_20 x422【例9.2（2009年2）設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù)f (x, y)dyf (x, y)dx 1x144f (x, f (x, 11422f (x, f (x, 11y【C0f(cossin)d 可以寫20yy1y11f (x, f (x0f(cossin)d 可以寫20yy1y11f (x, f (x, 000

23、0 xx111f (x,f (x,0000【D1 tan1dx 【9.4】(20172)積分 x0ylncos12xx2x2 y2dy的值等于_【例9.5】積009【例9.6（2008年3） 設(shè)D (x,y)x2 y2 1，則(x2 y)dxdy D4（1,1（-形區(qū)域，D1 是D 在第一象限的部分(xy cos xsin y)dxdy等于）D（A）2cos4（1,1（-形區(qū)域，D1 是D 在第一象限的部分(xy cos xsin y)dxdy等于）D（A）2cosxsin （B）2（C）4(xycosxsin y2xydxdyDy xy1,x0D1y【解】 原式dy2 xyd00 y(y x

24、)y 2y2dy 211d0 3900【9.9（20172）已知平D (x, y)| x2 y2 2y，計算二I (x1)2dD【解】 I (x2 2x1)dxd D2xdxdy D0I (x 1)dxdy cos d22220Dsin cos 4220sin (1sin )d42208(31 531) 54 2 6sin cos 4220sin (1sin )d42208(31 531) 54 2 6 4 2 4【9.10（20052,3）x2y21dDDxy0 x1,0y1，將DD1D2兩部分【解】| x2 y2 1|d (1 x2 y2)D(x2 y2 1)d (1x2 y2)(x2 y

25、2 1)d (x2 y2 1)dD 2(1x2 y2)d (x2 y2 1)dDD1 (12)d(1x y )28001D11 d(x y (x y 1)1)d002131x dx 203|x2 y2 1|d 1D9.11（20142,3）設(shè)平D(xy)1x2 y2 4x0y 0 x2 y2x D x2 y2x2 y2yDx x Dx2 y2x2 y2xy1Dx x D 1x2 y22D122 2011 x2 y2x2 y2yDx x Dx2 y2x2 y2xy1Dx x D 1x2 y22D122 2011342dcos() 41xx2 y22d2 cosx 01D2020d cos 4d

26、2cos 022sin()d(cossin11x2 y2 )dxdy xD故x 4是圓D(xyx y2 1k 象限的部29.12（2013 2,3）kIk yx)dxdy (k 1,2,3,4則）（A）I1 （B）I2 （C）I3 （D）I4 第十無窮 級 數(shù)第一常數(shù)項級數(shù)內(nèi) 容 概 要設(shè)un 是一數(shù)列，則nu1u2 L un n稱為級數(shù)的部分和.若部分和數(shù)列sn有極限 s, 稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)sn i內(nèi) 容 概 要設(shè)un 是一數(shù)列，則nu1u2 L un n稱為級數(shù)的部分和.若部分和數(shù)列sn有極限 s, 稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)sn i nnn 如果極限lims 不存在，則稱級u 發(fā)散nn

27、1（2）aq (a nn111【解】（1）sn ln(1 )ln(1 )Lln(112nln2ln 3 L ln n2ln(23Lnn) ln(n2n由于limsn limln(n1) 則級數(shù)ln(1 )發(fā)散na(1 qnq q ,（2）s aaqaq2 L na1limsn1 q1limsnlimnan為奇當q1s aaaL1)n1a0，q1limsnlimnan為奇當q1s aaaL1)n1a0， n為偶數(shù)n 不存在，原級數(shù)發(fā)散.綜上所述，原級數(shù) nqn1）若級數(shù)un s則級數(shù)kunn2）若un 和vns, ，則(un vns n發(fā)散，則(un vnn【注】1）若和vn 都發(fā)散，則(un

