上海市上外附屬大境中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

2、目要求的。1是（ ）A最小正周期為的偶函數(shù)B最小正周期為的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù)D最小正周期為的奇函數(shù)2已知的分布列為：設(shè)則的值為（ ）ABCD53某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段。下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有些數(shù)據(jù)漏記了（見表中空白處）學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)（單位：米）1. 961. 681. 821. 801. 601. 761. 741. 721. 921. 7830秒跳繩（單位：次）63756062727063在這10名學(xué)生中進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6 人，則以下判斷正確的為（ ）

3、A4號(hào)學(xué)生一定進(jìn)入30秒跳繩決賽B5號(hào)學(xué)生一定進(jìn)入30秒跳繩決賽C9號(hào)學(xué)生一定進(jìn)入30秒跳繩決賽D10號(hào)學(xué)生一定進(jìn)入30秒眺繩決賽4已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD5已知an為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3=6，S3=12，則公差d等于（ ）A1BC2D36根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的值等于（ ）A1BCD7已知回歸直線方程中斜率的估計(jì)值為，樣本點(diǎn)的中心，則回歸直線方程為（ ）ABCD8已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則的值為 ( )ABCD9若，滿足約束條件，則的最大值為（ ）ABC5D610曲線在點(diǎn)處的切線方程是( )ABCD11如圖所示為

4、底面積為2的某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的側(cè)面積為（ ）ABCD12若函數(shù)為奇函數(shù)，則ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為_14已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,且球的表面積為,平面,則三棱錐的體積為_15若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_ .16在四棱錐中，底面是等腰梯形，其中，若，且側(cè)棱與底面所成的角均為45，則該棱錐的體積為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)函數(shù),（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）記的最小值為，求的最大值18（12分）設(shè)圓的圓心為A，直線過點(diǎn)B（1,0）

5、且與軸不重合，交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（）證明：為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程； （）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與垂直的直線與C1交于P,Q兩點(diǎn)， 求證：是定值，并求出該定值.19（12分）設(shè)函數(shù)，（1）若函數(shù)f（x）在處有極值，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）是否存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；20（12分）已知（I）求； （II）當(dāng)，求在上的最值21（12分）為了探究車流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與的數(shù)據(jù)如表：時(shí)間星期

6、一星期二星期三星期四星期五星期六星期日車流量（萬輛）1234567的濃度（微克/立方米）28303541495662（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)： ）（2）（I）利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該市車流量為12萬輛時(shí)的濃度；（II）規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量不超過多少萬輛？（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）參考公式：回歸直線的方程是，其中， .22（10分）已知.（1）求的最小值；（2）已知為正數(shù)，且，求證.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小

7、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】整理,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,因?yàn)?所以該函數(shù)是奇函數(shù),周期為,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的應(yīng)用.2、A【解析】求出的期望，然后利用，求解即可【詳解】由題意可知E（）101，所以E（12）1E（）21故選A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個(gè)變量之間的關(guān)系寫出的分布列，再由分布列求出期望3、D【解析】先確定立定跳遠(yuǎn)決賽的學(xué)生，再討論去掉兩個(gè)的可能情況即得結(jié)果【詳解】進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的學(xué)生是1，3，4，6，7，8，9，10號(hào)的8個(gè)學(xué)生，由同時(shí)進(jìn)入兩項(xiàng)決賽的有6人可知，1，

8、3，4，6，7，8，9，10號(hào)有6個(gè)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽，在這8個(gè)學(xué)生的30秒跳繩決賽成績中，3，6，7號(hào)學(xué)生的成績依次排名為1，2，3名，1號(hào)和10號(hào)成績相同，若1號(hào)和10號(hào)不進(jìn)入30秒跳繩決賽，則4號(hào)肯定也不進(jìn)入，這樣同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10號(hào)學(xué)生必進(jìn)入30秒跳繩決賽.選D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.4、D【解析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，推出不等式，利用基本不等式求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可詳解：函數(shù)，可得f（x）=x2mx+1，函數(shù)在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，可得x2mx+10，在區(qū)間1，2上

9、恒成立，可得mx+，x+2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2，時(shí)取等號(hào)、可得m1故選：D點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大于0有解.5、C【解析】試題分析：設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由a3=6，S3=11，聯(lián)立可求公差d解：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3=6，S3=11，得：解得：a1=1，d=1故選C考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和6、C【解析】根據(jù)程序圖，當(dāng)x0繼續(xù)運(yùn)行，x=1-2=-10，故所以=0+2=2，故答案為2.點(diǎn)睛

