2015年北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2015年北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案2015年北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案2015年北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案2015年北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案:未經(jīng)允許 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載 25年北京市高考數(shù)學(xué)試卷文科一、選取題每題5分,共40分15分21北京若集合=x|52,B=|3x3,則AB= 未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載 Ax|32Bx|x2.|x3D.|50的一個(gè)焦點(diǎn)，則b= .未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載 135分205北京如此圖,ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D，Px,y為D中任意一點(diǎn),則z=2xy的最大值為 .未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載145分201北京高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試,某班37位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)，數(shù)學(xué)成績(jī)與總成

2、績(jī)?cè)谌昙?jí)的排名情況如以以下圖，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載從這次考試成績(jī)看，在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是 ;在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)系兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是 .三、解答題共80分151分5北京已經(jīng)知道函數(shù)fx=sinx2sn21求fx的最小正周期;2求x在區(qū)間0,上的最小值 613分01北京已經(jīng)知道等差數(shù)列an滿足a2=10,a4a3=2求an的通項(xiàng)公式;2設(shè)等比數(shù)列b滿足b=a,b3=a7,問(wèn)：與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等？ .3分21北京某超市隨機(jī)選取00位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“表示購(gòu)買，“

3、表示未購(gòu)買 未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載甲乙丙丁00217230085981估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率；2估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率;3如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大? 814分2015北京如此圖,在三棱錐VAB中,平面VAB平面AB，VAB為等邊三角形，CB且CB=,O，分別為AB,VA的中點(diǎn)未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載1求證：VB平面MOC;求證:平面MOC平面VAB3求三棱錐VBC的體積 19.3分2015北京設(shè)函數(shù)x=l，k1求fx的單調(diào)區(qū)間和極值；2證明:若fx存在零點(diǎn),則f在區(qū)間1，上僅有一個(gè)零點(diǎn)2.14分205北京已經(jīng)知道橢圓：x+3y2=

4、3，過(guò)點(diǎn)D1,0且不過(guò)點(diǎn)E2,的直線與橢圓C交于A,兩點(diǎn)，直線E與直線交于點(diǎn)M未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載1求橢圓C的離心率；2若A垂直于x軸,求直線BM的斜率；3試判斷直線與直線DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷文科參考答案:與試題解析 一、選取題每題分,共分.5分215北京若集合=x5x2，Bx|3，則AB= 未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載A.x|3xBx|52C.3x3Dx|5x3考試點(diǎn)：交集及其運(yùn)算.專題：集合.分析:直接利用集合的交集的運(yùn)算法則求解即可解答:解：集合A=x|5x2，B=x33，則AB=|x.故選：A點(diǎn)評(píng)：此題考查集合的交集的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力. 2.5分05北京圓心

5、為1,1且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是 A.x12+12=1.Bx+12+y+1C.x+y+12=2x12+y12=2考試點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程專題:計(jì)算題；直線與圓.分析:利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程.解答：解：由題意知圓半徑r,圓的方程為x12y2=故選:D點(diǎn)評(píng):此題考查圓的方程的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的方程的求法,是基礎(chǔ)題. 3分2015北京以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是 y=x2snxB.y=x2osxCl|Dy=2x考試點(diǎn):函數(shù)奇偶性的判斷.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：首先從定義域上排除選項(xiàng)C，然后在其他選項(xiàng)中判斷與x的函數(shù)值關(guān)系,相等的就是偶函數(shù)解答:解:對(duì)于A,x2sinx=

6、x2sin；是奇函數(shù)；對(duì)于B，x2csx=xcosx；是偶函數(shù);對(duì)于C,定義域?yàn)?+,是非奇非偶的函數(shù);對(duì)于D，定義域?yàn)镽,但是2x=x2，2x2;是非奇非偶的函數(shù)；故選B點(diǎn)評(píng):此題考查了函數(shù)奇偶性的判斷；首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;如果不對(duì)稱,函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)；如果對(duì)稱，再判斷fx與x 關(guān)系，相等是偶函數(shù)，相反是奇函數(shù)45分2015北京某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)下表,采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取的樣本中，青年教師有20人,則該樣本的老年教師人數(shù)為 未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載類別人數(shù)老年教師900中年教師青年教師600合計(jì)4300 A90B.010D.300考試點(diǎn):分層抽

7、樣方法.專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì).分析:由題意,老年和青年教師的人數(shù)比為00：6009:1,即可得出結(jié)論解答：解：由題意,老年和青年教師的人數(shù)比為9:16009:6,因?yàn)榍嗄杲處熡?人,所以老年教師有10人,故選:C點(diǎn)評(píng)：此題考查分層抽樣,考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ) 55分205北京執(zhí)行如以以下圖的程序框圖,輸出的k值為 A.3B.4C.5D.考試點(diǎn)：程序框圖.專題:圖表型；算法和程序框圖.分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，k的值，當(dāng)a=時(shí)滿足條件a,退出循環(huán),輸出的值為4解答:解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得k=0,=3，q=,k=1不滿足條件a,a=,k2不滿足條件a,a=,k

