石墨烯電子的能帶和狄拉克方程

1、石墨烯電子能帶之?dāng)?shù)理演繹2022 年2 月20 日為苦研物理學(xué)理論的探路者供給數(shù)理根底的參考 北京東之星應(yīng)用物理爭辯所伍 勇 ， 賀 寧計算機軟件工程師石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢YaYa10Xa2kyb1KkxK ”b2圖1晶格原胞與基矢圖2布里淵區(qū)與倒格子基矢1 中a3 1 a(3,3,0) 3a(i j)12221a3 1 a(3,3,0) 3a(i j)2222這里a =1.42A 是C-C 最近鄰原子間距，即正六邊形單胞的邊長晶格常數(shù)。1可計算出倒格子基矢2：2413 b (1,3,0) (i j)13a3a2222413 b(1,3,0) (i j)23a3a222 第一布里淵區(qū)的

2、兩個狄拉克(Dirac)K K” 的坐標(biāo)是：K K”213,0)2 23 i 9aj33a13,0) 2 23 i 9aj下面能帶計算說明只有第一布里淵區(qū)的六個頂點在費米面上Dirac K ( K ”)點44H (aa bb )t (a h.c)2pziiiiijii,j上式還可表為矩陣形式：a 0ta (ab i (ab)j 2pziiib iii,jit0 bjta (ab) j ii,jitbijjpz模型不考慮電子自旋，表示只對最近鄰格點的電子躍遷求和， 2是單電子2pz 軌道能量pzaa1RRj1a -R1Rij1BRR iaRj2iaARj2j3R2j3rrrABBA2圖3.參考原

3、子R的三個最近鄰RiR和Rj2j3石墨晶格是由兩類幾何環(huán)境彼此不等價的碳原子A，B 構(gòu)成，任意選定一個格點位矢是R 的Ai原子為參考原子，圍繞它的是三個最近鄰B 類原子R,R和R，如圖3.j1j2j3a biR Ri的電子的產(chǎn)生消滅算符，4中的對算符aib 表示的物理過程描述被b Rjj處消滅一個電子后又在Ri由a 產(chǎn)生一i個電子，此過程等同于電子由Rj1考慮電子算符的傅里葉變換:1Ri，躍遷能t =2.8eV。eikeikR N5aN51ik1NbNjk eikRj k這里N A，B 兩個不等價子晶格之間，A，B 兩原子相對位矢(3)：6)rrra a- 6)ABBA 12i R R Rij

4、1j2將5代入4，將哈密頓量傅里葉開放，先考慮躍遷項-t (ab h.c)iji,jt (a bii,jabij1abih.c)t(1ei( 1 e ” 1 e ”hc)Nik kkNk,k”ik Rikik Riik a1k”Nk,k”ik Rikik Riik a2k”利用公式：1 ei(k k ”)RiNik,k”哈密頓躍遷項化為：-t1eiei ck a1k a2(7)kkk類似計算哈密頓的原子位能項，可得(aa bb )2pziiii(8)(kk )kk(8(4)得到動量表象的緊束縛模型二次量子化哈密頓是H ( )-t1e e c(9)2pzkkkkkkkk求解薛定諤方程和能量本征值

5、2 2s，2p2p軌道通過sp 2軌道雜化形成共面 鍵，x ，y，而2pz電子形成垂直于 共價平面之上的離域大鍵。象 鋪墊的剛性平面之上自由流淌的依據(jù)電子薛定諤定態(tài)方程H(k) (k) E(k) (k)(10)石墨烯一個原胞內(nèi)包含兩個不等價原子A，B，其 2Pz 電子態(tài)基矢分別選取為： (k) 0 1k (k) 02k這里 0是粒子真空態(tài)。9表達的緊束縛哈密頓H(k)可以寫為矩陣形式：HH 0 00 0 1112 kkk(11)HH2122 0b kk00b Hbkk0 設(shè)系統(tǒng)的電子態(tài)矢量波函數(shù)為：(k) C (k) C (k)1122代入薛定諤定態(tài)方程10有(H E)(C C)0(12)11