28、vn2）若n5)(級數(shù)收斂的必要條件) 若級數(shù)un 收斂，則limun 0n【注】1）若 limun 0，則級數(shù)un n2）若 limun 0，則級數(shù)un un,un 0基本定理un收斂 Sn1)比較判別法：設(shè)un vn收斂 un 發(fā)散 vn 2)比較法極限形式：lim un l (0基本定理un收斂 Sn1)比較判別法：設(shè)un vn收斂 un 發(fā)散 vn 2)比較法極限形式：lim un l (0l 若0l ,則與vn 若l 0,則vn 收斂 發(fā)散 vn 若l ,則vn 發(fā)散 un un 收斂 vn np1p1.pnaqnaqq1q1 收斂u,則u3)比值法:若 4)若limn un ,則u

29、n 發(fā)散不一定2.(1)n1unun0萊不尼茲準則: 若(1un單調(diào)減(2) limun 0則(1)n1un 【注】un 單調(diào)limun 0是級數(shù)(1)n1un1錯級數(shù)收斂，但un n (1)n(1)n1 2unun 為任意則(1)n1un 【注】un 單調(diào)limun 0是級數(shù)(1)n1un1錯級數(shù)收斂，但un n (1)n(1)n1 2unun 為任意（1）若級數(shù)收斂，則必收斂，此時稱級數(shù)un n（2）若級數(shù)un 收斂，但發(fā)散，此時稱級數(shù)un n（1）絕對收斂的級數(shù)一定收斂,即|un |收斂 un nnun|un 2un|un 2條件收斂 和常 考 題 型 與 典型 例 題?？碱}型常數(shù)項級數(shù)

30、的斂散性判定)n311（B） n ln(1 n.n(1)n （C）.nlnn（A）若an an1則(1)n1a n 收斂； （B）若(1)n（A）若an an1則(1)n1a n 收斂； （B）若(1)n1an 收斂,則an an1nn（C）若anp1使limnpann（D）p1使limnpanann【例10.1.4（2009年1）設(shè)有兩個數(shù)列an,bn，若liman 0，則（A）當bnanbn 收斂. （B）當bn （C）當（D）當 n 2 2 收斂時a b 收斂發(fā)散時a b 發(fā)散nn n【例 10.1.5（2011 3）設(shè)un是數(shù)列，則下列命題正確的是)（A）若un 收斂，則(u2n1 u

31、2n) 收斂n【例 10.1.5（2011 3）設(shè)un是數(shù)列，則下列命題正確的是)（A）若un 收斂，則(u2n1 u2n) 收斂nn（B）若(u2n1 u2n) 收斂，則un 收斂nn（C）若un 收斂，則(u2n1 u2n) 收斂nn（D）若(u2n1 u2n) 收斂，則un 收斂nn第二冪 級內(nèi) 容 概 要冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域（一定義1形如 a axa x2 L a xn nnn或者 a (xa a(xx )L a (xx )n n00n0n(1)anxn x x0(x0 0處收斂，則當|x|x0 |anxn (2)anxnx x0處發(fā)散,則當|x|(1)anxn x x0

32、(x0 0處收斂，則當|x|x0 |anxn (2)anxnx x0處發(fā)散,則當|x|x0|anxn 2冪級數(shù)anxnnx0處收斂RxR時絕對收斂, R時發(fā)散2 2 R稱為冪級數(shù)anxn 的收斂半徑.開區(qū)間(RR稱為它的nx R時anxn n斂域 n13如果liman,則R 1定理4如果limn |a | ,則R n（二）冪級數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)1 nnx 的收斂半徑為Rb x 的收斂半徑為R ,n2nnR minR1R2（1）加法： n x b x (a b )xnnnx(R,nn（2）減法： x b x (a b )xn x(R,nnnnnn（3）乘法： x )b xnnnna b (a （2

33、）減法： x b x (a b )xn x(R,nnnnnn（3）乘法： x )b xnnnna b (a b ab )x(a b ab a b )x20 0 1 0 1 2 (a b aL ab )xn Lx(R,0 1 nn n nc xnn（4）除法nn b xnc xn) a xn 所確定 其中系數(shù)c （n0,1,2L）由nnnnnn) ) S(x) ax (a xn)xnnnnnnnn) xa x dxx nx S(x)dx anxndxnann00（三）函數(shù)的冪級數(shù)展開1f(x在區(qū)間(x0 Rx0 Rf (x) a (x n0n xx0f(x在區(qū)間(x0 Rx0 Rxx0f(x在區(qū)