8、=3不滿足條件a，a，k=4滿足條件a,退出循環(huán)，輸出的值為.故選：B點(diǎn)評(píng):此題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,屬于基礎(chǔ)題5分2015北京設(shè),是非零向量,“|是“的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件考試點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算專題:平面向量及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯.分析:由便可得到夾角為0，從而得到,而并不能得到夾角為0，從而得不到，這樣根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可找出正確選項(xiàng)解答：解：1；時(shí),os1；;“是“的充分條件;2時(shí)，的夾角為0或；,或;即得不到;“不是“的必要條件;總上可得“是“的充分不必要條件.故選A點(diǎn)

9、評(píng):考查充分條件，必要條件，及充分不必要條件的概念,以及判斷方法與過(guò)程,數(shù)量積的計(jì)算公式，向量共線的定義,向量夾角的定義. 5分201北京某四棱錐的三視圖如以以下圖,該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為 ABC.D考試點(diǎn)：由三視圖求面積、體積專題：空間位置關(guān)系與距離.分析：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,結(jié)合直觀圖求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，可得答案:：:解答:解：由三視圖知:幾何體是四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，底面為正方形如此圖：其中A平面ACD,底面D為正方形A1，AB=1，AD=1,PB=,PC=P=該幾何體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為:故選:C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了由三視圖求幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)問(wèn)題，根據(jù)

10、三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答此題的關(guān)鍵 8.5分015北京某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況加油時(shí)間加油量升加油時(shí)的累計(jì)里程千米2015年5月1日123500215年5月5日83560注:“累計(jì)里程指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，在這段時(shí)間內(nèi)，該車每1千米平均耗油量為 未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載 A6升.8升C.10升2升考試點(diǎn):一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由表格信息，得到該車加了升的汽油,跑了600千米，由此得到該車每00千米平均耗油量解答:解：由表格信息,得到該車加了48升的汽油，跑了600千米,所以該車每10千米平均耗油量48=8；故選:B點(diǎn)

11、評(píng):此題考查了學(xué)生對(duì)表格的理解以及對(duì)數(shù)據(jù)信息的處理能力.二、填空題9.5分2015北京復(fù)數(shù)i1+i的實(shí)部為 1 .考試點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念.專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).分析：直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,求解即可解答：解:復(fù)數(shù)1+1+i,所求復(fù)數(shù)的實(shí)部為：1故答案:為：1.點(diǎn)評(píng):此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念,考查計(jì)算能力 105分015北京3,，og25三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是lg25 .考試點(diǎn)：不等式比較大小專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得031，12,lo25lo24=2,即可得到最大數(shù)解答：解:由于023，12，loglog4=2，則三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為l25

12、.故答案:：:為：og25點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)的大小比較,主要考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題115分201北京在BC中，=3，b=，=,則B=.考試點(diǎn):正弦定理.專題:解三角形分析:由正弦定理可得siB，再由三角形的邊角關(guān)系,即可得到角B解答：解：由正弦定理可得,，即有iB=，由ba,則B0的一個(gè)焦點(diǎn),則= .未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載考試點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：求得雙曲線x2=10的焦點(diǎn)為，0,可得b的方程,即可得到b的值解答：解：雙曲線x2=1b0的焦點(diǎn)為，0，,0，由題意可得2，解得b=.故答案:：為：.點(diǎn)評(píng):此題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要考查

13、雙曲線的焦點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題 15分21北京如此圖,AC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D，x,y為D中任意一點(diǎn)，則=+3y的最大值為 7 未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載考試點(diǎn):簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.專題：不等式的解法及應(yīng)用.分析：利用線性規(guī)劃的知識(shí),通過(guò)平移即可求z的最大值解答:解：由=2x+3y，得=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線=經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線y=的截距最大,此時(shí)z最大.即A2，1此時(shí)z的最大值為z=231=7,故答案:：:為：7點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法. 4.分20北京高三年級(jí)2位學(xué)生參加期末考試,某班7位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī),數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)的排名情況

14、如以以下圖，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載從這次考試成績(jī)看，在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是乙 ;在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)系兩個(gè)科目中,丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是 數(shù)學(xué)考試點(diǎn)：兩個(gè)變量的線性相關(guān).專題:概率與統(tǒng)計(jì)分析：根據(jù)散點(diǎn)圖分析三位同學(xué)總成績(jī)名次，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)名次解答:解：由高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)，數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)的排名情況的散點(diǎn)圖可知在甲、乙兩人中,其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是 乙;在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中,丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是數(shù)學(xué);故答案:：為:乙;數(shù)學(xué)點(diǎn)評(píng):此題考查了對(duì)散點(diǎn)圖的認(rèn)識(shí)；屬于基礎(chǔ)題