6、22由矩陣表達式11及方程 (12有非平凡解的條件得到久期方程如下：HEH1112 0HHE(13)2122下面先計算哈密頓矩陣1的矩陣元，將代入1，H 0H 0 0 b 0 0b 0 )12k2pzk k”kkk”k-t(1 e eik ”a2 ) 0 b 0 k-t(1-t(1ik e k”k1 eik ”a2 ) 0 kkb k” 0k”k -tkik”a1 eik”a2 )kk” -t(1 eika1 eika2 )同樣計算方法可得HH11，2pz H-t(1eika1 eika2 )21將以上結(jié)果代入13得： E ika1 eika2 )0(14)-t(1 eika1 eika2 )

7、 E2pz對應(yīng)石墨烯是抱負(fù)構(gòu)造的狀況，可以選取原子軌道能級 參考點。開放14，解得石墨烯的能帶：0 作為 E(k的 eika2 )(1eika1eika2 )t23 2cos(k a1) 2cos(k a2) 2cosk (a1a )2其中3a3a3a3a3ak a (k ,k )(,)kk1xy222x2y3a3ak a2kk2x2yk (a a ) 3ak12yE(k)經(jīng)過初等三角函數(shù)和差運算后，得到石墨烯能帶，即電子的色散關(guān)系:332cos(3k a)4cos(3k a)cos(3k a)yxy22E (k ,k ) txy作者將15嘗試用Mathematica 4 所示，-號對應(yīng)較低

8、軌道能譜，+號對應(yīng)較高的 反鍵軌道能譜.。2Density of states (DOS,5 所見，EF 以下的價帶EF 以上導(dǎo)帶 空空蕩蕩，視為空穴占據(jù)，近空帶，導(dǎo)帶與價帶是連通的，在狄拉克點四周DOS 接近零。對于零溫，由15描述的能帶， 帶與 E=EF=0 完全對稱，二者在布里淵區(qū)高度對稱的六個K 點相交，費米面也剛好穿過，或說費米面在這里退縮為共面的六個點，位于價帶導(dǎo)帶之間，成為石墨烯導(dǎo)帶和價帶的對稱面，所以石墨烯是零帶隙的半導(dǎo)體，因而有卓越的 導(dǎo)電性。在 K 點四周，圖4所描繪的能量與動量的色散關(guān)系是線性的，這直線在K 點繞布里淵區(qū)(B.Z)平面的垂線旋轉(zhuǎn)一周，形成對頂?shù)碾p圓錐，稱狄

9、拉克錐。這種獨特的能帶構(gòu)造，打算了石墨烯電子的無質(zhì)量狄拉克費米子的屬性，不能再用傳統(tǒng)薛定諤方程描述，必需建立石墨烯的狄 2 維狄拉克方程的數(shù)理演繹請見我們將撰寫上傳的后續(xù)文檔。6 MATLAB 軟件制作的能帶圖，它在復(fù)制到Word 過程中，在狄拉克錐尖端細節(jié)喪失較多,但海浪與彩虹交映齊飛的景象，可能更顯示石墨烯的獨特非凡，我們情愿將它呈現(xiàn)在這篇文檔里。 bandKK ”band圖4.與導(dǎo)帶相交于6個Dirac點K點EE0F圖5.石墨烯原子片的電子總狀態(tài)密度DOS50.06430.0420.02100-1-0.02-2-3-0.04-4-5-0.06-50-2024圖6.石墨烯電子的能帶構(gòu)造。(MATLAB )參考文獻1). A. H. Castro Neto, F. Guinea et al.:The electronic properties of graphene,14 January 2022 2). 伍勇：堿金屬在石墨外表化學(xué)吸附的EHT爭辯，復(fù)旦學(xué)報自然科學(xué)版，No.2 /2022 3).伍 勇：Theoretical Study on E