34、間(x0 Rx0 R1 f(x在區(qū)間(x0 Rx0f(x在區(qū)間(x0 Rx0 Rxx0f(x在區(qū)間(x0 Rx0 R1 f(x在區(qū)間(x0 Rx0 Rxx0f (x) a (x n0nf(x在區(qū)間(x0 Rx0 Rf (n) (n f(xx x0 2 f (n)0 (xx0nf(xx x0 處的為f(n)x0 0處的泰勒級數(shù)f(x的nf (n)定理2 設(shè)f(x)在x x0 處任意階可導(dǎo),則 0 (x x0) 在(x0 R,x0 nf (x) lim Rn(x) 0f(n1)(n(x x0(n f (k)n)f (x) 0 (xx0) Rnkk11xx2L xn(1x1（2）e 1x L x(x

35、3x(1)n1 （3）sinxxL( x（2）e 1x L x(x3x(1)n1 （3）sinxxL( x(2n(1)n （4）cosx1 L( x(1)n1（5）ln(1x)x2(1 xn1x(1)x2 L(1)L(n1)xn (1x第一步 f(xx0f (n(x0f (xx0f (n)f (x) (xx00nf(n1)(n第二步 考查limRn(x) (x x00(n nn式（ex x); 有了一些基本展開式后，主要用間接展開常 考 題 型 與 典 型 例 題?？碱}型 求收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂 將函數(shù)展開為冪級 求冪級數(shù)（或數(shù)項級數(shù)）的和一求收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域en 10.2.1（

36、2009年3）冪級數(shù)nx 的收斂半徑n1 e x2n1R .nnn1 【 313 nn收斂性2 求冪級數(shù)（或數(shù)項級數(shù)）的和一求收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域en 10.2.1（2009年3）冪級數(shù)nx 的收斂半徑n1 e x2n1R .nnn1 【 313 nn收斂性2n1 33n(2)n 13 【解】 n 3n1 (2)n1(n 2n131 3(n lim 1lim 133n n 3n (2)n 23nn 111nnx33n 1n 1 x3 ，3n (2)n 3n n1n 1 x3 ，3n (2)n 3n n n冪級數(shù)an(x3)n的收斂域為n【(1,5【例 10.2.5（2015 年 1）若級

37、數(shù)an 條件收斂，則 x 3 x 3nan(x1)n 【解】由級數(shù)an條件收斂可知冪級數(shù)an(x1)nx2x2an(x1)n 的收斂區(qū)間的端點，故其收斂半徑為1.由冪級數(shù)的性質(zhì)可知冪級數(shù)nan(x 1)n 的收斂半徑也為31 1,31 1.則x 3為收斂點，x3為發(fā)散點，故應(yīng)選x10.2.6（20061）f(x) 2 x x 1 1 2 x，【解】 2 x 3 (1)n xnn 1 x n2 1 2 2,x2n1xx11 2 x2 x 31 1 (1)n x 2n1 3n0 110.2.7（20073）f (1)n xnn 1 x n2 1 2 2,x2n1xx11 2 x2 x 31 1 (

38、1)n x 2n1 3n0 110.2.7（20073）f(xx2 3x區(qū)間 1 1 x2 3x5 xx，【解】 x111113x4 (x1)3 x(2,4),1 n0313x11111x1 ,x(x1)2n0 2122 (1)nx2 3x (xx5n0 3n2n10.2.8】f(x) ln(x2 xx 1處展開為冪級數(shù)(1 1 )(x1)n, x11【ln2nn【例10.2.9】將函數(shù)f(x)sinx在x 4(1 1 )(x1)n, x11【ln2nn【例10.2.9】將函數(shù)f(x)sinx在x 42【解】f (x)(x) sin(x44244(1)n1(x(1)n(x 2 x(2n4n【n