15、. 三、解答題共8分1513分015北京已經(jīng)知道函數(shù)fxinsn2求的最小正周期；2求fx在區(qū)間0，上的最小值.考試點(diǎn):三角函數(shù)的周期性及其求法;兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的最值.專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：1由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得fx2six+,由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解；2由x，可求范圍x+，,即可求得fx的取值范圍，即可得解解答：解：1sinsin2=sin2=x+cosx=2ixfx的最小正周期T=2；2x,x+，nx+0,1，即有：fx=2nx+,2，可解得x在區(qū)間,上的最小值為：點(diǎn)評(píng):此題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角

16、函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基本知識(shí)的考查. 1.13分2015北京已經(jīng)知道等差數(shù)列an滿足a1210，31求an的通項(xiàng)公式；2設(shè)等比數(shù)列n滿足b2=a3,b3=a,問(wèn):b與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等?考試點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)專題：計(jì)算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列分析:由aa,可求公差d，然后由12=10，可求a，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求II由=a3=,b=a16，可求等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求6,結(jié)合I可求解答：解:I設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.a4a32,所以2a1a21，所以a1+d=1=4,an=42n1=2n+2n=1,，I設(shè)等比數(shù)列bn的公比為，b2=a3=,b3=7=，q2，1

17、4=128，而128=2+2n63b與數(shù)列an中的第6項(xiàng)相等點(diǎn)評(píng):此題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于對(duì)基本公式應(yīng)用的考查，試題比較容易.17分2015北京某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“表示購(gòu)買,“表示未購(gòu)買未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載甲乙丙丁101700085 98估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率；2估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買種商品的概率;3如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?考試點(diǎn):相互獨(dú)立事件的概率乘法公式專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：1從統(tǒng)計(jì)表可得,在這100名顧客中，同時(shí)購(gòu)買乙和

18、丙的有200人，從而求得顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率.2根據(jù)在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的有30人,求得顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率.3在這000名顧客中,求出同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率、同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率、同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率，從而得出結(jié)論.解答:解:從統(tǒng)計(jì)表可得,在這1000名顧客中,同時(shí)購(gòu)買乙和丙的有00人,故顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率為=0.2在這00名顧客中，在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的有10=300人,故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買種商品的概率為=.3.在這1名顧客中，同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率為0.2，同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率為=6,同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率為=0

19、，故同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率最大點(diǎn)評(píng):此題主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 1814分2015北京如此圖，在三棱錐B中,平面VAB平面AB，VAB為等邊三角形,ACB且=B=,M分別為A,VA的中點(diǎn).未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載求證:VB平面MO;求證：平面OC平面VAB3求三棱錐VBC的體積.考試點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定.專題：綜合題;空間位置關(guān)系與距離.分析：1利用三角形的中位線得出OV,利用線面平行的判定定理證明VB平面MC；2證明:OC平面VAB，即可證明平面MC平面VAB3利用等體積法求三棱錐VABC的體積解答：1證明:O，

20、分別為，的中點(diǎn)，MB,VB平面MOC,平面C,V平面MOC；2AC=BC,O為AB的中點(diǎn),OCAB,平面VAB平面ABC,OC平面BC,OC平面VA，OC平面MOC,平面MC平面VAB3在等腰直角三角形A中,ACC=，A=,OC=1，SVAB=，C平面VA,VCVABSVB=,VVBC=VB=點(diǎn)評(píng):此題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定,考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行、平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵. 1分201北京設(shè)函數(shù)x=nx，0.1求x的單調(diào)區(qū)間和極值;證明:若fx存在零點(diǎn)，則fx在區(qū)間1，上僅有一個(gè)零點(diǎn)考試點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析:1利用f0或f0求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值;利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極值求出最值,利用最值討論存在零點(diǎn)的情況解答:解:由x=x由x=0解得x=與f在區(qū)間0，+上的情況如下:X , f fx所以,fx的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為0，；fx在x=處的極小值為f=2證明:由1知，fx在區(qū)間0，+上的最小值為=.因?yàn)閒x存在零點(diǎn)，所以，從而ke當(dāng)k=e時(shí),fx在區(qū)間1,上單調(diào)遞減,且f=所以=是fx在區(qū)間1,上唯一零點(diǎn).當(dāng)ke時(shí)，在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，且,所以x在區(qū)間，上僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，若fx存在零點(diǎn)，