10、：考查偶函數(shù)的基本性質(zhì)，根據(jù)偶函數(shù)定義求出第二段表達(dá)式是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.14、1【解析】由題意兩兩垂直，可把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球由此計(jì)算即可【詳解】平面，又，三棱錐可以為棱補(bǔ)成一個(gè)長方體，此長方體的外接球就是三棱錐的外接球由，得，即，故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查棱錐及其外接球，考查棱錐的體積，解題是把三棱錐補(bǔ)成長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，而長方體的對(duì)角線就是球的直徑，這樣計(jì)算方便15、1【解析】先根據(jù)側(cè)面展開是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側(cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長求解.【詳解】如圖所示：設(shè)圓錐的半徑為r，高為h，母線長為l，因

11、為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因?yàn)閭?cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長，所以，故圓錐的底面半徑.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積的相關(guān)計(jì)算.主要依據(jù)側(cè)面展開的扇形的弧長即底面圓的半徑，扇形的弧長和面積計(jì)算公式.16、【解析】過作于，求得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，由題意得頂點(diǎn)在底面的射影為，且，再根據(jù)體積公式即可求出答案【詳解】解：過作于，設(shè)為的中點(diǎn)，則，側(cè)棱與底面所成的角均為45，頂點(diǎn)在底面的射影到各頂點(diǎn)的距離相等，即為等腰梯形的外接圓的圓心，即為點(diǎn)，為四棱錐的高，即平面，該棱錐的體積，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查棱錐的體積公式，考查線面垂直的的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題三、

12、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單減區(qū)間為，單增區(qū)間 （2）【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由（1）可得的最小值，作為的函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，同樣利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系確實(shí)單調(diào)性后得最大值，只是確定的零點(diǎn)時(shí)，要先確定的單調(diào)性，然后才能說明零點(diǎn)的唯一性【詳解】（1）， 單減區(qū)間為，單增區(qū)間 （2）由（1），容易得到在上單調(diào)遞減，時(shí)，時(shí)，所以在單增，單減，【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間要注意有時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)不易確定，可能還要對(duì)求導(dǎo)，以確定的單調(diào)性及零點(diǎn)有存在性18、（I）（）；（II）【解

13、析】（I）根據(jù)幾何關(guān)系，即可證明為定值，再利用橢圓的定義即可求出點(diǎn)E的軌跡方程；（）利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系以及弦長公式表示出，同理可得，代入中進(jìn)行化簡即可證明為定值?！驹斀狻浚↖）因?yàn)?，故，所以，?又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以，由題設(shè)得，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）. （II）依題意：與軸不垂直，設(shè)的方程為,.由得,.則，.所以. 同理： 故(定值)【點(diǎn)睛】本題考查解析幾何中的軌跡問題以及定值問題，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，屬于中檔題。19、（1）函數(shù)f（x）的最大值為（2）存在，詳見解析【解析】（1）函數(shù)f（x）在處有極值說

14、明（2）對(duì)求導(dǎo)，并判斷其單調(diào)性。【詳解】解：（1）由已知得：，且函數(shù)f（x）在處有極值，當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）的最大值為（2）由已知得：若，則時(shí)，在上為減函數(shù)，在上恒成立；若，則時(shí)，在0，+）上為增函數(shù)，不能使在上恒成立；若，則時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，此時(shí)，不能使在上恒成立；綜上所述，b的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)性的討論，在解決此類問題時(shí)關(guān)鍵求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及極值。屬于難題。20、 (1) .（2），.【解析】分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，指接代入x=1即可；（2）將參數(shù)值代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性得到最值.詳解

15、：(1) （2）解：當(dāng)時(shí)， 令即 解得：或是得極值點(diǎn)因?yàn)椴辉谒蠓秶鷥?nèi)，故舍去 ，點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是函數(shù)單調(diào)性的研究和函數(shù)值域.研究函數(shù)單調(diào)性的方法有：定義法，求導(dǎo)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即同增異減，其中前兩種方法也可以用于證明單調(diào)性，在解決函數(shù)問題時(shí)需要格外注意函數(shù)的定義域.21、 (1) ;(2)() 91微克/立方米;() 13萬輛.【解析】(1)由數(shù)據(jù)可得： ， 結(jié)合回歸方程計(jì)算系數(shù)可得關(guān)于的線性回歸方程為. (2)(I)結(jié)合(1)中的回歸方程可預(yù)測(cè)車流量為12萬輛時(shí)， 的濃度為91微克/立方米. (II)由題意得到關(guān)于x的不等式，求解不等式可得要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱?，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi).【詳解】(1)由數(shù)據(jù)可得： ， ， ，故關(guān)于的線性回歸方程為. (2)(I)當(dāng)車流量為12萬輛時(shí)，即時(shí)， .故車流量為12萬輛時(shí)， 的濃度為91微克/立方米. (II)根據(jù)題意信息得： ，即， 故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱迹瑒t應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi).【點(diǎn)睛】一是回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)