39、, x 14n三級數(shù)求和10.2.11】求冪級數(shù)nxnnx【】(110.2.12（2017 年 1）冪級數(shù) (1,1) 內(nèi)的 和函數(shù)S(x) x1(1S(x) (1)n1(1)n1xn)1 x【例 10.2.13（2014 年 3）求冪級數(shù)(n 1)(n 3)xn 的收斂域nx1(1S(x) (1)n1(1)n1xn)1 x【例 10.2.13（2014 年 3）求冪級數(shù)(n 1)(n 3)xn 的收斂域nan1, R1,x1時原級數(shù)顯然發(fā)散，則其收斂域為(n 1)(n3)xn (n2)(n(n nn2 n1 2xx 11 1 1 (x1)11 x1x 3 xn(n1【1,1;11)ln(1

40、x)x【注】常用結(jié)論：ln(1nn2n10.2.15（2010年1）求冪級數(shù)n2n1【解】 由于n 2n 2n x 1時，原級數(shù)為n2n10.2.15（2010年1）求冪級數(shù)n2n1【解】 由于n 2n 2n x 1時，原級數(shù)為n收斂域為2nS(x x2n11 x1)，n 1 1 xS(x) (1)n1x2n2 .2n1xS(0)0S(x) dt arctanx120n xS(x) xarctanx, x2n第節(jié)內(nèi) 容 概 要f(x是周期為2 的周期函數(shù)，且在, n0,1,2af (x)cosn n 1,2bf (x)sinnf(x三a(a cosnxb sin0nn2nf(x22f (x)

41、(an cosnxbn sin a(a cosnxb sin0nn2nf(x22f (x) (an cosnxbn sin f(x的傅里葉級數(shù)在,1) S(x) f (x) xf (xf(x) f(x2) S(x) xf (x,2f()f(x 3) S(x) ,2（三）周期為21) , 上展開 n0,1,2af (x)cosn n 1,2bf (x)sinn2),（1）f (xan n0,1,22 b n 1,2f (x)sinn（2）f (x n0,1,2af (x)cos nbn3)在0, n 1,2an n0,1,22 b n 1,2f (x)sinn2 a n0,1,2f (x)cos

42、nbn（四）周期為2ln 1,2an n0,1,22 b n 1,2f (x)sinn2 a n0,1,2f (x)cosnbn（四）周期為2ln 1,2f (x)cos nx lllln0,1,2anlnxf (x)n 1,2bnl2) ll(1) f (xan n0,1,2f (x) sin2lln 1,2bn0(2) f (xnx2lln0,1,2f (x) cos0bn n 1,23)在0,lan n0,1,2nx2lln 1,2f (x)sin0f (x) cos2lln0,1,20n 1,2bn 常 考 題 型 與 典 型 例 題常考題型1.狄利克雷收斂定理2.將函數(shù)展開為傅里葉級

43、數(shù)；一.狄利克雷收斂定理1 x0 xf (x) 3x 32 則f(x)的傅里葉（Fourier）級數(shù)在常 考 題 型 與 典 型 例 題常考題型1.狄利克雷收斂定理2.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)；一.狄利克雷收斂定理1 x0 xf (x) 3x 32 則f(x)的傅里葉（Fourier）級數(shù)在x1處收斂于1）f(x x2,0 x1S(x)bnsinnx, xn1xdx, nb f (x)sinn01則S 等于212141412（A）二.將函數(shù)展開為傅葉級數(shù)10.3.3（19931）f(xxx2 ( xa(a cosnxb sin0nn2n里2 3則其中系數(shù).的值10.3.4（19911）f(x2

44、1數(shù)，并由此求級數(shù)2 的和n1 【解】 f(x2x1a0 (2 x)dx 02(cosnn211xdx xcosa (2 x)cosxdx n,n00bn0, n因所給函數(shù)在區(qū)間1,1 上滿足收斂定理的2 3則其中系數(shù).的值10.3.4（19911）f(x2 1數(shù)，并由此求級數(shù)2 的和n1 【解】 f(x2x1a0 (2 x)dx 02(cosnn211xdx xcosa (2 x)cosxdx n,n00bn0, n因所給函數(shù)在區(qū)間1,1 上滿足收斂定理的條件，2(cosnn2 4 cos(2n55nx 2 2xcos.(2n 22n5411n當x0時，2(2n(2n 222n1111nnn

45、n又，(2n (2n n22222n 1 2.n故(2n 22n10.3.5（19951）f(xx10 x2)4的余弦級數(shù)22【解】 a0 (x1)dx2022 222a (x1)dx(x1)dn222000n n 2k 8 4 ( 2(kn(2k 1)22cos(2n1)x,f (x) xcos(2n1)x,f (x) x(2n222第十向量代數(shù)與空多元微分學(xué)在幾第一向 量 代內(nèi) 容 概 要2) 代數(shù)表示: ab axbx ayby azbz 交換律: ab b分配律: abc) aba交換律: ab b分配律: abc) aba4)i) 求模: |a aaii) 求夾角: cos |a |

46、biii) 判定兩向量垂直: a b ab a b 是一向量.模: |ab|a|b|sin .方向: ijk代數(shù)表示: ab .ab= (babcabac. 求同時垂直于a和b的向量: ab求以a和bS|ab|. iii)判定兩向量平行: a / b a b 0.3.混合積: (abc) (ab1)(abc) .2)(abc) (bca) (cab)i) 輪換對稱性:ii) 交換變號: (abc) (acb3)i) V平行六面=| (abc|ii)判定三向量共面: abc共面 abc常 考 題 型 與 典 型 例 題常考題型向量的運算11.1.1】(1995設(shè)(abc2,則(abbcca.【解

47、】 (a b(bc)(c a3)i) V平行六面=| (abc|ii)判定三向量共面: abc共面 abc常 考 題 型 與 典 型 例 題常考題型向量的運算11.1.1】(1995設(shè)(abc2,則(abbcca.【解】 (a b(bc)(c abacbbbc(c(ab)c(ab)a(ac)c(ac)a(bc)c(bc) (ab)c(bc)2 (ab)c 第二節(jié)空間平面與直線內(nèi) 容 概 要1） Ax ByCz D n A,B,點法式: A(xx0 By y0C(z z0 0 x y z 2.A1xB1yC1zD1 x B yC z D 222x x0 y y0 z lmn3)x x0 lt,

48、y y0 mt, z z0 點(x0y0z0Ax ByCy D 0d Ax0 By0 Cz0 A2 B點(x0y0z0Ax ByCy D 0d Ax0 By0 Cz0 A2 B2 Cxx1 y y1 zz1點(x y z lmnd(x1x0,y1y0,z1z0)(l,m, l2 m2 常 考 題 型 與 典 型 例 題?？碱}型建立平面和直線方程x xyz11.2.1（19871）與兩直線y 1t121z 2x y z 0 .【注】 所求平面的法線向量nn【例 11.2.2（1990 年）M (1,2,1) 且）與直x t y 3t z t x3y z40 【例 11.2.3（1991 年）已知

49、兩條直線的方程是:x1y2 z3:x2 y1zLL12x【例 11.2.3（1991 年）已知兩條直線的方程是:x1y2 z3:x2 y1zLL12x3y z20102則過L1 且平行于L2 的平面方程是 .【注】 x y yxz年）設(shè)有直線 :L L 【例 11.2.422y z 11的夾角為6432【注】 cos s s /|s |s | 1， 23【例 11.2.5（1995 年）設(shè)有直L:x3y 2z 12x y10z 3 及平面4x2yz20L（A）（B）在 （D）與 斜交11.2.6（1996）設(shè)一平面經(jīng)過原點及點(6,3,2)，且與平面4xy2z82x2y3z 0【注】 所求平面

50、的法線向量n4,1,2n6,3,2n2x2y3z 0【注】 所求平面的法線向量n4,1,2n6,3,2n 【 2 第節(jié)曲面與空間曲線內(nèi) 容 概 要F(x,y,z) z f(x, 2.x 1)參數(shù)式:y z F(x, y,z)G(x,y,z)f(y,z)L 是 yoz 平面上一條曲線，其方程是xf(y, x2 z2)（2）L 繞z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程f( x2 y2,z)三f(x,y)（1）準線為z軸的柱面方程為 f(xy0zF(x,y,z) （2）準線為和G(x,y,z)G(x, yf(x,y)（1）準線為z軸的柱面方程為 f(xy0zF(x,y,z) （2）準線為和G(x,y,z)G(x,

51、 y,z) H(x,y) z2特別的：圓錐面 x y z x2 y2 z2 R2 1 z；特別的：旋轉(zhuǎn)拋物面 z x2 y2z F(x, y,z) 曲線在G(x,y,z)H(x, y) xoy面上的投影曲線方程為.z常 考 題 型 與 典 型 例 題?？碱}型建立柱面和旋轉(zhuǎn)面方程x2 y2 2z2 11.3.1】求以曲線z x2 【解】 z x2 y2x2 y2 2z2 1x2 y2 2(【解】 z x2 y2x2 y2 2z2 1x2 y2 2(x2 y22 1x2 y2 1為所要求的柱面22x2 y2 1) z z x1）x2x2 y2 z2 y2(x2z2 y2 12）y軸旋轉(zhuǎn)面方程： x

52、2 z2 y2x2 z2 y4zz y2 x2 y2 z2 a2(a 11.3.3】求曲Lx2 y2 【解】xoyx2 y2 axxozz2 axa2,(0 xa第節(jié)多元微分在幾何上的應(yīng)用內(nèi) 容 概 要1)F(x, yz) 法向量: n fxfy,1)2)z f (xx 曲線y y(t) x(t y(t z(t 000z 四F(x,y,z) 切向量: n1,G(x,y,z) n1FxFyF(x,y,z) 切向量: n1,G(x,y,z) n1FxFyFzn2 Gx,Gy,Gz常 考 題 型 與 典 型 例 題常考題型建立曲面的切平面和法線及曲線的切線和法平面的方 （A）x y z （B）x y

53、 z （C）x2y z （D）x y z 3x2 2y2 【例 11.4.2（1993 年）y 旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點z (0, 3, 法 向 量 為 處 的 指 向 外 側(cè) 【5, 511.4.3（2003）z x2 y22x4yz 0【2x4y z 5 ,y 1cost,z 4s在點t 22x1 y1 z2 2 12法平面方程為 x y2z x1 y1 z2 2 12法平面方程為 x y2z 4 02x2 y2 z2 11.4.5】求曲線x y z xyz.03法平面方程為 x z 0第十二章 多元積分學(xué)及其第一節(jié)積內(nèi) 容 概 要三重積分nf(x,y,z)dvlimf(k,k,k)vk

54、1d0 k2.性質(zhì) 1) 的直線與 的投影域為 Dxy(如右圖)，z (x,y2f (x,y,z)dv1) 的直線與 的投影域為 Dxy(如右圖)，z (x,y2f (x,y,z)dvf(x,y,z1(x,y設(shè)空間區(qū)域 (x,y,z)(x,y)D ,c z c ，2f (x,y,z)dv dzf(x,y,c12)x cos0 02 z y sinz 體積微元 dv dvr23)x rsincos0 r 0 02y rsinsinz r體積微元 dvf(x,y,z)dvf (rsincos,rsinsin,rcos)r2若積分域 關(guān)于 xoy 坐標面對稱, f(xyz) 關(guān)于 z 有奇偶性, 則

55、f(xyz)關(guān)若積分域 關(guān)于 xoy 坐標面對稱, f(xyz) 關(guān)于 z 有奇偶性, 則f(xyz)關(guān)于z是偶函數(shù)f(x,y,z)dv Dz0f(xyz)關(guān)于z是奇函數(shù) 5)常 考 題 型與 典 型 例 題常考題型三重積分計算 y z R ,z y z R ,x0,y 0,z1 :2 :及則（A）xdv 4xd（B）ydv4yd（C）zdv 4zd（D）xyzdv 4xyzd12.1.2（2009）設(shè)xyz|x2 y2 z2 1z2 dxdydz 412.1.3（2015）設(shè)x yz1(x2y3z)dxdydz xdxdydz zdxdydz, 2ydxdydz (x2y3z)dxdydz

56、1x 1001x(x2y3z)dxdydz xdxdydz zdxdydz, 2ydxdydz (x2y3z)dxdydz 1x 1001x y) 200141x) dx 30(x2y3z)dxdydz 1011z z) 220412.1.4（1989年）(xzdv，其中zx2 與z 1x2 y2 所圍成的區(qū)域【解】 由yOzxxxdv4 121rsindr sin zdv 22420000所以 (x zdv 8第二內(nèi) 容 概 要(一)對弧長的線積分（第一類線積分nL f(x,y)dslimf(i,i0 i f (x, y)ds f (x,L(L(nL f(x,y)dslimf(i,i0 i

57、f (x, y)ds f (x,L(L(x ， t （1)L y f (x, y)ds f (x(t), x2(t) y2(t)dt L（2)L: y y(x) a xbbf (x, y)ds f (x, y(x) 1 y2La（3)L() f (x, y)ds f(cos,sin2 2L2f (x, 當fx, y)關(guān)于x為偶函數(shù)當fx, y)關(guān)于x為奇函數(shù)f (x, y)ds LLf (x, 當f x, y)關(guān)于y為偶函數(shù)當f x, y)關(guān)于y為奇函數(shù)f (x, y)ds Ly x對稱,則L f (x, y)ds L f yL f (x)ds L f (對空間線積分L f (xyz)ds若曲

58、線L的方程為：x x(t),y y(t),z (tf (x,y,z)ds f (x(t),y(t),x2(t) y2(t) z2則L（二）對坐標的線積分(第二類線積分)nLP(x,y)dxQ(x,y)dylimP(i,i)xiQ(i,inLP(x,y)dxQ(x,y)dylimP(i,i)xiQ(i,i)yi10 i PdxQdy PdxL(L(L:x，t，其起點和終點分別對應(yīng)參數(shù)ty 1)直接法 和t P(xy),Q(xyLPdxQdyP(x(t), y(t)x (t) Q(x(t), y(t)y LPPdxQdy x y D LL D取正向的邊界曲線定理 P(xy，Q(xyD線積分L Pd

59、x Qdy 與路徑無關(guān)；3）P Q(x,y)4）P(x,y)dxQ(x,y)dy dF(x,a)(x2 ,y2 xPdxQdy P(x, y )dx Q(x2, 1(x ,y xy1 11(x2 ,y2 PdxQ(x2 ,y2 xPdxQdy P(x, y )dx Q(x2, 1(x ,y xy1 11(x2 ,y2 PdxQdy Q(x , y)dy Q(x, y2或1(x ,y yx1 11b)PdxQdy dF(xyF(xyPdxQdy(x2,y2PdxQdy F(x2,y2)F(x1,y(x ,y 1 4.兩類線積分的聯(lián)系 PdxQdy (Pcos Qcos)dsLLLxx(tyy(t

60、z z(t), t點和終點分別對應(yīng)參數(shù)t和t P,QRLLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy R(x,y,Px(t),y(t),z(t)x (t)Qx(t),y(t),z(t)y(t) Rx(t), y(t),與P,QR在LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy R(x,y,cos QRP dydz z x dzdx x y 常 考 題 型 與 典 型 例 題?？碱}型曲線積分計算一第一類線積分的計算1x2 L(x2 y2)ds 一第一類線積分的計算1x2 L(x2 y2)ds 【 xdsLL yds 【2【例12.2.2（1998年）設(shè)L 為橢 1，其周長記為a ，L(2xy3x2 4